4.3. THE BLOCH–FLOQUET THEOREMThe B

4.3. THE BLOCH–FLOQUET THEOREM
The Bloch-Floquet theorem states that the most generalized solution for a one-electron time-independent Schrödinger equation in a periodic crystal lattice is given by
()()ikrkkrureφ⋅= (4.17)
Where uk(r) is the Bloch function, which has the same spatial periodicity of the crystal potential, and k (=2π/λ) is the wave vector of electron. The one-electron time-independent Schrödinger equation for which φk(r) is a solution is given by Eq.(4.16) and can be rewritten as
()()()()222kkkrVrrErmφφφ⎛⎞−∇+=⎜⎟⎜⎟⎝⎠h (4.18)
Where V(r) is the periodic crystal potential, which arises from the presence of ions at their regular lattice sites, and has the periodicity of the crystal lattice given by
V(r) = V(r + jRuur) (4.19)
Note that jRuur is the translational vector in the direct lattice defined by Eq. (1.3). To prove the Bloch theorem, it is necessary to consider the symmetry operation, which translates an eigenfunction in a periodic crystal lattice via the translational vector jRur. This translational operation can be expressed by
Tj f (r) = f (r + jRur) (4.20)
The periodicity of a crystal lattice can be verified from the fact that f(r) is invariant under the symmetry operations of Tj. Since the translational operator Tj commutes with the Hamiltonian H, it follows that
jkjTHHT φφ= (4.21)
Since φk is an eigenfunction of Tj, we may write
()()()jkjjkTrrRrκφφσφ=+=uur (4.22)
Where σj is a phase factor and an eigenvalue of Tj. The phase factor σj can be expressed by
jikRje⋅=ruurσ (4.23)
Whereis the wave vector of electrons, which can be a complex number in a periodic crystal. If one performs two successive translational operations (i.e., TkrjTi) on the wave function φk, one obtains from Eqs. (4.22) and (4.23) the following relationship
()()ijikRRjikjikkTTTer⋅+==φσφφ (4.24)
From Eq. (4.17), the Bloch function uk(r) can be written as
()()ikrkurerφ−⋅= (4.25)
Now solving Eqs. (4.22), (4.24), and (4.25), one obtains
()()()ikrjkkjjkTururRTerφ−⋅⎡⎤=+=⎣⎦
()()jikrRjkeTr ()()jjikrRikRkeeφ−⋅+⋅=
()()ikrkkeruφ−⋅== (4.26)
Thus, from the symmetry operations given by Eq. (4.26) one obtains
uk (r + Rj) = uk (r) (4.27)
Which shows that the Bloch function uk(r) has indeed the same periodicity in space as the crystal potential V(r). Therefore, the general solution of Eq. (4.18) is given by Eq. (4.17). From Eq. (4.17), it is noted that the electron wave function in a periodic crystal lattice is a plane wave modulated by the Bloch function. The Bloch function uk(r) is invariant under translational operation. It should be pointed out here that the exact shape of uk(r) depends on the electron energy Ek and the crystal potential V(r) of a crystalline solid. Thus, the Bloch theorem described in this section can be applied to solve the electron wave functions and energy band structures (i.e., Ek versus k relation) for the crystalline solids with periodic potential.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

