10. Algebraic closure09GP The “fund

10. Algebraic closure
09GP The “fundamental theorem of algebra” states that C is algebraically closed. A
beautiful proof of this result uses Liouville’s theorem in complex analysis, we shall
give another proof (see Lemma 22.1).
09GQ A field Definition 10.1. F is said to be algebraically closed if every algebraic
extension E/F is trivial, i.e., E = F .
This may not be the definition in every text. Here is the lemma comparing it with
the other one.
09GR Lemma 10.2. Let F be a field. The following are equivalent
(1) F is algebraically closed,
(2) every irreducible polynomial over F is linear,
(3) every nonconstant polynomial over F has a root,
(4) every nonconstant polynomial over F is a product of linear factors.
Proof. If F is algebraically closed, then every irreducible polynomial is linear.
Namely, if there exists an irreducible polynomial of degree > 1, then this generates a
nontrivial finite (hence algebraic) field extension, see Example 7.6. Thus (1) implies
(2). If every irreducible polynomial is linear, then every irreducible polynomial has
a root, whence every nonconstant polynomial has a root. Thus (2) implies (3).
Assume every nonconstant polynomial has a root. Let P ∈ F [x] be nonconstant.
If P (α) = 0 with α ∈ F , then we see that P = (x − α)Q for some Q ∈ F [x] (by
division with remainder). Thus we can argue by induction on the degree that any
nonconstant polynomial can be written as a product c Q(x − αi).
Finally, suppose that every nonconstant polynomial over F is a product of linear
factors. Let E/F be an algebraic extension. Then all the simple subextensions
F (α)/F of E are necessarily trivial (because the only irreducible polynomials are
linear by assumption). Thus E = F . We see that (4) implies (1) and we are
done. 
Now we want to define a “universal” algebraic extension of a field. Actually, we
should be careful: the algebraic closure is not a universal object. That is, the
algebraic closure is not unique up to unique isomorphism: it is only unique up to
isomorphism. But still, it will be very handy, if not functorial.
09GS Let Definition 10.3. F be a field. We say F is algebraically closed if every
algebraic extension E/F is trivial, i.e., E = F . An algebraic closure of F is a field
F containing F such that:
(1) F is algebraic over F .
(2) F is algebraically closed.
If F is algebraically closed, then F is its own algebraic closure. We now prove the
basic existence result.
09GT Theorem 10.4. Every field has an algebraic closure.
The proof will mostly be a red herring to the rest of the chapter. However, we will
want to know that it is possible to embed a field inside an algebraically closed field,
and we will often assume it done.
FIELDS 12
Proof. Let F be a field. By Lemma 8.9 the cardinality of an algebraic extension of
F is bounded by max(ℵ0, |F|). Choose a set S containing F with |S| > max(ℵ0, |F|).
Let’s consider triples (E, σE, µE) where
(1) E is a set with F ⊂ E ⊂ S, and
(2) σE : E×E → E and µE : E×E → E are maps of sets such that (E, σE, µE)
defines the structure of a field extension of F (in particular σE(a, b) = a+F b
for a, b ∈ F and similarly for µE), and
(3) F ⊂ E is an algebraic field extension.
The collection of all triples (E, σE, µE) forms a set I. For i ∈ I we will denote
Ei = (Ei, σi, µi) the corresponding field extension to F. We define a partial ordering
on I by declaring i ≤ i0 if and only if Ei ⊂ Ei0 (this makes sense as Ei and Ei0 are
subsets of the same set S) and we have σi = σi0|Ei×Ei and µi = µi0|Ei×Ei, in other
words, Ei0 is a field extension of Ei.
Let T ⊂ I be a totally ordered subset. Then it is clear that ET = Si∈T Ei with
induced maps σT = S σi and µT = S µi is another element of I. In other words
every totally order subset of I has a upper bound in I. By Zorn’s lemma there
exists a maximal element (E, σE, µE) in I. We claim that E is an algebraic closure.
Since by definition of I the extension E/F is algebraic, it suffices to show that E
is algebraically closed.
To see this we argue by contradiction. Namely, suppose that E is not algebraically
closed. Then there exists an irreducible polynomial P over E of degree > 1, see
Lemma 10.2. By Lemma 8.5 we obtain a nontrivial finite extension E0 = E[x]/(P).
Observe that E0/F is algebraic by Lemma 8.8. Thus the cardinality of E0 is ≤
max(ℵ0, |F|). By elementary set theory we can extend the given injection E ⊂ S to
an injection E0 → S. In other words, we may think of E0 as an element of our set
I contradicting the maximality of E. This contradiction completes the proof. 
09GU Lemma 10.5. Let F be a field. Let F be an algebraic closure of F. Let M/F be
an algebraic extension. Then there is a morphism of F-extensions M → F.
Proof. Consider the set I of pairs (E, ϕ) where F ⊂ E ⊂ M is a subextension and
ϕ : E → F is a morphism of F-extensions. We partially order the set I by declaring
(E, ϕ) ≤ (E0, ϕ0) if and only if E ⊂ E0 and ϕ0|E = ϕ. If T = {(Et, ϕt)} ⊂ I is a
totally ordered subset, then S ϕt : S Et → F is an element of I. Thus every totally
ordered subset of I has an upper bound. By Zorn’s lemma there exists a maximal
element (E, ϕ) in I. We claim that E = M, which will finish the proof. If not,
then pick α ∈ M, α 6∈ E. The α is algebraic over E, see Lemma 8.4. Let P be the
minimal polynomial of α over E. Let P ϕ be the image of P by ϕ in F[x]. Since
F is algebraically closed there is a root β of P ϕ in F. Then we can extend ϕ to
ϕ0 : E(α) = E[x]/(P) → F by mapping x to β. This contradicts the maximality of
(E, ϕ) as desired. 
09GV Lemma 10.6. Any two algebraic closures of a field are isomorphic.
Proof. Let F be a field. If M and F are algebraic closures of F, then there exists
a morphism of F-extensions ϕ : M → F by Lemma 10.5. Now the image ϕ(M) is
algebraically closed. On the other hand, the extension ϕ(M) ⊂ F is algebraic by
Lemma 8.4. Thus ϕ(M) = F. 

