Counting in binary is similar to co

Counting in binary is similar to counting in any other number system. Beginning with a single digit, counting proceeds through each symbol, in increasing order. Before examining binary counting, it is useful to briefly discuss the more familiar decimal counting system as a frame of reference.
Decimal counting[edit]
Decimal counting uses the ten symbols 0 through 9. Counting primarily involves incremental manipulation of the "low-order" digit, or the rightmost digit, often called the "first digit". When the available symbols for the low-order digit are exhausted, the next-higher-order digit (located one position to the left) is incremented, and counting in the low-order digit starts over at 0. In decimal, counting proceeds like so:
000, 001, 002, ... 007, 008, 009, (rightmost digit starts over, and next digit is incremented)
010, 011, 012, ...
...
090, 091, 092, ... 097, 098, 099, (rightmost two digits start over, and next digit is incremented)
100, 101, 102, ...
After a digit reaches 9, an increment resets it to 0 but also causes an increment of the next digit to the left.
Binary counting[edit]
In binary, counting follows similar procedure, except that only the two symbols 0 and 1 are used. Thus, after a digit reaches 1 in binary, an increment resets it to 0 but also causes an increment of the next digit to the left:
0000,
0001, (rightmost digit starts over, and next digit is incremented)
0010, 0011, (rightmost two digits start over, and next digit is incremented)
0100, 0101, 0110, 0111, (rightmost three digits start over, and the next digit is incremented)
1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111 ...
Since binary is a base-2 system, each digit represents an increasing power of 2, with the rightmost digit representing 20, the next representing 21, then 22, and so on. To determine the decimal representation of a binary number simply take the sum of the products of the binary digits and the powers of 2 which they represent. For example, the binary number 100101 is converted to decimal form as follows:
1001012 = [ ( 1 ) × 25 ] + [ ( 0 ) × 24 ] + [ ( 0 ) × 23 ] + [ ( 1 ) × 22 ] + [ ( 0 ) × 21 ] + [ ( 1 ) × 20 ]
1001012 = [ 1 × 32 ] + [ 0 × 16 ] + [ 0 × 8 ] + [ 1 × 4 ] + [ 0 × 2 ] + [ 1 × 1 ]
1001012 = 3710
To create higher numbers, additional digits are simply added to the left side of the binary representation.
Fractions[edit]

Fractions in binary only terminate if the denominator has 2 as the only prime factor. As a result, 1/10 does not have a finite binary representation, and this causes 10 × 0.1 not to be precisely equal to 1 in floating point arithmetic. As an example, to interpret the binary expression for 1/3 = .010101..., this means: 1/3 = 0 × 2−1 + 1 × 2−2 + 0 × 2−3 + 1 × 2−4 + ... = 0.3125 + ... An exact value cannot be found with a sum of a finite number of inverse powers of two, the zeros and ones in the binary representation of 1/3 alternate forever.
Fraction Decimal Binary Fractional approximation
1/1 1 or 0.999... 1 or 0.111... 1/2 + 1/4 + 1/8...
1/2 0.5 or 0.4999... 0.1 or 0.0111... 1/4 + 1/8 + 1/16 . . .
1/3 0.333... 0.010101... 1/4 + 1/16 + 1/64 . . .
1/4 0.25 or 0.24999... 0.01 or 0.00111... 1/8 + 1/16 + 1/32 . . .
1/5 0.2 or 0.1999... 0.00110011... 1/8 + 1/16 + 1/128 . . .
1/6 0.1666... 0.0010101... 1/8 + 1/32 + 1/128 . . .
1/7 0.142857142857... 0.001001... 1/8 + 1/64 + 1/512 . . .
1/8 0.125 or 0.124999... 0.001 or 0.000111... 1/16 + 1/32 + 1/64 . . .
1/9 0.111... 0.000111000111... 1/16 + 1/32 + 1/64 . . .
1/10 0.1 or 0.0999... 0.000110011... 1/16 + 1/32 + 1/256 . . .
1/11 0.090909... 0.00010111010001011101... 1/16 + 1/64 + 1/128 . . .
