3.Estimation of the population mean

3.Estimation of the population mean
Let X1,X2,…,Xn be a random sample of size n from a population of size N units, with pdf f(x), mean µ and variance σ^2. Tha commonly simple random sample estimator of the population mean µ from a sample of size n is given by


With variance


The RSS estimator of the population mean is


With variance
Where μ_((i)) is the mean of the ith order statistics, X_((i)) of a sample of size n.
When n_h is odd, the stratified median ranked set sampling (SMRSS) estimator of the population mean is given by


Where W_h =N_h/N,N_h is the stratum size. The variance of SMRSS is given by


When n_h is even, the estimator of the population mean using stratified median ranked set sampling is given by


With variance given by


Lemma 1:If the distribution is symmetric about µ, then E(X ̅



Proof: If the sample size within the strata is odd, we have


Since the distribution is symmetric about µ, than


If n_h (h=1,2,…,L) are even,then
Since the distribution is symmetric about µ



Lemma 2: If the distribution is symmetric about µ, then


Proof: If the sample size is odd, the variance of X ̅ is given by

But for each stratum h=1,2,…,L, which implies that

And the proof is the same for even sample size.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

3.การประมาณการของค่าเฉลี่ยประชากร ให้ X1, X 2,..., Xn เป็นตัวอย่างสุ่มขนาด n จากประชากรขนาด N หน่วย f (x) pdf หมายถึง เขตและความแปรปรวนσ ^ 2 ท่าทั่วไปอย่างง่ายสุ่มประมาณของเขตหมายถึงประชากรจากตัวอย่างขนาด n ถูกกำหนดโดย มีผลต่างคือประมาณ RSS ของค่าเฉลี่ยประชากรมีผลต่างที่ μ_((i)) คือ ความหมายของสถิติระยะใบสั่ง X_((i)) ของตัวอย่างขนาด nเมื่อ n_h คี่ ถูกกำหนดจำนวนชั้นของเซลล์เฉลี่ยอันดับชุด (SMRSS) ประมาณของค่าเฉลี่ยประชากรการสุ่มตัวอย่างโดยที่ W_h = N_h/N, N_h เป็น stratum ขนาด ความแปรปรวนของ SMRSS ถูกกำหนดโดย เมื่อ n_h เป็นประมาณของค่าเฉลี่ยของประชากรโดยใช้จำนวนชั้นของเซลล์มัธยฐานอันดับแม้ สุ่มตัวอย่างการตั้งค่าที่ถูกกำหนดโดยมีผลต่างที่กำหนดโดย1:If หน่วยการกระจายเป็นแบบสมมาตรเกี่ยวกับเขต แล้ว E (X ̅หลักฐาน: ขนาดตัวอย่างในชั้นเป็นคี่ ที่ต้องการเนื่องจากการแจกแจงสมมาตรเกี่ยวกับเขต กว่าถ้า n_h (h = 1, 2,..., L) แม้ อยู่แล้วเนื่องจากการแจกแจงสมมาตรเกี่ยวกับเขตหน่วยการที่ 2: ถ้าการแจกแจงแบบสมมาตรเกี่ยวกับเขต แล้วหลักฐาน: ถ้าขนาดตัวอย่างที่เป็นคี่ ค่าความแปรปรวนของ X ̅ ถูกกำหนดโดยแต่สำหรับแต่ละ stratum h = 1, 2,..., L ซึ่งก็หมายความว่าและหลักฐานเหมือนกันแม้ขนาดตัวอย่าง

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

3.Estimation ของประชากรหมายถึง
ให้ X1, X2, ... , Xn เป็นตัวอย่างที่สุ่มจากขนาด n จากประชากรที่มีขนาดหน่วย N ที่มีรูปแบบไฟล์ PDF f (x) หมายถึงμและความแปรปรวนσ ^ 2 ท่าง่าย ๆ ทั่วไปประมาณตัวอย่างที่สุ่มจากประชากรหมายถึงμจากกลุ่มตัวอย่างขนาด n จะได้รับจาก