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

10. Algebraic closure09GP The “fundamental theorem of algebra” states that C is algebraically closed. Abeautiful proof of this result uses Liouville’s theorem in complex analysis, we shallgive another proof (see Lemma 22.1).09GQ A field Definition 10.1. F is said to be algebraically closed if every algebraicextension E/F is trivial, i.e., E = F .This may not be the definition in every text. Here is the lemma comparing it withthe other one.09GR Lemma 10.2. Let F be a field. The following are equivalent(1) F is algebraically closed,(2) every irreducible polynomial over F is linear,(3) every nonconstant polynomial over F has a root,(4) every nonconstant polynomial over F is a product of linear factors.Proof. If F is algebraically closed, then every irreducible polynomial is linear.Namely, if there exists an irreducible polynomial of degree > 1, then this generates anontrivial finite (hence algebraic) field extension, see Example 7.6. Thus (1) implies(2). If every irreducible polynomial is linear, then every irreducible polynomial hasa root, whence every nonconstant polynomial has a root. Thus (2) implies (3).Assume every nonconstant polynomial has a root. Let P ∈ F [x] be nonconstant.If P (α) = 0 with α ∈ F , then we see that P = (x − α)Q for some Q ∈ F [x] (bydivision with remainder). Thus we can argue by induction on the degree that anynonconstant polynomial can be written as a product c Q(x − αi).สุดท้าย สมมติว่า ทุก nonconstant ลกำลังผ่าน F เป็นผลิตภัณฑ์ของเส้นปัจจัย ให้ E/F เป็นส่วนขยายของพีชคณิต แล้วทุกตัวอย่าง subextensionsF (ด้วยกองทัพ) /F อีมีเล็กน้อยจำเป็นต้อง (เพราะ polynomials อย่างต่ำเท่านั้นเชิงเส้น โดยอัสสัมชัญ) ดังนั้น E = F เราเห็นว่า (4) หมายถึง (1) และเสร็จแล้ว ตอนนี้ เราต้องการกำหนดนามสกุลพีชคณิตเป็น "สากล" ของเขตข้อมูล จริง เราควรระมัดระวัง: ปิดพีชคณิตเป็นวัตถุสากลไม่ นั่นคือ การไม่เฉพาะเจาะจงถึง isomorphism เฉพาะปิดพีชคณิต: ได้เฉพาะเฉพาะถึงisomorphism แต่ยังคง จะมีประโยชน์มาก ถ้าไม่ functorial09GS ให้คำนิยามที่ 10.3 F เป็นเขต เรากล่าวว่า F ถูกปิดไว้ algebraically ถ้าทุกนามสกุลพีชคณิต E/F เป็นเรื่องขี้ปะติ๋ว เช่น E = F ปิดการพีชคณิตของ F เป็นฟิลด์F F ที่ประกอบด้วยให้:(1) F คือพีชคณิตมากกว่า F(2) F ไว้ algebraically ถูกปิดถ้าไว้ algebraically ปิด F แล้ว F ได้ปิดตัวเองพีชคณิต ตอนนี้เราพิสูจน์ผลพื้นฐานที่มีอยู่ทฤษฎีบท 09GT 10.4 ทุกเขตข้อมูลมีการปิดพีชคณิตหลักฐานจะส่วนใหญ่เป็นปลาแดงของบท อย่างไรก็ตาม เราจะต้องการทราบว่า จะสามารถฝังฟิลด์ในฟิลด์การปิดไว้ algebraicallyและเรามักจะคิดว่าทำเขต 12หลักฐานการ ให้ F เป็นเขต โดยจับมือ 8.9 นอกจำนวนนับของส่วนขยายของพีชคณิตของF ถูกล้อมรอบโดย max(ℵ0, | F|) เลือก S การตั้งค่าที่ประกอบด้วย F กับ | S| > max(ℵ0, | F|)Let’s consider triples (E, σE, µE) where(1) E is a set with F ⊂ E ⊂ S, and(2) σE : E×E → E and µE : E×E → E are maps of sets such that (E, σE, µE)defines the structure of a field extension of F (in particular σE(a, b) = a+F bfor a, b ∈ F and similarly for µE), and(3) F ⊂ E is an algebraic field extension.The collection of all triples (E, σE, µE) forms a set I. For i ∈ I we will denoteEi = (Ei, σi, µi) the corresponding field extension to F. We define a partial orderingon I by declaring i ≤ i0 if and only if Ei ⊂ Ei0 (this makes sense as Ei and Ei0 aresubsets of the same set S) and we have σi = σi0|Ei×Ei and µi = µi0|Ei×Ei, in otherwords, Ei0 is a field extension of Ei.Let T ⊂ I be a totally ordered subset. Then it is clear that ET = Si∈T Ei withinduced maps σT = S σi and µT = S µi is another element of I. In other wordsevery totally order subset of I has a upper bound in I. By Zorn’s lemma thereexists a maximal element (E, σE, µE) in I. We claim that E is an algebraic closure.Since by definition of I the extension E/F is algebraic, it suffices to show that Eis algebraically closed.To see this we argue by contradiction. Namely, suppose that E is not algebraicallyclosed. Then there exists an irreducible polynomial P over E of degree > 1, seeLemma 10.2. By Lemma 8.5 we obtain a nontrivial finite extension E0 = E[x]/(P).Observe that E0/F is algebraic by Lemma 8.8. Thus the cardinality of E0 is ≤max(ℵ0, |F|). By elementary set theory we can extend the given injection E ⊂ S toan injection E0 → S. In other words, we may think of E0 as an element of our setI contradicting the maximality of E. This contradiction completes the proof. 09GU Lemma 10.5. Let F be a field. Let F be an algebraic closure of F. Let M/F bean algebraic extension. Then there is a morphism of F-extensions M → F.Proof. Consider the set I of pairs (E, ϕ) where F ⊂ E ⊂ M is a subextension andϕ : E → F is a morphism of F-extensions. We partially order the set I by declaring(E, ϕ) ≤ (E0, ϕ0) if and only if E ⊂ E0 and ϕ0|E = ϕ. If T = {(Et, ϕt)} ⊂ I is atotally ordered subset, then S ϕt : S Et → F is an element of I. Thus every totallyordered subset of I has an upper bound. By Zorn’s lemma there exists a maximalelement (E, ϕ) in I. We claim that E = M, which will finish the proof. If not,then pick α ∈ M, α 6∈ E. The α is algebraic over E, see Lemma 8.4. Let P be theminimal polynomial of α over E. Let P ϕ be the image of P by ϕ in F[x]. SinceF is algebraically closed there is a root β of P ϕ in F. Then we can extend ϕ toϕ0 : E(α) = E[x]/(P) → F by mapping x to β. This contradicts the maximality of(E, ϕ) as desired. 09GV Lemma 10.6. Any two algebraic closures of a field are isomorphic.Proof. Let F be a field. If M and F are algebraic closures of F, then there existsa morphism of F-extensions ϕ : M → F by Lemma 10.5. Now the image ϕ(M) isalgebraically closed. On the other hand, the extension ϕ(M) ⊂ F is algebraic byLemma 8.4. Thus ϕ(M) = F. 