4.3 ทฤษฎีบท.เม็ดเลือดขาว-FLOQUETทฤษฎีบทของเม็ดเลือดขาว Floquet ระบุว่า การแก้สมการวินเวลาอิสระหนึ่งอิเล็กตรอนในโครงตาข่ายประกอบคริสตัลงวดเมจแบบทั่วไปมากที่สุดถูกกำหนดโดยikrkkrureφ⋅ ()() = (4.17)ที่ uk(r) เป็นการทำงานเม็ดเลือดขาว ซึ่งมีประจำงวดปริภูมิเดียวกันศักยภาพคริสตัล และ k (= 2π/λ) คือ เวกเตอร์คลื่นของอิเล็กตรอน สมการเวลาอิสระหนึ่งอิเล็กตรอนวิน φk(r) ซึ่งเป็นการแก้ไขปัญหาถูกกำหนด โดย Eq.(4.16) และสามารถจิตเป็น()()()() 222kkkrVrrErmφφφ⎛⎞−∇ += ⎜⎟⎜⎟⎝⎠h (4.18)V(r) เป็น คริสตัลเป็นครั้งคราวอาจเกิดขึ้น ซึ่งเกิดขึ้นจากสถานะของประจุที่ไซต์โครงตาข่ายประกอบทั่วไปของพวกเขา และประจำงวดของโครงตาข่ายประกอบคริสตัลให้โดยV(r) = V (r + jRuur) (4.19)หมายเหตุ jRuur ที่เป็นเวกเตอร์ translational ในโครงตาข่ายประกอบตรงที่กำหนด โดย Eq. (1.3) การพิสูจน์ทฤษฎีบทของเม็ดเลือดขาว จำเป็นต้องพิจารณาสมมาตรการ ซึ่งแปลเป็น eigenfunction ในโครงตาข่ายผลึกประกอบเป็นครั้งคราวผ่าน jRur translational เวกเตอร์ การดำเนินการนี้ translational อาจแสดงโดยบริษัททีเจบริจด์ f (r) = f (r + jRur) (4.20)ประจำงวดของโครงตาข่ายประกอบคริสตัลสามารถตรวจสอบจากข้อเท็จจริงว่า f(r) เป็นภาษาภายใต้การดำเนินการสมมาตรของ Tj ตั้งแต่ดำเนิน translational Tj commutes กับ Hamiltonian H เป็นไปตามที่jkjTHHT φφ = (4.21)เนื่องจาก φk เป็น eigenfunction ของ Tj เราอาจเขียนjkjjkTrrRrκφφσφ ()()() =+= uur (4.22)Where σj is a phase factor and an eigenvalue of Tj. The phase factor σj can be expressed byjikRje⋅=ruurσ (4.23)Whereis the wave vector of electrons, which can be a complex number in a periodic crystal. If one performs two successive translational operations (i.e., TkrjTi) on the wave function φk, one obtains from Eqs. (4.22) and (4.23) the following relationship()()ijikRRjikjikkTTTer⋅+==φσφφ (4.24)From Eq. (4.17), the Bloch function uk(r) can be written as()()ikrkurerφ−⋅= (4.25)Now solving Eqs. (4.22), (4.24), and (4.25), one obtains()()()ikrjkkjjkTururRTerφ−⋅⎡⎤=+=⎣⎦()()jikrRjkeTr ()()jjikrRikRkeeφ−⋅+⋅=()()ikrkkeruφ−⋅== (4.26)Thus, from the symmetry operations given by Eq. (4.26) one obtainsuk (r + Rj) = uk (r) (4.27)Which shows that the Bloch function uk(r) has indeed the same periodicity in space as the crystal potential V(r). Therefore, the general solution of Eq. (4.18) is given by Eq. (4.17). From Eq. (4.17), it is noted that the electron wave function in a periodic crystal lattice is a plane wave modulated by the Bloch function. The Bloch function uk(r) is invariant under translational operation. It should be pointed out here that the exact shape of uk(r) depends on the electron energy Ek and the crystal potential V(r) of a crystalline solid. Thus, the Bloch theorem described in this section can be applied to solve the electron wave functions and energy band structures (i.e., Ek versus k relation) for the crystalline solids with periodic potential.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