ค่าความแปรปรวน


ประมาณการ RSS ของประชากรที่หมายถึงคือ


ค่าความแปรปรวน
ไหนμ _ ((i)) เป็นค่าเฉลี่ยของสถิติการสั่งซื้อที่ i, X_ ( (i)) ของกลุ่มตัวอย่างที่มีขนาด n ได้.
เมื่อ n_h แปลกมัธยฐานแซดอันดับการตั้งค่าการสุ่มตัวอย่าง (SMRSS) ประมาณการของประชากรหมายถึงการจะได้รับจาก


ที่ไหน W_h = N_h / n, N_h คือขนาดช่วงชั้น ความแปรปรวนของ SMRSS จะได้รับโดย


เมื่อ n_h แม้ประมาณการของประชากรที่หมายถึงการใช้เฉลี่ยแซดอันดับตั้งสุ่มตัวอย่างจะได้รับจาก


ค่าความแปรปรวนที่กำหนดโดย


บทแทรกที่ 1: ถ้าการกระจายสมมาตรเกี่ยวกับμแล้ว E (X ̅



พิสูจน์: ถ้า ขนาดของกลุ่มตัวอย่างที่อยู่ในชั้นเป็นเลขคี่เรามี


ตั้งแต่การกระจายสมมาตรเกี่ยวกับμกว่า


ถ้า n_h (h = 1,2, ... , L) มีมากแล้ว
ตั้งแต่การกระจายสมมาตรเกี่ยวกับμ



บทแทรกที่ 2: ถ้าการกระจาย สมมาตรเกี่ยวกับμแล้ว


พิสูจน์: ถ้าขนาดของกลุ่มตัวอย่างเป็นเลขคี่ความแปรปรวนของ X ̅จะได้รับโดย

แต่สำหรับแต่ละชั้น H = 1,2, ... , L ซึ่งหมายความว่า

และหลักฐานอยู่เหมือนกันสำหรับขนาดของกลุ่มตัวอย่างแม้กระทั่ง .

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

3 . การประมาณค่าประชากรหมายถึงให้ x1 , x2 , . . . , คริสเตียนจะสุ่มตัวอย่างจากประชากรขนาดขนาด n หน่วย กับ PDF f ( x ) , ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนµσ ^ 2 ท่าทั่วไปอย่างง่ายการสุ่มตัวอย่างประมาณของประชากร หมายถึง µจากตัวอย่างขนาด n จะได้รับโดยกับความแปรปรวนRSS ประมาณการของประชากร หมายถึงกับความแปรปรวนที่μ _ ( ( ) ) คือ ค่าเฉลี่ยของสถิติเพื่อ x_ ith , ( ผม ) ของตัวอย่างขนาด .เมื่อ n_h เป็นเลขคี่ โดยแบ่งชุดตัวอย่าง ( smrss ) การประมาณการของประชากร หมายถึง จะได้รับโดยที่ w_h = n_h / n n_h เป็นชั้นขนาด ความแปรปรวนของ smrss ที่จะได้รับโดยเมื่อ n_h ได้ประมาณการของประชากร หมายถึง การจัดลำดับชั้น median ) จะได้รับโดยให้กับความแปรปรวนบทแทรก 1 : ถ้าการกระจายสมมาตรเกี่ยวกับµแล้ว E ( x ̅หลักฐาน : ถ้าขนาดตัวอย่างภายในชั้นก็แปลก เรามีเนื่องจากการกระจายสมมาตรเกี่ยวกับµมากกว่าถ้า n_h ( H = 1 , 2 , . . . , L ) เป็นแล้วเนื่องจากการกระจายสมมาตรเกี่ยวกับµบทแทรก 2 : ถ้าการกระจายสมมาตรเกี่ยวกับµแล้วหลักฐาน : ถ้าขนาดตัวอย่างเป็นเลขคี่ ความแปรปรวนของ x ̅ที่จะได้รับโดยแต่สำหรับแต่ละ ( H = 1 , 2 , . . . , L ซึ่งแสดงถึงว่าและหลักฐานเป็นเหมือนกันขนาดตัวอย่างได้