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

10 . พีชคณิตปิด
09gp " ทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต " ระบุว่า ซี คือพีชคณิตปิด . มีหลักฐานการใช้
สวยงามของทฤษฎีบท liouville ในการวิเคราะห์ที่ซับซ้อน จะให้พิสูจน์อีก ( เห็นฟาง

22.1 ) 09gq สนามความละเอียด 10.1 . F เป็นพีชคณิตปิดถ้าทุกพีชคณิต
E / F เป็นส่วนขยายเล็กน้อย ( E = f .
นี้ไม่อาจนิยาม ทุกข้อความ นี่คือรูปแบบการเปรียบเทียบกับอื่น ๆ
.
09gr บทตั้ง 10.2 . ให้ f เป็นสนาม ต่อไปนี้เป็นเทียบเท่า
( 1 ) F คือพีชคณิตปิด
( 2 ) ทุกพหุนามลดทอนไม่ได้มากกว่า F เป็นเชิงเส้น ,
( 3 ) ทุก nonconstant พหุนามกว่า F มีราก ,
( 4 ) ทุก nonconstant พหุนามกว่า F เป็นผลิตภัณฑ์ของปัจจัยเชิงเส้น .
พิสูจน์ถ้า f เป็นพีชคณิตปิดแล้วทุกพหุนามลดทอนไม่ได้เป็นเชิงเส้น .
( หากมีแบบลดระดับ 1 แล้วสร้าง
นอนทริเวียล จำกัด ( พีชคณิตฟิลด์นามสกุล ดังนั้น ) เห็นตัวอย่าง 7.6 . จึงหมายถึง ( 1 )
( 2 ) ถ้าทุกพหุนามลดทอนไม่ได้เป็นเส้นตรง แล้วทุกพหุนามลดทอนไม่ได้มีการราก ซึ่งทุก nonconstant พหุนามมีรากจึงหมายถึง ( 2 ) ( 3 ) .
ถือว่า ทุก nonconstant พหุนามมีราก ให้ P ∈ F [ x ] nonconstant .
ถ้า P ( α ) = 0 ด้วยα∈ F แล้วเราดูว่า P = ( −α X ) Q Q ∈บาง F [ x ] (
กองกับส่วนที่เหลือ ) ดังนั้นเราสามารถโต้แย้งโดยอุปนัยในระดับใด ๆ
nonconstant พหุนามสามารถเขียนเป็นผลิตภัณฑ์ C Q ( x α− i )
ในที่สุดสมมติว่าทุก nonconstant พหุนามกว่า F เป็นผลิตภัณฑ์ของปัจจัยเชิงเส้น

ให้ E / F เป็นส่วนขยายพีชคณิต แล้วทั้งหมดที่ง่าย subextensions
F ( α ) / F e จะต้องเล็กน้อย ( เพราะแค่ลดพหุนามเป็น
เชิงเส้นโดยสมมติฐาน ) ดังนั้น E = F . เราดูที่ ( 4 ) หมายถึง ( 1 ) และเรา
เสร็จแล้ว 
ตอนนี้เราต้องการกำหนดส่วนขยายพีชคณิตสากล " ของเขตข้อมูล จริงๆ แล้วเรา
ควรระวัง : พีชคณิตการปิดไม่ใช่วัตถุที่เป็นสากล นั่นคือ
ปิดพีชคณิตไม่เป็นเอกลักษณ์ขึ้นเฉพาะก้อน : มันเป็นเพียงเฉพาะขึ้น

