Among Jakob Bernoulli’s contributio

Among Jakob Bernoulli’s contributions to mathematics are the early use of polar coordinates (already mentioned in Section 10-30), the derivation in both rectangular and polar coordinates of the formula for the radius of curvature of a plane curve, the study of the catenary curve with extensions to strings of variable density and strings under the action of a central force, the study of a number of other higher plane curves, the discovery of the 80-called isochrones-or curve along which a body will fall with uniform vertical velocity (it turned out to be a semicubical parabola with a vertical cusptangent), the determination of the form taken by an elastic rod fixed at one end and carrying a weight at the other, the form assumed by a flexible rectangular sheet having two opposite edges held horizontally fixed at the same height and laoded with a heavy liquid, and the shape of a rectangular sail filled with wind. He also proposed and discussed the problem of isoperimetric figures (planar close paths of given species and fixed perimeter which include a maximum area), and was thus one of the first mathematicians to work in the calculus of variations.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ระหว่างสรร Jakob Bernoulli คณิตศาสตร์ มีช่วงใช้พิกัดเชิงขั้ว (กล่าวแล้วในส่วน 10-30), มาทั้งสี่เหลี่ยม และพิกัดเชิงขั้วของสูตรสำหรับรัศมีของความโค้งของเส้นโค้งระนาบ การศึกษาแบบ catenary ทางโค้งกับส่วนขยายของความหนาแน่นตัวแปรสายอักขระและสายอักขระภายใต้การดำเนินการของกองกลาง การศึกษาจำนวนเส้นโค้งระนาบอื่น ๆ สูงการค้นพบของ isochrones เรียกว่า 80- หรือโค้งตามที่ร่างกายจะตกกับเครื่องแบบแนวตั้งที่ความเร็ว (มันกลายเป็นพาราโบลา semicubical กับ cusptangent แนวตั้ง), ความมุ่งมั่นของฟอร์มโดยร็อดยืดหยุ่นคงที่หนึ่ง และแบกน้ำหนักที่อื่น ๆ แบบสันนิษฐาน โดยแผ่นสี่เหลี่ยมมีความยืดหยุ่นที่มีขอบตรงข้ามสองจัดแนวถาวรที่สูงและ laoded กับของเหลวที่หนักเหมือนกันและรูปร่างของเซลสี่เหลี่ยมเต็มไป ด้วยลม เขายังเสนอ และกล่าวถึงปัญหาของตัวเลข isoperimetric (เส้นทางปิดระนาบของชนิดและขอบเขตที่ถาวรซึ่งมีทั้งพื้นที่สูงสุด), และเป็นดังหนึ่งของ mathematicians แรกทำงานในรูปแบบต่าง ๆ ของแคลคูลัส

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ในการให้ข้อมูลจาคอบ Bernoulli เพื่อคณิตศาสตร์มีการใช้งานในช่วงต้นของพิกัดเชิงขั้ว (ดังกล่าวแล้วในมาตรา 10-30) มาทั้งในพิกัดสี่เหลี่ยมและขั้วโลกของสูตรสำหรับรัศมีความโค้งของเส้นโค้งเครื่องบินศึกษาของเส้นโค้งโซ่ ที่มีนามสกุลสตริงของความหนาแน่นของตัวแปรและสตริงภายใต้การกระทำของแรงกลางการศึกษาจำนวน curves เครื่องบินสูงกว่าที่อื่น ๆ ค้นพบ 80 ที่เรียกว่าในแผนที่หรือเส้นโค้งตามที่ร่างกายจะตกอยู่กับความเร็วในแนวตั้งเครื่องแบบ ( มันเปิดออกมาเป็นรูปโค้ง semicubical กับ cusptangent แนวตั้ง), การกำหนดรูปแบบการดำเนินการโดยแกนยืดหยุ่นคงที่ปลายด้านหนึ่งและถือน้ำหนักที่อื่น ๆ รูปแบบสันนิษฐานโดยแผ่นสี่เหลี่ยมที่มีความยืดหยุ่นมีสองขอบตรงข้ามจัดขึ้นในแนวนอน คงที่ที่ระดับความสูงเดียวกันและ laoded กับของเหลวหนักและรูปร่างของใบเรือสี่เหลี่ยมที่เต็มไปด้วยลม เขาเสนอและยังกล่าวถึงปัญหาของตัวเลข isoperimetric (ระนาบใกล้เส้นทางของสายพันธุ์ที่ได้รับและปริมณฑลคงที่ซึ่งรวมถึงพื้นที่สูงสุด) และจึงเป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์คนแรกที่ทำงานในแคลคูลัสของการเปลี่ยนแปลง

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ระหว่าง จาคอบ เบอร์นูลีคุณูปการทางคณิตศาสตร์เป็นก่อนการใช้พิกัด ( กล่าวแล้วในส่วน 10-30 ) มาทั้งในระบบพิกัดฉากและของสูตรหารัศมีความโค้งของเส้นโค้งระนาบ ในการศึกษาของเส้นโค้งผสมกับส่วนขยายของสตริงของความหนาแน่นและตัวแปรสตริงภายใต้การกระทำของแรง กลางการศึกษาจำนวนของอื่น ๆสูงกว่าระนาบโค้ง การค้นพบของ 80 เรียกว่า isochrones หรือโค้งไปที่ร่างกายจะตกอยู่กับความเร็วแนวดิ่งสม่ำเสมอ ( เป็นพาราโบลา semicubical กับ cusptangent แนวตั้ง ) , การกำหนดรูปแบบการเขียนยืดหยุ่นคงที่ ที่ปลายก้าน และแบกน้ำหนัก อื่น ๆรูปแบบสันนิษฐานโดยมีแผ่นสี่เหลี่ยม มี 2 ตรงข้ามขอบจัดขึ้นตามแนวนอนที่ความสูงเดียวกันและ laoded ด้วยของเหลวหนักและรูปร่างของสี่เหลี่ยมใบเต็มไปด้วยลม เขายังได้เสนอ และกล่าวถึงปัญหาของตัวเลข isoperimetric ( ระนาบปิดเส้นทางระบุชนิดและถาวร ซึ่งรวมพื้นที่ปริมณฑลสูงสุด )และดังนั้นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์คนแรกทำงานในแคลคูลัสของการเปลี่ยนแปลง .