1/12 0.08333... 0.00010101... 1/16 + 1/64 + 1/256 . . .
1/13 0.076923076923... 0.000100111011000100111011... 1/16 + 1/128 + 1/256 . . .
1/14 0.0714285714285... 0.0001001001... 1/16 + 1/128 + 1/1024 . . .
1/15 0.0666... 0.00010001... 1/16 + 1/256 . . .
1/16 0.0625 or 0.0624999... 0.0001 or 0.0000111... 1/32 + 1/64 + 1/128 . . .
Binary arithmetic[edit]

Arithmetic in binary is much like arithmetic in other numeral systems. Addition, subtraction, multiplication, and division can be performed on binary numerals.
Addition[edit]
Main article: binary adder


The circuit diagram for a binary half adder, which adds two bits together, producing sum and carry bits.
The simplest arithmetic operation in binary is addition. Adding two single-digit binary numbers is relatively simple, using a form of carrying:
0 + 0 → 0
0 + 1 → 1
1 + 0 → 1
1 + 1 → 0, carry 1 (since 1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 21) )
Adding two "1" digits produces a digit "0", while 1 will have to be added to the next column. This is similar to what happens in decimal when certain single-digit numbers are added together; if the result equals or exceeds the value of the radix (10), the digit to the left is incremented:
5 + 5 → 0, carry 1 (since 5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 101) )
7 + 9 → 6, carry 1 (since 7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 101) )
This is known as carrying. When the result of an addition exceeds the value of a digit, the procedure is to "carry" the excess amount divided by the radix (that is, 10/10) to the left, adding it to the next positional value. This is correct since the next position has a weight that is higher by a factor equal to the radix. Carrying works the same way in binary:
1 1 1 1 1 (carried digits)
0 1 1 0 1
+ 1 0 1 1 1
-------------
= 1 0 0 1 0 0 = 36
In this example, two numerals are being added together: 011012 (1310) and 101112 (2310). The top row shows the carry bits used. Starting in the rightmost column, 1 + 1 = 102. The 1 is carried to the left, and the 0 is written at the bottom of the rightmost column. The second column from the right is added: 1 + 0 + 1 = 102 again; the 1 is carried, and 0 is written at the bottom. The third column: 1 + 1 + 1 = 112. This time, a 1 is carried, and a 1 is written in the bottom row. Proceeding like this gives the final answer 1001002 (36 decimal).
When computers must add two numbers, the rule that: x xor y = (x + y) mod 2 for any two bits x and y allows for very fast calculation, as well.
Long carry method[edit]
A simplification for many binary addition problems is the Long Carry Method or Brookhouse Method of Binary Addition. This method is generally useful in any binary addition where one of the numbers contains a long "string" of ones. It is based on the simple premise that under the binary system, when given a "string" of digits composed entirely of n ones (where: n is any integer length), adding 1 will result in the number 1 followed by a string of n zeros. That concept follows, logically, just as in the decimal system, where adding 1 to a string of n 9s will result in the number 1 followed by a string of n 0s:
Binary Decimal
1 1 1 1 1 likewise 9 9 9 9 9
+ 1 + 1
----------- -----------
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
Such long strings are quite common in the binary system. From that one finds that large binary numbers can be added using two simple steps, without excessive carry operations. In the following example, two numerals are being added together: 1 1 1 0 1 1 1 1 1 02 (95810) and 1 0 1 0 1 1 0 0 1 12 (69110), using the traditional carry method on the left, and the long carry method on the right:
Traditional Carry Method Long Carry Method
vs.