ก้อน . แต่มันจะมีประโยชน์มาก ถ้าไม่ functorial .
09gs ให้ความละเอียด 10.3 . เอฟเป็นฟิลด์ เราว่า F คือพีชคณิตปิดถ้าทุก
พีชคณิตนามสกุล E / F เล็กน้อย ( E = F .การปิดพีชคณิต f เป็นเขต
F ที่มี F เช่นที่ :
( 1 ) F คือพีชคณิตมากกว่า F .
( 2 ) F คือพีชคณิตปิด .
ถ้า f คือพีชคณิตปิดแล้ว f เป็นพีชคณิตการปิดของมันเอง ตอนนี้เราพิสูจน์

" การดำรงอยู่ขั้นพื้นฐาน 09gt ทฤษฎีบท 10.4 . ทุกสาขามีการปิดพีชคณิต
หลักฐานส่วนใหญ่จะเป็นปลาชนิดหนึ่งสีแดง กับส่วนที่เหลือของบทที่ อย่างไรก็ตาม เราจะ
อยากทราบว่ามันเป็นไปได้ที่จะฝังสนามภายในสนามปิดพีชคณิต
, และเราจะมักจะถือว่าจบแล้ว เขต 12

หลักฐาน ให้ f เป็นสนาม โดยแทรก 8.9 มีภาวะเชิงการนับของส่วนขยายพีชคณิต
F เป็นที่สิ้นสุดโดยแม็กซ์ ( ℵ 0 | F | ) เลือกชุด S ที่มี F กับ | S | > แม็กซ์ ( ℵ 0 | F | )
ให้พิจารณาอเนกประสงค์ ( E , σ E , µ e )
( 1 ) E ที่เป็นชุดกับ F ⊂ E ⊂ S ,
( 2 ) σ E :E × e → keyboard - key - name E และµ E : E × e → keyboard - key - name e แผนที่ชุดดังกล่าว ( E , σ E , µ e )
นิยามโครงสร้างของเขตส่งเสริมของ f ( E σโดยเฉพาะ ( A , B ) = F B
สำหรับ A , B ∈ F และในทำนองเดียวกันสำหรับµและ E )
( 3 ) F ⊂ E เป็นฟิลด์พีชคณิตนามสกุล .
คอลเลกชันทั้งหมดของอเนกประสงค์ ( E , σ E , µ E ) รูปแบบชุดฉันฉันฉันจะแสดง∈
EI = ( Ei σผมµ ) เขตที่ส่งเสริมให้เรากำหนดบางส่วนสั่ง
ผมโดยผมได้ประกาศ≤ถ้าและเพียงถ้าคุณ⊂ ei0 ( มันสมเหตุสมผลและเป็น EI ei0 เป็น
ชุดย่อยของชุดเดียวกันด้วย ) และเราได้σ = σ i0 | EI × EI µและ = µ i0 | EI × ei กล่าวอีกนัยหนึ่ง
ei0 , เป็นสนามส่วนขยายของ EI .
t ⊂ให้ฉันเป็นเหมือนคำสั่งย่อย . แล้วมันเป็นที่ชัดเจนว่า ET = ศรี∈ T
T ) EI กับแผนที่σ = s และ t = S σµµผมเป็นองค์ประกอบอื่นของในคำอื่น ๆทั้งหมดเพื่อย่อยของ
ทุกฉันมีผูกไว้บนผม โดยมี ซอร์นเป็นบทตั้ง
มีอยู่องค์ประกอบสูงสุด ( E , σ E , µ E ) e . เราอ้างว่าเป็นปิดพีชคณิต .
เพราะคำนิยามของฉันขยาย E / F เป็นพีชคณิต มันพอเพียงเพื่อแสดง E
คือพีชคณิตปิด .
เห็นเราทะเลาะกันโดยความขัดแย้ง คือ สมมติว่า อี ไม่ใช่พีชคณิต
ปิด