3. Conclusions Theorem . suppose M

3. Conclusions
Theorem . suppose M = AB BA ,(A,B ∈ Kn×n,andA2 = A,B2 = B),then (i) M exists if and only ifrank(A−B) ≤ rank[A(I−BA)+B(I−AB)]. (ii) if M exists, and rank(A+B) ≤ rank[A(I−BA)+B(I−AB)], then M = I 0 −II(A−B) X 0( A + B) I 0 II , (1) where X =(A−B)2B[I −(A + B)(A + B)]+[I −(A−B)(A−B)]B(A + B)2 −(A−B)B(A + B). Proof. (i)Proof of suﬃcient conditions.It is easy to prove that rank(M)=rank AB BA = rank A−B 0 0 A + B = rank(A + B)+rank(A−B); rank(M2)=rank A2 + B2 AB + BA AB + BA A2 + B2 = rank A + B AB + BA AB + BA A+ B = rank A + B 0 0 A + B −BAB−ABA = rank(A + B)+rank[A(I −BA)+B(I −AB)]. For the given condition rank(A−B) ≤ rank[A(I−BA)+B(I−AB)],we can get rank(M)=rank(A + B)+rank(A−B) ≤ rank(A + B)+rank[A(I − BA)+B(I−AB)] = rank(M2);And with rank(M) ≥ rank(M2),we can easily obtain rank(M)=rank(M2).Then according to the Lemma 2.1,M exists. Proof of the necessary conditions .M exists,then rank(M)=rank(M2),and then rank(A+B)+rank(A−B)=rank(A+B)+rank[A(I−BA)+B(I− AB)],so rank[A(I −BA)+B(I −AB)] ≥ rank(A−B) can be proved. (ii) with the condition rank(A− B) ≤ rank[A(I − BA)+B(I − AB)] and the Lemma 2.3, (A−B) exists.Similarly,with the condition rank(A + B) ≤ rank[A(I −BA)+B(I −AB)] and the Lemma 2.4, (A + B) exists. For M = I 0 −IIA−BB 0 A + B I 0 II and A−BB 0 A + B → A−B 0 0 A + B , we know rank(M)=rank(A + B)+rank(A−B).And with the existence of (A + B) and (A−B),according to the Lemma 2.2,M has the form of (1).
Corollary 3.1 suppose M = AA AA ,(A ∈ Kn×n,and A2 = A),then (i) M exists; (ii) if M exists,thenM = I 0 −II0 A(2A)2 0 (2 A) I 0 II . Proof. We only need to replace B with A in Theorem,and easily prove that (2A) exists,then the conclusion comes true. Corollary 3.2 suppose M = AI IA ,(A ∈ Kn×n,and A2 = A),then (i) M exists;(ii)if rank(A + I) ≤ rank(A−I),then M = I 0 −II(A−I) X 0( A + I) I 0 II , where X =(A−I)2[I −(A + I)(A + I)]+[ I −(A−I)(A−I)](A + I)2 − (A−I)(A + I). Proof. In Theorem we replace B with I .For rank(A−I) ≤ rank[A(I−IA)+ I(I−AI) and rank(A+I) ≤ rank(A−I),then (A−I) and (A+I) exist,so the Corollary 3.2 can be proved easily. Corollary 3.3 suppose M = AA ∗ A∗ A ,(A ∈ Kn×n,and A2 = A),then (i) M exists;(ii) if M exists, then M = I 0 −II(A−A∗) X 0( A + A∗) I 0 II , where X =(A−A∗)2A∗[I−(A+A∗)(A+A∗)]+[I−(A−A∗)(A−A∗)]A∗(A+ A∗)2 −(A−A∗)A∗(A + A∗). Proof. In Theorem we replace B with A∗ .For (A−A∗) and (A + A∗) are respectively anti-Hermitian matrix and the Hermite matrix,they are unitarily similar to diagonal matrices,so (A−A∗) and (A+A∗) exist,then the Corollary 3.3 can be proved easily. Corollary 3.4 suppose M = A AA AA A ,(A∈ Kn×n,and A2 = A),then (i) M exists;(ii)if rank(A + AA) ≤ rank(A − AA), then M = I 0 −II(A−AA) X 0( A + AA) I 0 II , where X =(A−AA)2[AA −(A + AA)(A + AA)]+[ I −(A−AA)(A− AA)]AA(A + AA)2 −(A−AA)AA(A + AA). Proof. In Theorem we replace B with AA .For rank(A−AA)=ran[(A(I− AAA)+AA(I−AAA)] and rank(A+AA)≤ rank(A−AA),so (A−AA) and (A+AA) exists.Therefore it ,then the Corollary 3.4 can be proved easily.