1 1 1 1 1 1 1 1 (carried digits) 1 ← 1 ← carry the 1 until it is one digit past the "string" below
1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 cross out the "string",
+ 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 + 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 and cross out the digit that was added to it
----------------------- -----------------------
= 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

นับในไบนารีจะคล้ายกับการตรวจนับในระบบหมายเลขอื่น ๆ เริ่มต้น ด้วยเลขตัวเดียว นับเงินผ่านแต่ละสัญลักษณ์ ลำดับที่เพิ่มขึ้น ก่อนที่จะตรวจสอบการนับไบนารี เป็นประโยชน์สั้น ๆ หารือเกี่ยวกับทศนิยมคุ้นนับระบบเป็นกรอบของการอ้างอิง
[แก้ไข] นับทศนิยม
นับสิบใช้สัญลักษณ์ 10 0 ถึง 9 นับเป็นหลักเกี่ยวข้องกับการเพิ่มตัวเลข "สั่งต่ำ" หรือหลักขวาสุด มักเรียกว่า "ตัวแรก" เมื่อสัญลักษณ์ใช้สำหรับตัวเลขต่ำสั่งได้หมดลง ตัวเลขถัดไป--ขั้นสูง (อยู่หนึ่งตำแหน่งทางด้านซ้าย) ได้เพิ่ม และตรวจนับเริ่มต้นตัวเลขลำดับต่ำกว่าที่ 0 ในเลขทศนิยม ดำเนินการนับเช่นนั้น:
000, 001, 002, ... 007 008, 009, (ตัวขวาสุดเริ่มผ่าน และเพิ่มตัวเลขถัดไป)
010, 011, 012,...
...
090, 091, 092, ... 097, 098, 099, (ขวาสุดสองตำแหน่งเริ่มต้น และเพิ่มหลักถัดไป)
100, 101, 102,...
หลังจากที่ตัวเลขถึง 9 เพิ่มการตั้งค่าใหม่เป็น 0 แต่ยัง ทำให้เกิดการเพิ่มขึ้นของตัวเลขถัดไปซ้าย
[แก้ไข] นับไบนารี
ในไบนารี การตรวจนับตามขั้นตอนคล้ายกัน ยกเว้นว่าจะใช้เพียงสองสัญลักษณ์ 0 และ 1 ดังนั้น หลังจากตัวเลขถึง 1 ในไบนารี เพิ่มการตั้งค่าใหม่เป็น 0 แต่ยัง ทำให้เกิดการเพิ่มขึ้นของหลักถัดไปทางซ้าย:
0000,
0001, (ตัวขวาสุดเริ่มผ่าน และเพิ่มตัวเลขถัดไป)
0010, 0011, (ขวาสุดสองตำแหน่งเริ่มต้น และเพิ่มหลักถัดไป)
0100, 0101, 0110, 0111, (ขวาสุดสามหลักเริ่มต้น และเพิ่มตัวเลขถัดไป)
1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111...
เนื่องจากระบบฐาน 2 เป็นฐาน ตัวเลขแต่ละหมายถึงมีพลังงานเพิ่มขึ้น 2 ด้วยหลักขวาสุดแสดง 20, 21 แทนถัดไป แล้ว 22 และอื่น ๆ กำหนดจุดทศนิยม แทนตัวเลขฐานสองใช้ผลรวมของผลิตภัณฑ์ของตัวเลขฐานสองอำนาจ 2 ซึ่งจะแสดงเพียง ตัวอย่าง เลขฐานสอง 100101 ถูกแปลงเป็นฟอร์มทศนิยมดังนี้:
1001012 = [(1) × 25] [(0) × 24] [(0) × 23] [(1) × 22] [(0) × 21] [(1) × 20]
1001012 = [1 × 32] [0 × 16] [0 × 8] [1 × 4] [× 0 [2] 1 × 1]
1001012 = 3710
เพื่อสร้างหมายเลขที่สูงขึ้น ตัวเลขเพิ่มเติมจะเพิ่มไปทางด้านซ้ายของเลขฐานสองแทน
เศษ [แก้ไข]

ส่วนในไบนารีเท่านั้นจบถ้าตัวหารมี 2 ปัจจัยหลักเท่านั้น ดังนั้น 1/10 มีการแสดงไบนารีจำกัด และทำให้ 10 × 01 ไม่ให้แม่นยำเท่ากับ 1 ในน้ำชี้เลขคณิต เป็นตัวอย่าง การแปลงนิพจน์แบบไบนารีสำหรับ 1/3 =.010101 ..., หมายถึง: 1/3 = 0 × 2−1 1 × 2−2 0 × 2−3 1 × 2−4... = 0.3125 ... ไม่พบค่าที่แน่นอนกับผลรวมของจำนวนจำกัดอำนาจผกผันของสอง ศูนย์ และในการแสดงไบนารีของ 1/3 รองตลอดได้
เศษส่วนทศนิยมนารีเศษประมาณ
1 1/1 หรือ 0.999 ... 1 หรือ 0.111 ... 1 1/2/4 1/8...
