Example 1.15 Find a series solution

Example 1.15

Find a series solution for the following second order ODE:
u − xu + u = −x cos x. (1.98)

Substituting the series assumption for u(x), u , and u (x), and using the

Taylor series for cos x, we find
2a + 6a x + 12a x2 + 20a x3 + 30a x4 + 42a x5 + · · ·
2 3 4 5 6 7
−a x − 2a x2 − 3a x3 − 4a x4 − 5a x5 − · · ·
1 2 3 4 5
2 3 4 5
+a + a x + a x + a x + a x + a x + · · ·
0 1 2 3 4 5

1 1
3 5
= −x + x − x + · · · , (1.99)
2! 4!
that can be rewritten by
(a + 2a ) + 6a x + (−a + 12a )x2 + (−2a + 20a )x3
0 2 3 2 4 3 5

1 1
4 5 3 5
+(30a − 3a )x + (42a − 4a )x + · · · = −x + x − x + · · · .(1.100)
6 4 7 5
2! 4!
Equating the coefficient of each power of x be zero and solving the recurrence
relation we obtain
1 1
a2 = − a0 , a3 = − ,
2 3!
1 1 1 1 1
a4 = − a2 = − a0 , a5 = a3 + = , (1.101)
12 24 10 40 120
1 1 2 1 1
a6 = a4 = − a0 , a7 = a5 − = − , · · ·
10 240 21 1008 5040
The solution in a series form is given by
u(x) = a0 1 − 1x2 − 1 x4 − 1 x6 + · · · (1.102)
2 24 240
1 x3 1 x5 1 x7
+a1x + − + − + · · · ,
3! 5! 7!
that can be rewritten as
u(x) = a0 1 − 1x2 − 1 x4 − 1 x6 + · · · (1.103)

2 24 240
1 x3 + 1 x5 − 1 x7 + · · · ,
+Bx + x −
3! 5! 7!
by setting B = a1 − 1. Consequently, the solution is given by
u(x) = a0 1 − 1x2 + 1 x4 − 1 x6 + · · · + Bx + sin x. (1.104)

2 24 240
Notice that sin x gives the particular solution that arises as an effect of the
inhomogeneous part.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

1.15 ตัวอย่าง

หาทางออกชุดสำหรับบทกวีลำดับต่อไปนี้ที่สอง:
U - xu u =-x cos x (1.98)

แทนสมมติฐานชุดสำหรับ U (x), U และ U (x) และการใช้

เทย์เลอร์ชุดสำหรับ cos x เราพบ
2a 6a x 12a 20a x2 x3 x4 30A 42A x5 · ·
2 3 4 5 6 7
ขวาน - 2a x2 - x3 3a - 4a x4 - 5a x5 - ···
1 2 3 4 5
2 3 4 5
aaxaxaxaxax ···
0 1 2 3 4 5

1 1
3
= 5-xx - x ···, (1.99)
2! 4!
ที่สามารถเขียนใหม่โดย
(2a) 6a x (-12a) x2 (-2a 20a) x3
0 2 3 2 4 3 5


1 1 4 5 3 5
(30A - 3a) x ( 42a - 4a) x ··· =-xx - x ··· (1.100)
6 4 7 5
2. 4!
เท่าสัมประสิทธิ์ของอำนาจของแต่ละ x เป็นศูนย์และการแก้ซ้ำ
ความสัมพันธ์เราได้รับ

1 1 a2 = - a0, A3 = -
2 3!
1 1 1 1 1
a4 = - a2 = - a0, a5 = a3 = (1.101)
12 24 10 40 120
1 1 2 1 1
A6 = a4 = - a0, a7 = a5 - = - ···
10 240 21 1008 5040
การแก้ปัญหาในรูปแบบซีรีส์จะได้รับโดย
U (x) = a0 1 - 1x2 - 1 x4 - 1 x6 ··· (1.102)
2 24 240
1 1 x3 x5 1 x7
A1X - ···,
3! 5! 7!
ที่สามารถเขียนใหม่เป็น
U (x) = a0 1 - 1x2 - 1 x4 - 1 x6 ··· (1.103)

2 24 240
1 x3 x5 1 - 1 x7 ···
bx - x
3! 5! 7!
โดยการตั้งค่า b = a1 - 1 ดังนั้นการแก้ปัญหาจะได้รับโดย
U (x) = a0 1 - 1x2 1 x4 - 1 x6 ··· bx บาป x (1,104)

2 24 240
แจ้งให้ทราบว่าบาป x จะช่วยให้การแก้ปัญหาโดยเฉพาะอย่างยิ่งที่เกิดขึ้นเป็นผลจากส่วน inhomogeneous

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ตัวอย่าง 1.15

หาโซลูชันชุดสำหรับการต่อไปนี้ที่สองสั่ง ODE:
u − xu u = −x cos ไฟร์ (1.98)