3. Conclusions 
Theorem . suppose M =  AB BA ,(A,B ∈ Kn×n,andA2 = A,B2 = B),then (i) M exists if and only ifrank(A−B) ≤ rank[A(I−BA)+B(I−AB)]. (ii) if M exists, and rank(A+B) ≤ rank[A(I−BA)+B(I−AB)], then M = I 0 −II(A−B) X 0( A + B) I 0 II , (1) where X =(A−B)2B[I −(A + B)(A + B)]+[I −(A−B)(A−B)]B(A + B)2 −(A−B)B(A + B). Proof. (i)Proof of suﬃcient conditions.It is easy to prove that rank(M)=rank AB BA = rank A−B 0 0 A + B  = rank(A + B)+rank(A−B); rank(M2)=rank A2 + B2 AB + BA AB + BA A2 + B2  = rank A + B AB + BA AB + BA A+ B  = rank A + B 0 0 A + B −BAB−ABA  = rank(A + B)+rank[A(I −BA)+B(I −AB)]. For the given condition rank(A−B) ≤ rank[A(I−BA)+B(I−AB)],we can get rank(M)=rank(A + B)+rank(A−B) ≤ rank(A + B)+rank[A(I − BA)+B(I−AB)] = rank(M2);And with rank(M) ≥ rank(M2),we can easily obtain rank(M)=rank(M2).Then according to the Lemma 2.1,M exists. Proof of the necessary conditions .M exists,then rank(M)=rank(M2),and then rank(A+B)+rank(A−B)=rank(A+B)+rank[A(I−BA)+B(I− AB)],so rank[A(I −BA)+B(I −AB)] ≥ rank(A−B) can be proved. (ii) with the condition rank(A− B) ≤ rank[A(I − BA)+B(I − AB)] and the Lemma 2.3, (A−B) exists.Similarly,with the condition rank(A + B) ≤ rank[A(I −BA)+B(I −AB)] and the Lemma 2.4, (A + B) exists. For M = I 0 −IIA−BB 0 A + B I 0 II  and  A−BB 0 A + B → A−B 0 0 A + B , we know rank(M)=rank(A + B)+rank(A−B).And with the existence of (A + B) and (A−B),according to the Lemma 2.2,M has the form of (1).
Corollary 3.1 suppose M =  AA AA ,(A ∈ Kn×n,and A2 = A),then (i) M exists; (ii) if M exists,thenM = I 0 −II0 A(2A)2 0 (2 A) I 0 II . Proof. We only need to replace B with A in Theorem,and easily prove that (2A) exists,then the conclusion comes true. Corollary 3.2 suppose M =  AI IA ,(A ∈ Kn×n,and A2 = A),then (i) M exists;(ii)if rank(A + I) ≤ rank(A−I),then M = I 0 −II(A−I) X 0( A + I) I 0 II , where X =(A−I)2[I −(A + I)(A + I)]+[ I −(A−I)(A−I)](A + I)2 − (A−I)(A + I). Proof. In Theorem we replace B with I .For rank(A−I) ≤ rank[A(I−IA)+ I(I−AI) and rank(A+I) ≤ rank(A−I),then (A−I) and (A+I) exist,so the Corollary 3.2 can be proved easily. Corollary 3.3 suppose M = AA ∗ A∗ A ,(A ∈ Kn×n,and A2 = A),then (i) M exists;(ii) if M exists, then M = I 0 −II(A−A∗) X 0( A + A∗) I 0 II , where X =(A−A∗)2A∗[I−(A+A∗)(A+A∗)]+[I−(A−A∗)(A−A∗)]A∗(A+ A∗)2 −(A−A∗)A∗(A + A∗). Proof. In Theorem we replace B with A∗ .For (A−A∗) and (A + A∗) are respectively anti-Hermitian matrix and the Hermite matrix,they are unitarily similar to diagonal matrices,so (A−A∗) and (A+A∗) exist,then the Corollary 3.3 can be proved easily. Corollary 3.4 suppose M = A AA  AA A ,(A∈ Kn×n,and A2 = A),then (i) M exists;(ii)if rank(A + AA) ≤ rank(A − AA), then M =  I 0 −II(A−AA) X 0( A + AA) I 0 II , where X =(A−AA)2[AA −(A + AA)(A + AA)]+[ I −(A−AA)(A− AA)]AA(A + AA)2 −(A−AA)AA(A + AA). Proof. In Theorem we replace B with AA .For rank(A−AA)=ran[(A(I− AAA)+AA(I−AAA)] and rank(A+AA)≤ rank(A−AA),so (A−AA) and (A+AA) exists.Therefore it ,then the Corollary 3.4 can be proved easily.

