We proveTheorem 1. Let F from Mn(F)

We prove
Theorem 1. Let F from Mn(F) into itself, where n ∈ N, be an operator of
the form (1). Then F preserves the determinant of matrices, if and only if
there exist constants ui 6= 0, vj 6= 0 for i, j = 1, 2, . . . , n such that
(11) fi,j (x) = uivjx for x ∈ F, i, j = 1, 2, . . . n,
where
(12) Yn
i=1
uivi = 1.
P r o o f. From Lemma 1, we infer that functions fi,j have the form (2). For
x = 1 we obtain that di,j = ci,j for i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n and (11)
holds.
By Lemma 2, we obtain (9), and from Lemma 1, we get (3). Using
Lemma 3 and (10) we obtain (12).
Conversely, assume that an operator F of the form (1) is defined by (11)
and the assumptions (8), (9) and (12) are fulfiled.
Let H = [hi,j ] ∈ Mn(F) be an arbitrary matrix. From the definition of
the determinant and (11) we have
det(F(H)) = X
p∈Sn
(−1)Iq Ym
i=1
uivσ(i)hi,σ(i)
,

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เราพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ 1 ให้ F จาก Mn(F) ในตัวเอง ซึ่ง n ∈ N เป็นตัวดำเนินการของแบบฟอร์ม (1) แล้ว F รักษาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ และถ้ามีค่าคงที่ ui 6 = 0, vj 6 = 0 สำหรับ j = 1, 2,..., n ให้(11) ไร้สาย เจ (x) = uivjx สำหรับ x ∈ F, i, j = 1, 2,... nซึ่ง(12) Ynฉัน = 1uivi = 1P r o o f จับมือ 1 เรารู้ว่าฟังก์ชันไร้สาย เจมี (2) แบบฟอร์ม สำหรับx = 1 เราได้รับที่ดี j = ci เจหา = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n และ (11)เก็บโดยจับมือ 2 เรารับ (9), และจากการจับมือ 1 เราได้รับ (3) โดยใช้จับมือ 3 และ (10) เราได้รับ (12)ในทางกลับกัน สมมติว่า โอเปอเรเตอร์ F ของแบบฟอร์ม (1) กำหนดตาม (11)และสมมติฐาน (8), (9) และ (12) fulfiledให้ H = [สวัสดี j] ∈ Mn(F) เป็นเมทริกซ์การกำหนด จากคำนิยามของดีเทอร์มิแนนต์และ (11) เราได้det(F(H)) = Xp∈Sn(−1)ไอคิว Ymฉัน = 1uivσ(i)hi,σ(i),

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เราพิสูจน์
ทฤษฎีบท 1. ให้ F จาก Mn (F) ลงในตัวเองโดยที่ n ∈ N จะดำเนินการ
รูปแบบ (1) F แล้วเก็บรักษาปัจจัยของการฝึกอบรม, และถ้าหาก
มีอยู่คง UI 6 = 0, vj 6 = 0 ฉัน j = 1, 2, . . เช่นที่ n
(11) fi, J (x) = uivjx สำหรับ x ∈ F, I, J = 1, 2, . . n,
ที่
(12) Yn
i = 1
uivi = 1.
P รู้ฉ จากบทแทรก 1 เราสรุปว่าสายฟังก์ชั่น, เจมีรูปแบบ (2) สำหรับ
x = 1 เราได้รับดิว่าเจซี = J สำหรับ i = 1, 2, . . , M, J = 1, 2, . . , n และ (11)
ถือ.
โดยบทแทรก 2 เราได้รับ (9) และจากบทแทรก 1 เราได้รับ (3) ใช้
บทแทรกที่ 3 และ (10) เราได้รับ (12).
ตรงกันข้ามสมมติว่าผู้ประกอบการในรูปแบบ F (1) ถูกกำหนดโดย (11)
และการตั้งสมมติฐาน (8) (9) และ (12) จะ fulfiled.
ให้ H = [สวัสดีเจ] ∈ Mn (F) เป็นเมทริกซ์โดยพลการ จากนิยามของ
ปัจจัยและ (11) เรามี
เดชอุดม (F (H)) = X
p∈Sn
(-1) ไอคิว Ym
i = 1
uivσ (i) สวัสดีσ (i)
,

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เราพิสูจน์ทฤษฎีบท 1 ให้ f จาก MN ( F ) ในตัวเอง ซึ่ง∈ n n เป็นผู้ดําเนิน
แบบฟอร์ม ( 1 ) แล้ว F รักษาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ ถ้าและเพียงถ้า
มีอยู่ค่าคงที่ UI 6 = 0 , วีเจ 6 = 0 , j = 1 , 2 , . . . . . . . . , n เช่น
( 11 ) , J ( X ) = uivjx สำหรับ x ∈ F , i , j = 1 , 2 , . . . . . . . . N ,

( ที่ 12 ) ใน = 1

ผม uivi = 1 .
p r o O F . จากการจับมือ 1 เราสรุปได้ว่าฟังก์ชัน FI , J มีรูป ( 2 ) สำหรับ
x = 1 เราได้รับว่าตี้ , J = CI , J i = 1 , 2 , . . . . . . . . , M , j = 1 , 2 , . . . . . . . . , N และ ( 11 )

โดยมี พ 2 ที่เราได้รับ ( 9 ) , และจากการจับมือ 1 เราได้ ( 3 ) ใช้แทรก
3 และ ( 10 ) เราได้รับ ( 12 ) .
ในทางกลับกันสมมติว่าผู้ประกอบการ F ของแบบฟอร์ม ( 1 ) ถูกกำหนดโดย ( 11 )
และสมมติฐาน ( 8 ) , ( 9 ) และ ( 12 ) fulfiled .
ให้ h = [ J ] ∈ MN ( สวัสดี F ) เป็นเมทริกซ์โดยพลการ จากความหมายของ
ปัจจัยและ ( 11 ) เรามี
เดช ( F ( H ) = x
P ∈ SN
( − 1 ) = 1

ผมไอคิว ) uiv σ ( ฉัน ) ไง σ ( I )
,