0.5 1/2 หรือ 0.4999 ... 0.1 หรือ 0.0111 ... 1/4 1/8 1/16 .. .
0.333 1/3 ... 0.010101... 1/4 1/16 1/64 ... .
1/4 0.25 หรือ 0.24999 ... 0.01 หรือ 0.00111 ... 1/8 1/16 1/32 ... .
0.2 1/5 หรือ 0.1999 ... 0.00110011... 1/8 1/16 1/128 ... .
0.1666 1/6 ... 0.0010101... 1/8 1/32 1/128 ...
0 1/7142857142857... 0.001001 ... 1/8 1/64 1/512 ... .
0.125 1/8 หรือ 0.124999 ... 0.001 หรือ 0.000111 ... 1/16 1/32 1/64 ... .
0.111 1/9 ... 0.000111000111... 1/16 1/32 1/64 ... .
0.0999 หรือ 0.1 1/10 ... 0.000110011... 1/16 1/32 1/256 .. .
1/11 0.090909 ... 0.00010111010001011101... 1/16 1/64 1/128 ... .
0.08333 1/12 ... 0.00010101... 1/16 1/64 1/256 .. .
0.076923076923 1/13 ... 0000100111011000100111011... 1/16 1/128 1/256 .. .
1/14 0.0714285714285 ... 0.0001001001... 1/16 1/128 1/1024 ... .
0.0666 1/15 ... 0.00010001... 1/16 1/256 .. .
0.0625 1/16 หรือ 0.0624999 ... มาก 0.0001 หรือ 0.0000111 ... 1/32 1/64 1/128 ... .
เลขคณิตฐานสอง [แก้ไข]

เลขคณิตในฐานสองเป็นเลขคณิตมากเช่นในระบบตัวเลขอื่น ๆ เพิ่ม ลบ คูณ และฝ่ายสามารถดำเนินการบนตัวเลขไบนารี
เพิ่ม [แก้ไข]
บทความหลัก: วงจรบวกเลขฐานสอง


วงจรไดอะแกรมสำหรับการไบนารีครึ่งวงจรบวก ซึ่งเพิ่มสองบิตกัน ผลผลิต และดำเนินการบิต.
จะดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ง่ายที่สุดในไบนารี เพิ่มสองตัวเลขเดี่ยวเลขฐานสองได้ค่อนข้างง่าย โดยใช้รูปแบบการถือครอง:
0 0 → 0
0 1 → 1
1 0 → 1
1 1 → 0 ดำเนินการ 1 (ตั้งแต่ 1 1 = 2 = 0 (1 × 21))
เพิ่มหลักสอง "1" ทำให้เกิดตัวเลข "0" ในขณะที่ 1 จะต้องเพิ่มคอลัมน์ถัดไป นี่คือคล้ายกับสิ่งที่เกิดขึ้นในทศนิยมเมื่อมีเพิ่มตัวเลขบางตัวเลขเดียวกัน ผลลัพธ์เท่ากับ หรือเกินกว่ามูลค่าของฐาน (10), ตัวเลขทางซ้ายเพิ่มขึ้น:
5 5 → 0 ดำเนินการ 1 (ตั้งแต่ 5 5 = 10 = 0 (1 × 101))
7 9 → 6 ดำเนินการ 1 (ตั้งแต่ 7 9 = 16 = 6 (1 × 101))
นี้เรียกว่าดำเนินการ เมื่อผลของการเพิ่มเกินกว่าค่าของตัวเลข ขั้นตอนที่จะ "ยก" ยอดส่วนเกินหาร ด้วยฐาน (นั่นคือ 10/10) ไปทางซ้าย เพิ่มค่าตำแหน่งถัดไป นี้ถูกต้องเนื่องจากน้ำหนักที่สูงขึ้น โดยปัจจัยเทียบเท่ากับฐานมีตำแหน่งถัดไป ดำเนินการทำงานแบบเดียวกับในไบนารี:
1 1 1 1 1 (มีหลัก)
0 1 1 0 1
1 0 1 1 1
-
= 1 0 0 1 0 0 = 36
ในตัวอย่างนี้ ตัวเลขสองจะถูกรวมเข้าด้วยกัน: 011012 (1310) และ 101112 (2310) แถวบนสุดแสดงบิตดำเนินใช้ เริ่มต้นในคอลัมน์ขวาสุด 1 1 = 102 1 จะดำเนินการทางด้านซ้าย และ 0 เขียนที่ด้านล่างของคอลัมน์ขวาสุด เพิ่มคอลัมน์สองจากขวา: 1 0 1 = 102 อีก ทำ 1 และเขียนด้านล่าง 0 คอลัมน์สาม: 1 1 1 = 112 เวลานี้ ดำเนินการ 1 และ 1 จะถูกเขียนในแถวล่าง ดำเนินการต่อเช่นนี้ให้คำตอบสุดท้าย 1001002 (36 ทศนิยม) .