0/5000

จาก: -

เป็น: -

ผลลัพธ์ (ไทย) 1: [สำเนา]

คัดลอก!

3. Conclusions Theorem . suppose M = AB BA ,(A,B ∈ Kn×n,andA2 = A,B2 = B),then (i) M exists if and only ifrank(A−B) ≤ rank[A(I−BA)+B(I−AB)]. (ii) if M exists, and rank(A+B) ≤ rank[A(I−BA)+B(I−AB)], then M = I 0 −II(A−B) X 0( A + B) I 0 II , (1) where X =(A−B)2B[I −(A + B)(A + B)]+[I −(A−B)(A−B)]B(A + B)2 −(A−B)B(A + B). Proof. (i)Proof of suﬃcient conditions.It is easy to prove that rank(M)=rank AB BA = rank A−B 0 0 A + B = rank(A + B)+rank(A−B); rank(M2)=rank A2 + B2 AB + BA AB + BA A2 + B2 = rank A + B AB + BA AB + BA A+ B = rank A + B 0 0 A + B −BAB−ABA = rank(A + B)+rank[A(I −BA)+B(I −AB)]. For the given condition rank(A−B) ≤ rank[A(I−BA)+B(I−AB)],we can get rank(M)=rank(A + B)+rank(A−B) ≤ rank(A + B)+rank[A(I − BA)+B(I−AB)] = rank(M2);And with rank(M) ≥ rank(M2),we can easily obtain rank(M)=rank(M2).Then according to the Lemma 2.1,M exists. Proof of the necessary conditions .M exists,then rank(M)=rank(M2),and then rank(A+B)+rank(A−B)=rank(A+B)+rank[A(I−BA)+B(I− AB)],so rank[A(I −BA)+B(I −AB)] ≥ rank(A−B) can be proved. (ii) with the condition rank(A− B) ≤ rank[A(I − BA)+B(I − AB)] and the Lemma 2.3, (A−B) exists.Similarly,with the condition rank(A + B) ≤ rank[A(I −BA)+B(I −AB)] and the Lemma 2.4, (A + B) exists. For M = I 0 −IIA−BB 0 A + B I 0 II and A−BB 0 A + B → A−B 0 0 A + B , we know rank(M)=rank(A + B)+rank(A−B).And with the existence of (A + B) and (A−B),according to the Lemma 2.2,M has the form of (1).Corollary 3.1 suppose M = AA AA ,(A ∈ Kn×n,and A2 = A),then (i) M exists; (ii) if M exists,thenM = I 0 −II0 A(2A)2 0 (2 A) I 0 II . Proof. We only need to replace B with A in Theorem,and easily prove that (2A) exists,then the conclusion comes true. Corollary 3.2 suppose M = AI IA ,(A ∈ Kn×n,and A2 = A),then (i) M exists;(ii)if rank(A + I) ≤ rank(A−I),then M = I 0 −II(A−I) X 0( A + I) I 0 II , where X =(A−I)2[I −(A + I)(A + I)]+[ I −(A−I)(A−I)](A + I)2 − (A−I)(A + I). Proof. In Theorem we replace B with I .For rank(A−I) ≤ rank[A(I−IA)+ I(I−AI) and rank(A+I) ≤ rank(A−I),then (A−I) and (A+I) exist,so the Corollary 3.2 can be proved easily. Corollary 3.3 suppose M = AA ∗ A∗ A ,(A ∈ Kn×n,and A2 = A),then (i) M exists;(ii) if M exists, then M = I 0 −II(A−A∗) X 0( A + A∗) I 0 II , where X =(A−A∗)2A∗[I−(A+A∗)(A+A∗)]+[I−(A−A∗)(A−A∗)]A∗(A+ A∗)2 −(A−A∗)A∗(A + A∗). Proof. In Theorem we replace B with A∗ .For (A−A∗) and (A + A∗) are respectively anti-Hermitian matrix and the Hermite matrix,they are unitarily similar to diagonal matrices,so (A−A∗) and (A+A∗) exist,then the Corollary 3.3 can be proved easily. Corollary 3.4 suppose M = A AA AA A ,(A∈ Kn×n,and A2 = A),then (i) M exists;(ii)if rank(A + AA) ≤ rank(A − AA), then M = I 0 −II(A−AA) X 0( A + AA) I 0 II , where X =(A−AA)2[AA −(A + AA)(A + AA)]+[ I −(A−AA)(A− AA)]AA(A + AA)2 −(A−AA)AA(A + AA). Proof. In Theorem we replace B with AA .For rank(A−AA)=ran[(A(I− AAA)+AA(I−AAA)] and rank(A+AA)≤ rank(A−AA),so (A−AA) and (A+AA) exists.Therefore it ,then the Corollary 3.4 can be proved easily.