4.3 โบลช-Floquet
ทฤษฎีบททฤษฎีบทBloch-Floquet ระบุว่าวิธีการแก้ปัญหาทั่วไปมากที่สุดเป็นเวลาอิสระหนึ่งอิเล็กตรอนสมการSchrödingerในผลึกตาข่ายเป็นระยะ ๆ จะได้รับจาก
() () ikrkkrureφ⋅ = (4.17)
ในกรณีที่สหราชอาณาจักร (R) เป็น ฟังก์ชั่นโบลชซึ่งมีระยะเวลาเดียวกันของเชิงพื้นที่ที่มีศักยภาพคริสตัลและ k (= 2π / λ) เป็นเวกเตอร์คลื่นของอิเล็กตรอน เวลาที่เป็นอิสระหนึ่งอิเล็กตรอนSchrödingerสมการที่φk (R) เป็นวิธีการแก้ปัญหาจะได้รับโดยสม. (4.16) และสามารถนำมาเขียนใหม่เป็น
() () () () 222kkkrVrrErmφφφ⎛⎞-∇ + = ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠h (4.18)
ในกรณีที่ V (R) เป็นคริสตัลที่อาจเกิดขึ้นเป็นระยะ ๆ ซึ่งเกิดขึ้นจากการปรากฏตัวของไอออนที่เว็บไซต์ตาข่ายปกติของพวกเขาและมีระยะเวลาของผลึกตาข่ายที่ได้รับจาก
V (R) = V (R + jRuur ) (4.19)
โปรดทราบว่า jRuur เป็นเวกเตอร์แปลในตาข่ายโดยตรงที่กำหนดโดยสมการ (1.3) เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทโบลชก็เป็นสิ่งจำเป็นที่จะต้องพิจารณาดำเนินการสมมาตรซึ่งแปล eigenfunction ในผลึกตาข่ายระยะทางเวกเตอร์แปล jRur การดำเนินการนี้แปลสามารถแสดงโดย
Tj f (R) = f (R + jRur) (4.20)
ระยะเวลาของผลึกตาข่ายให้สามารถตรวจสอบได้จากข้อเท็จจริงที่ว่า f (R) เป็นค่าคงที่อยู่ภายใต้การดำเนินงานของสมมาตรของ Tj เนื่องจากผู้ประกอบการแปล Tj commutes กับมิลเอชมันตามที่
jkjTHHT φφ = (4.21)
ตั้งแต่φkเป็น eigenfunction ของ Tj เราอาจเขียน
() () () jkjjkTrrRrκφφσφ + = = uur (4.22)
ในกรณีที่σjเป็นขั้นตอน ปัจจัยและค่าเฉพาะของ Tj ปัจจัยที่เฟสσjสามารถแสดงโดยjikRje⋅ = ruurσ (4.23) Whereis เวกเตอร์คลื่นของอิเล็กตรอนซึ่งสามารถจำนวนเชิงซ้อนในระยะคริสตัล หากหนึ่งในการดำเนินการทั้งสองดำเนินการแปลเนื่อง (เช่น TkrjTi) ต่อการทำงานของคลื่นφkหนึ่งได้รับจาก EQS (4.22) และ (4.23) ความสัมพันธ์ต่อไปนี้() () ijikRRjikjikkTTTer⋅ + == φσφφ (4.24) จากสมการ (4.17), ฟังก์ชั่นโบลชสหราชอาณาจักร (R) สามารถเขียนเป็น() () ikrkurerφ-⋅ = (4.25) ตอนนี้แก้ EQS (4.22) (4.24) และ (4.25) คนหนึ่งได้() () () ikrjkkjjkTururRTerφ-⋅⎡⎤ + = = ⎣⎦ () () jikrRjkeTr () () jjikrRikRkeeφ-⋅⋅ + = () () ikrkkeruφ-⋅ == (4.26) ดังนั้นจากการดำเนินงานสัดส่วนที่กำหนดโดยสมการ (4.26) คนหนึ่งได้uk (R + Rj) = สหราชอาณาจักร (R) (4.27) ซึ่งแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชั่นโบลชสหราชอาณาจักร (R) มีแน่นอนช่วงเดียวกันในพื้นที่ที่มีศักยภาพเป็นคริสตัล V (R) ดังนั้นการแก้ปัญหาทั่วไปของสมการ (4.18) จะได้รับจากสมการ (4.17) จากสมการ (4.17) เป็นที่สังเกตว่าฟังก์ชันคลื่นอิเล็กตรอนในผลึกตาข่ายธาตุเป็นคลื่นเครื่องบินปรับโดยฟังก์ชันโบลช ฟังก์ชั่นโบลชสหราชอาณาจักร (R) เป็นค่าคงที่ภายใต้การดำเนินการแปล มันควรจะชี้ออกจากที่นี่ว่ารูปร่างที่แน่นอนของสหราชอาณาจักร (R) ขึ้นอยู่กับพลังงานอิเล็กตรอน Ek และศักยภาพคริสตัล V (R) ของผลึกของแข็ง ดังนั้นทฤษฎีบทโบลชอธิบายในส่วนนี้สามารถนำมาใช้ในการแก้ฟังก์ชันคลื่นอิเล็กตรอนและโครงสร้างแถบพลังงาน (เช่นความสัมพันธ์กับเอก k) สำหรับของแข็งผลึกที่มีศักยภาพในระยะ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