เมื่อคอมพิวเตอร์ต้องเพิ่มหมายเลขสอง กฎที่: x xor y = (x y) mod 2 สำหรับใด ๆ บิตสอง x และ y ทำให้การคำนวณรวดเร็วมาก เป็น
ยาวดำเนินวิธี [แก้ไข]
รวบปัญหานี้ไบนารีมากคือ วิธีการดำเนินการนานหรือ Brookhouse วิธีการนี้ไบนารี วิธีนี้มีประโยชน์โดยทั่วไปนอกจากนี้ไบนารีใด ๆ ที่ตัวเลขประกอบด้วยยาว "สาย" ของคน ไว้ว่า ภายใต้ระบบไบนารี เมื่อ "สาย" ของ ตัวประกอบทั้งหมด n คนประทับใจง่าย (ที่: n เป็นจำนวนเต็มยาว), เพิ่ม 1 จะส่งผลให้หมายเลข 1 ตาม ด้วยสายอักขระของเลขศูนย์ n ว่าแนวคิดดังต่อไปนี้ เหตุผล เช่นเดียวกับระบบทศนิยม ที่เพิ่ม 1 ของ n 9s จะส่งผลให้หมายเลข 1 ตาม ด้วยสาย n 0 s:
ทศนิยมแบบไบนารี
1 1 1 1 1 เดียว 9 9 9 9 9
1 1
-----
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
เช่นสตริงที่ยาวค่อนข้างทั่วไปในระบบฐานสอง จากที่ หนึ่งพบว่า ตัวเลขไบนารีขนาดใหญ่สามารถเพิ่มโดยใช้สองขั้นตอนง่าย ๆ โดยไม่มีการดำเนินการดำเนินการมากเกินไป ในตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวเลขสองจะถูกรวมเข้าด้วยกัน: 1 1 1 0 1 1 1 1 1 02 (95810) และ 1 0 1 0 1 1 0 0 1 12 (69110), ใช้แบบดั้งเดิมใช้วิธีทางด้านซ้าย และลองดำเนินวิธีทางขวา:
ดำเนินวิธียาวมีวิธีการแบบเดิม
เทียบกับ
1 1 1 1 1 1 1 1 (มีหลัก) ←← 1 1 ยก 1 จนกว่าจะมีตัวเลขหนึ่งเลย "สตริง" ด้านล่าง
1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 ฆ่า "ข้อความ",
1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 และขนออกตัวเลขที่ถูกเพิ่มเข้าไป
-----
= 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

การนับเลขฐานสองจะคล้ายกับการนับในระบบเลขอื่น ๆ เริ่มต้นด้วยหลักเดียวนับเงินผ่านแต่ละสัญลักษณ์ในการสั่งซื้อที่เพิ่มขึ้น ก่อนที่จะตรวจสอบการนับเลขฐานสองจะเป็นประโยชน์เพื่อหารือเกี่ยวกับการนับเวลาสั้น ๆ ระบบทศนิยมคุ้นเคยมากขึ้นเป็นกรอบของการอ้างอิง
การนับทศนิยม [แก้ไข]
ทศนิยมนับใช้สัญลักษณ์สิบ 0 ถึง 9 นับเป็นหลักที่เกี่ยวข้องกับการจัดการที่เพิ่มขึ้นของ "ต่ำลำดับ" หลักหรือหลักขวาสุดมักจะเรียกว่า "หลักแรก" เมื่อสัญลักษณ์สำหรับหลักต่ำการสั่งซื้อจะหมดหลักถัดไปขั้นสูง (อยู่ตำแหน่งหนึ่งไปยังด้านซ้าย) จะเพิ่มขึ้นและการนับในหลักที่ต่ำกว่าเพื่อที่จะเริ่มต้นที่ 0 ในทศนิยมนับเงินเช่นโดย:
000, 001, 002, ... 007, 008, 009, (หลักขวาสุดจะเริ่มต้นไปและหลักต่อไปคือการเพิ่มขึ้น)
010, 011, 012, ...