การแปล กรุณารอสักครู่..

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:[สำเนา]

คัดลอก!

3.
สรุปทฤษฎีบท สมมติ = M? AB BA? (A, B ∈ Kn × n, andA2 = A, B2 = B) แล้ว (i) M? ที่มีอยู่ถ้าและเพียง ifrank (A-B) อันดับ≤ [A (I-BA) + B (I-AB)] (ii) ถ้า M? มีอยู่แล้วและอันดับ (A + B) อันดับ≤ [A (I-BA) + B (I-AB)] จากนั้น M? =? ฉัน 0 -II ?? (A-B)? X 0 (A + B) ฉัน ?? 0 ครั้งที่สอง (1) ที่ X = (A-B) 2B? [I? - (A + B) (A + B)] + [I - (A-B) (A-B)? ] B (A + B) 2? -? (A-B) B (A + B) ?. หลักฐาน (i) หลักฐานการ su FFI conditions.It เพียงพอเป็นเรื่องง่ายที่จะพิสูจน์ว่าการจัดอันดับ (M) ยศ =? AB BA? = ยศ? A-B 0 0 A + B? ยศ = (A + B) + ยศ (A-B); ยศ (M2) ยศ =? A2 + B2 AB + AB + ปริญญาตรี BA A2 + B2? ยศ =? A + B + AB + AB BA BA A + B? ยศ =? A + B 0 0 A + B -BAB-ABA? ยศ = (A + B) + ยศ [A (ฉัน -BA) + B (ฉัน -AB)] สำหรับอันดับเงื่อนไขที่กำหนด (A-B) อันดับ≤ [A (I-BA) + B (I-AB)] เราจะได้รับการจัดอันดับ (M) = ยศ (A + B) + ยศ (A-B) ≤ ยศ (A + B) + ยศ [A (I - ปริญญาตรี) + B (I-AB)] = ยศ (M2) และมีการจัดอันดับ (M) ≥ยศ (M2) เราสามารถได้รับการจัดอันดับ (M) = ยศ (M2) จากนั้นไปตามบทแทรก 2.1 M? ที่มีอยู่ หลักฐานการ .M เงื่อนไขที่จำเป็น? อยู่แล้วยศ (M) = ยศ (M2) แล้วยศ (A + B) + ยศ (A-B) = ยศ (A + B) + ยศ [A (I-BA) + B (I- AB )] ดังนั้นยศ [A (ฉัน -BA) + B (ฉัน -AB)] ≥ยศ (A-B) สามารถพิสูจน์ได้ (ii) มียศสภาพ (A- B) อันดับ≤ [A (I - ปริญญาตรี) + B (I - AB)] และบทแทรก 2.3 (A-B)? exists.Similarly ด้วยยศสภาพ (A + B) อันดับ≤ [A (ฉัน -BA) + B (ฉัน -AB)] และบทแทรก 2.4 (A + B) ที่มีอยู่ สำหรับ M =? ฉัน 0 -II ?? A-BB 0 A + B ?? ฉัน 0 ครั้งที่สอง? และ ? A-BB 0 A + B? →? A-B 0 0 A + B? เรารู้ยศ (M) = ยศ (A + B) + ยศ (A-B) .and กับการดำรงอยู่ของ (A + B) และ (A-B) ?, ตามบทแทรก 2.2 M? มีรูปแบบของ (1).