แทนสมมติฐานชุด สำหรับ you(x), u (x), และใช้การ

ชุดเทย์เลอร์ cos x เรา find
2a 6a x 12a x 2 20a x 30a 3 x 42a 4 x 5 ···
2 3 4 5 6 7
2A x − −a x 3a − 2 x 3 − 4a x 4 ของ 5a − x − 5 ···
1 2 3 4 5
2 3 4 5
การที่ x x เป็น x x x ···
0 1 2 3 4 5

1 1
3 5
= −x x − x ··· , (1.99)
2 4
ที่สามารถจิตโดย
(2a) 6a x (−a 12a) x 2 (−2a 20a) x 3
0 2 3 2 4 3 5

1 1
4 5 3 5
(30a − 3a) x (42a − 4a) x ··· = −x x − x · · · .(1.100)
6 4 7 5
2 4
Equating coefficient ของแต่ละอำนาจของ x เป็นศูนย์และการแก้ปัญหาที่เกิดขึ้น
ความสัมพันธ์ของเราขอรับ
1 1
a2 =− a0, a3 =−,
2 3
1 1 1 1 1
a4 =− a2 =− a0, a5 = a3 =, (1.101)
12 24 10 40 120
1 1 2 1 1
a6 = a4 =− a0, a7 = a5 − =−, ···
10 240 21 1008 5040
โซลูชันในชุดรูปแบบถูกกำหนดโดย
u(x) = a0 1 −− 1 x 2 − 1 x 4 x 1 6 ··· (1.102)
2 24 240
1 1 x 3 x 1 5 x 7
a1x −−··· ,
3! 5 7
ที่สามารถจิตเป็น
u(x) = a0 1 −− 1 x 2 − 1 x 4 x 1 6 ··· (1.103)

2 24 240
1 1 x 3 x 5 − 1 x 7 ··· ,
Bx x −
3 5 7
ค่า B = a1 − 1 ดังนั้น กำหนดโซลูชันโดย
u(x) = a0 1 − 1 x 2 1 x 4 − 1 x 6 ··· Bx บาปไฟร์ (1.104)

2 24 240
สังเกตความ x ทำให้การแก้ปัญหาเฉพาะที่เกิดขึ้นเป็นการ effect ของการ
ส่วนงาน

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ตัวอย่างเช่น 1.15

ค้นหาโซลูชัน Series สำหรับโคลงสั่งซื้อที่สองต่อไปนี้:
u - Xu U = - X ผักกาดหวาน x ( 1.98 )

แทนซึ่งเป็นชุดสมมุติฐานสำหรับ U ( X ), U , U และ( X ),และการใช้

Taylor Series สำหรับผักกาดหวาน X ,เรา find
2 A 6 x 12 x 220 x 330 x 442 X 5 ???
234567
- x - 2 x 2 - 3 x 3 - 4 x 4 - 5 x 5 - ???
12345234

5ที่ X X X X X ???
01234511



= 3 , 5 - X / X - X ???( 1.99 )
2 ! 4 !
ที่สามารถเขียนซ้ำโดย
(ที่ 2 A ) 6 x ( - 12 ) x 2 ( - 2 A 20 A ) x 3
023243511


4535
( 30 - 3 ) x ( 42 - 4 ) x ???= - X / X - X ???..( 1.100 )
64752 !
4 !
ทำงานเท่า coefficient ของพลังงานแต่ละของ X เป็นศูนย์และการแก้ปัญหาการเกิดซ้ำ
ความสัมพันธ์เราได้

ที่ 112 = -0 ที่ 3 = -
23
11111
ที่ 4 = - 2 = - 0 ,ที่ 5 = 3 =,( 1.101 )
12241040120
11211
ที่ 6 =ที่ 4 = - 0 ,ที่ 7 = A 5 - = - ,???
102402110085040
ที่โซลูชันในรูปแบบจะให้บริการใน
U ( X )= 01 - 1 x 2 - 1 x 4 - 1 x 6 ???( 1.102 )

2242401 x 3 x 1 x 157
ที่ 1 x - - ???,
3 ! 5 ! 7 !
ที่สามารถเขียนซ้ำเป็นสัญลักษณ์
U ( X )= 01 - 1 x 2 - 1 x 4 - 1 x 6 ???( 1.103 )

224240
1 x 31 x 5 - 1 x 7 ???,
BX , X - -
3 ! 5 ! 7 !
โดยการตั้งค่า B = 1 - 1 โซลูชันดังนั้นจึงมีผลทำให้ผลที่จะได้รับโดย
U ( X )= 01 - 1 x 21 x 4 - 1 x 6 ???บาป BX x ( 1.104 )

224240
ต้องแจ้งให้ทราบล่วงหน้าบาปที่ x ช่วยให้โซลูชันเฉพาะที่เกิดขึ้นเป็น effect ของ
inhomogeneous ที่เป็นส่วนหนึ่ง