4.3 . โบลชทฤษฎีบท– floquet
floquet โบลชทฤษฎีบทระบุว่าโซลูชั่นทั่วไปมากที่สุดสำหรับเวลาหนึ่งอิเล็กตรอนอิสระ สมการของชเรอดิงเงอร์ในแลตทิซผลึกธาตุให้
( ) ( ) (
ikrkkrure φ⋅ = 4.17 ) ที่ UK ( R ) คือฟังก์ชัน Bloch ซึ่งมีกำหนดออกในพื้นที่เดียวกัน คริสตัลที่มีศักยภาพ , และ K ( = 2 π / λ ) เป็นเวกเตอร์คลื่นของอิเล็กตรอนหนึ่งเวลาที่อิเล็กตรอนอิสระ สมการของชเรอดิงเงอร์ ซึ่งφ K ( R ) เป็นโซลูชั่นที่ได้รับจากอีคิว ( 4.16 ) และสามารถเขียนใหม่เป็น
( ) ( ) ( ) ( ) 222kkkrvrrerm φφφ⎛⎞−∇ = ⎜⎟⎜⎟⎝⎠ H ( . )
V ( R ) ซึ่งเป็นศักยภาพของผลึกธาตุ ซึ่งเกิดขึ้นจาก การแสดงตนของไอออนที่เว็บไซต์ตารางปกติของพวกเขาและมีกำหนดออกของแลตทิซผลึกให้โดย
V ( r ) = V ( r jruur ( 4.19 )
)ทราบว่า jruur เป็นเวกเตอร์แปลในทางตรงขัดแตะ กําหนดโดย อีคิว ( 1.3 ) เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบท บล๊อค จะต้องพิจารณาถึงการดำเนินงาน ซึ่งแปลเป็นฟังก์ชันลักษณะเฉพาะในขัดแตะคริสตัลเป็นระยะทาง jrur เวกเตอร์แปล . สำหรับงานนี้สามารถแสดงโดย
TJ F ( r ) = f ( r jrur ) ( 4.20 )
มีกำหนดออกของแลตทิซผลึกสามารถตรวจสอบได้จากความจริงที่ว่า F ( R ) ภายใต้การดำเนินงานของความสมมาตรทีเจ เนื่องจากผู้ประกอบการ TJ commutes แปลกับ Hamiltonian H ก็ตาม
jkjthht φφ = ( -
ตั้งแต่φ K คือฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของทีเจ เราอาจเขียน
( ) ( ) ( ) jkjjktrrrr κφφσφ = = PM ( 4.22 )
ที่σ J เป็นปัจจัยระยะและค่าของทีเจเฟสปัจจัยσ J สามารถแสดงได้ด้วย
jikrje ⋅ = ruur σ ( 4.23 )
whereis คลื่นเวกเตอร์ของอิเล็กตรอน ซึ่งสามารถเป็นจำนวนเชิงซ้อนในคริสตัล เป็นระยะ ๆ หากการดำเนินงานต่อเนื่องสองภาพ ( เช่น tkrjti ) ฟังก์ชันคลื่นφ K , หนึ่งได้รับจาก EQS . ( 4.22 ) และ ( 17 ) ความสัมพันธ์
ต่อไปนี้ ( ) ( ) ijikrrjikjikkttter ⋅ = = φσφφ ( 4.24 )
จากอีคิว ( 4.17 )การบล็อคฟังก์ชัน UK ( R ) สามารถเขียนได้เป็น
( ) ( ) (
ikrkurer φ−⋅ = 4.25 ) ตอนนี้แก้ EQS . ( 4.22 ) , ( ทั้ง ) และ ( 4.25 ) คนหนึ่งได้
( ) ( ) ( ) ikrjkkjjktururrter φ−⋅⎡⎤ = = ⎣⎦
( ) ( ) ( ) ( ) jikrrjketr jjikrrikrkee φ−⋅⋅ =
( ) ( ) ikrkkeru φ−⋅ = =
( 4.26 ) ดังนั้นจากการได้รับโดยอีคิว ( สมมาตร 4.26 ) คนหนึ่งได้
UK ( r = RJ ) สหราชอาณาจักร ( 4.27 )
( R )ซึ่งแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันโบลช UK ( R ) ได้เหมือนกัน อย่างในพื้นที่เป็นคริสตัลที่มีศักยภาพ V ( R ) ดังนั้นวิธีการทั่วไปของอีคิว ( . ) จะได้รับโดยอีคิว ( 4.17 ) จากอีคิว ( 4.17 ) , มันเป็นข้อสังเกตว่าฟังก์ชันคลื่นขัดแตะคริสตัลอิเล็กตรอนในตารางธาตุเป็นคลื่นระนาบปรับโดยฟังก์ชันบล็อค . การบล็อคฟังก์ชัน UK ( R ) เป็นค่าคงที่ในการแปลงานมันควรจะชี้ให้เห็นว่ารูปร่างที่แน่นอนของ UK ( R ) ขึ้นอยู่กับอิเล็กตรอนพลังงานราคาถูกและคริสตัลศักยภาพ V ( R ) ของผลึกของแข็ง ดังนั้น , โบลชทฤษฎีบทที่อธิบายไว้ในส่วนนี้สามารถใช้เพื่อแก้ปัญหาอิเล็กตรอนฟังก์ชันคลื่นและพลังงานโครงสร้างวง ( เช่น ราคาถูกเมื่อเทียบกับ K ความสัมพันธ์สำหรับของแข็งผลึกที่มีศักยภาพในตารางธาตุ