ผลที่ 3.1 สมมติ M =? AA AA? (A ∈ Kn × n และ A2 = A) แล้ว (i) M? ที่มีอยู่; (ii) ถ้า M? อยู่ thenM? =? ฉัน -II ?? 0 0 (2A) 2 0 (2) ฉัน ?? 0 ครั้งที่สอง? หลักฐาน เราจำเป็นต้องเปลี่ยน B กับในทฤษฏีและสามารถพิสูจน์ได้ว่า (2A) อยู่แล้วข้อสรุปที่เป็นจริง ควันหลง 3.2 สมมติ M =? เอไอเอีย? (A ∈ Kn × n และ A2 = A) แล้ว (i) M? ที่มีอยู่ (ii) ถ้ายศ (A + I) อันดับ≤ (A-I) แล้ว M? =? ฉัน 0 -II ?? (A-I) X 0 (A + I)? ฉัน ?? 0 ครั้งที่สองที่ X = (A-I) 2? [I - (A + I) (+ I A)?] + [I - (A-I) (A-I)] (A + I) 2? -? (A-I) (A + I) ?. หลักฐาน ในทฤษฎีบทเราแทนที่ B กับฉันการกีฬายศ (A-I) อันดับ≤ [A (I-IA) + I (I-AI) และอันดับ (A + I) อันดับ≤ (A-I) แล้ว (A- ผม)? และ (A + I)? ที่มีอยู่เพื่อให้ผลที่ 3.2 สามารถพิสูจน์ได้อย่างง่ายดาย ควันหลง 3.3 สมมติ M =? AA * A * หรือไม่?, (A ∈ Kn × n และ A2 = A) แล้ว (i) M? ที่มีอยู่ (ii) ถ้า M? อยู่แล้ว M? =? ฉัน 0 -II ?? (A-A *)? X 0 (A + A *)? ฉัน ?? 0 ครั้งที่สอง? ที่ X = (A-A *)? 2A * [I- (A + A *) (A + A *)?] + [I- (A-A *) (A-A ? *)] A * (A + A *) 2? -? (A-A *) A * (A + A *) ?. หลักฐาน ในทฤษฎีบทเราแทนที่ B กับ A * การกีฬา (A-A *) และ (A + A *) จะตามลำดับเมทริกซ์ต่อต้านเทียนและเมทริกซ์ Hermite พวกเขาจะ unitarily คล้ายกับเมทริกซ์ทแยงมุมดังนั้น (A-A *)? และ (A + A *)? ที่มีอยู่แล้ว 3.3 ผลที่สามารถพิสูจน์ได้อย่างง่ายดาย ควันหลง 3.4 สมมติ M =? AA หรือไม่? เอเอ? หรือไม่ (A∈ Kn × n และ A2 = A) แล้ว (i) M? ที่มีอยู่ (ii) ถ้ายศ (A + AA?) อันดับ≤ (A - เอเอ?) แล้ว M? =? ฉัน 0 -II ?? (A-AA?)? X 0 (A + AA?)? ฉัน ?? 0 ครั้งที่สอง? ที่ X = (A-AA?) 2 [AA? - (A + AA?) (A + AA?)] + [I? - (? A-AA) (A- AA)] AA (A + AA?) 2? -? (? A-AA) ? AA (A + AA?) ?. หลักฐาน ในทฤษฎีบทเราแทนที่ B กับเอเอ? การกีฬายศ (A-AA?) = วิ่ง [(A (I- AA หรือไม่) + AA? (I-AA? A)] และอันดับ (A + AA?) อันดับ≤ (A-AA?) ดังนั้น (A-AA) และ (? A + AA)? exists.Therefore มันแล้วควันหลง 3.4 สามารถพิสูจน์ได้อย่างง่ายดาย

การแปล กรุณารอสักครู่..

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:[สำเนา]

คัดลอก!

3 . ทฤษฎีบทที่สรุป

สมมติว่า M = AB BA ( A , B ∈ KN × N , B2 anda2 = , = b ) แล้ว ( ผม ) M อยู่แล้วถ้าและเพียง ifrank ( − 2 ) ≤อันดับ [ ( − ( − AB BA ) B ) ] ( 2 ) ถ้า M อยู่แล้วและจัดอันดับ ( B ) ≤อันดับ [ ( − ( − AB BA ) B ) ] , M = ฉัน 0 − 2 ( − 0 B ) X ( B ) ฉัน 0 2 ( 1 ) ซึ่ง x = ( − 2 ) 2B [ ผม− ( B ) ( B ) ] [ ผม− ( − ( − B ) B ) ] B ( B ) 2 − ( − B ) B ( b ) . พิสูจน์( 1 ) หลักฐานของซูﬃ cient เงื่อนไข มันง่ายที่จะพิสูจน์ว่าตำแหน่ง ( m ) = อันดับ AB BA = อันดับ เป็น− 2 0 0 B = ยศ ( B ) ตำแหน่ง ( − B ) ; อันดับ ( M2 ) = อันดับ A2 B2 AB BA AB BA A2 B2 = อันดับ A B AB AB BA BA B = ระดับ B 0 0 B −− 2 = บาบ อันดับ ( B ) ตำแหน่ง [ ( − ( − AB BA ) B ) ] เพื่อให้เงื่อนไขอันดับ ( − 2 ) ≤อันดับ [ ( − ( − AB BA ) B ) ]เราสามารถได้รับตำแหน่ง ( m ) = 1 ( ข ) ตำแหน่ง ( − 2 ) ≤อันดับ ( B ) ตำแหน่ง [ ( − ( − AB BA ) B ) ] = ยศ ( M2 ) และมีตำแหน่ง ( M ) ≥อันดับ ( M2 ) , เราสามารถได้รับตำแหน่ง ( m = อันดับ ( M2 ) แล้วตามไปพ 2.1 ม. มีอยู่ หลักฐานของเงื่อนไขที่จำเป็น ม. มีอยู่แล้วจัดอันดับ ( m ) = ยศ ( M2 ) , และจากนั้น ตำแหน่ง ( ข ) ตำแหน่ง ( − B ) = ยศ ( B ) ตำแหน่ง [ ( − ( − AB BA ) B ) ] ดังนั้นอันดับ [ ( −บา ) B ( − AB ) ] ≥อันดับ ( − B ) สามารถพิสูจน์ได้( 2 ) มีเงื่อนไขอันดับ ( − 2 ) ≤อันดับ [ ( − ( − AB BA ) B ) ] และแทรก 2.3 , ( − 2 ) อยู่แล้ว เช่นเดียวกันกับเงื่อนไขอันดับ ( B ) ≤อันดับ [ ( B ( −− BA ) AB ) และแทรก 2.4 ( B ) มีอยู่ ให้ M = ฉัน 0 − 2 เป็น−บีบี 0 B ฉัน 0 และ− 2 เป็นบีบี 0 B → keyboard - key - name เป็น− 2 0 0 B เรารู้ตำแหน่ง ( m ) = 1 ( ข ) ตำแหน่ง ( − B ) และกับ การดำรงอยู่ของ ( B ) ( − B ) ,ตามไปแทรก 2.2 M มีรูปแบบ ( 1 )
ควันหลง 3.1 สมมติว่า M = AA AA ( ∈ KN × N , A2 = ) แล้ว ( ผม ) M ที่มีอยู่ ; ( 2 ) ถ้า M มีอยู่ thenm = ฉัน 0 − 2 0 ( 2A ) 2 0 ( 2 ) ฉัน 0 2 . พิสูจน์ เราเพียงต้องการแทน B ด้วยในทฤษฎีบทและสามารถพิสูจน์ได้ว่า ( 2A ) มีอยู่แล้วข้อสรุปที่เป็นจริง ควันหลง 3.2 สมมติว่า M = ไอไอเอ ( ∈ KN × N , A2 = ) แล้ว ( ผม ) M ที่มีอยู่ ;

การแปล กรุณารอสักครู่..

ภาษาอื่น ๆ

การสนับสนุนเครื่องมือแปลภาษา: กรีก, กันนาดา, กาลิเชียน, คลิงออน, คอร์สิกา, คาซัค, คาตาลัน, คินยารวันดา, คีร์กิซ, คุชราต, จอร์เจีย, จีน, จีนดั้งเดิม, ชวา, ชิเชวา, ซามัว, ซีบัวโน, ซุนดา, ซูลู, ญี่ปุ่น, ดัตช์, ตรวจหาภาษา, ตุรกี, ทมิฬ, ทาจิก, ทาทาร์, นอร์เวย์, บอสเนีย, บัลแกเรีย, บาสก์, ปัญจาป, ฝรั่งเศส, พาชตู, ฟริเชียน, ฟินแลนด์, ฟิลิปปินส์, ภาษาอินโดนีเซี, มองโกเลีย, มัลทีส, มาซีโดเนีย, มาราฐี, มาลากาซี, มาลายาลัม, มาเลย์, ม้ง, ยิดดิช, ยูเครน, รัสเซีย, ละติน, ลักเซมเบิร์ก, ลัตเวีย, ลาว, ลิทัวเนีย, สวาฮิลี, สวีเดน, สิงหล, สินธี, สเปน, สโลวัก, สโลวีเนีย, อังกฤษ, อัมฮาริก, อาร์เซอร์ไบจัน, อาร์เมเนีย, อาหรับ, อิกโบ, อิตาลี, อุยกูร์, อุสเบกิสถาน, อูรดู, ฮังการี, ฮัวซา, ฮาวาย, ฮินดี, ฮีบรู, เกลิกสกอต, เกาหลี, เขมร, เคิร์ด, เช็ก, เซอร์เบียน, เซโซโท, เดนมาร์ก, เตลูกู, เติร์กเมน, เนปาล, เบงกอล, เบลารุส, เปอร์เซีย, เมารี, เมียนมา (พม่า), เยอรมัน, เวลส์, เวียดนาม, เอสเปอแรนโต, เอสโทเนีย, เฮติครีโอล, แอฟริกา, แอลเบเนีย, โคซา, โครเอเชีย, โชนา, โซมาลี, โปรตุเกส, โปแลนด์, โยรูบา, โรมาเนีย, โอเดีย (โอริยา), ไทย, ไอซ์แลนด์, ไอร์แลนด์, การแปลภาษา.