...
090, 091 , 092, ... 097, 098, 099, (ขวาสุดตัวเลขสองหลักเริ่มต้นและหลักต่อไปคือการเพิ่มขึ้น)
100, 101, 102, ...
หลังจากที่หลักถึง 9 การเพิ่มการตั้งค่าใหม่ให้ 0 แต่ยังทำให้เกิด การเพิ่มขึ้นของตัวเลขถัดไปที่จะออกจาก
การนับไบนารี [แก้ไข]
ในไบนารีนับตามขั้นตอนที่คล้ายกันยกเว้นว่ามีเพียงสองสัญลักษณ์ 0 และ 1 จะมีการใช้ ดังนั้นหลังจากที่หลักถึง 1 ในไบนารีเพิ่มรีเซ็ตมันถึง 0 แต่ยังทำให้เกิดการเพิ่มขึ้นของตัวเลขถัดไปไปทางซ้าย:
0000,
0001, (หลักขวาสุดจะเริ่มต้นไปและหลักต่อไปคือการเพิ่มขึ้น)
0010, 0011, ( ขวาสุดตัวเลขสองหลักเริ่มต้นและหลักต่อไปคือการเพิ่มขึ้น)
0100, 0101, 0110, 0111, (ขวาสุดสามหลักเริ่มต้นและหลักต่อไปคือการเพิ่มขึ้น)
1000 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111 ..
ตั้งแต่ไบนารีเป็นฐาน 2 ระบบแต่ละหลักแสดงให้เห็นถึงการใช้พลังงานที่เพิ่มขึ้นของ 2 กับหลักขวาสุดที่เป็นตัวแทนของ 20, 21 ต่อไปเป็นตัวแทนแล้ว 22 และอื่น ๆ เพื่อตรวจสอบการแสดงทศนิยมของเลขฐานสองก็ใช้ผลรวมของผลคูณของตัวเลขฐานสองและอำนาจของ 2 ที่พวกเขาเป็นตัวแทน ตัวอย่างเช่นเลขฐานสอง 100101 จะถูกแปลงเป็นรูปแบบทศนิยมดังนี้
1001012 = [(1) × 25] + [(0) × 24] + [(0) × 23] + [(1) × 22] + [ (0) × 21] + [(1) × 20]
1001012 = [1 × 32] + [0 × 16] + [0 × 8] + [1 × 4] + [0 × 2] + [1 × 1 ]
1001012 = 3710
เพื่อสร้างตัวเลขที่สูงกว่าตัวเลขที่เพิ่มขึ้นจะถูกเพิ่มเข้าไปเพียงเพื่อให้ด้านซ้ายของแทน binary
เศษส่วน [แก้ไข] เศษส่วนในไบนารียุติเพียงส่วนถ้ามี 2 เป็นปัจจัยที่สำคัญเพียง เป็นผลให้ 1/10 ไม่ได้มีการแสดงไบนารี จำกัด และนี้ทำให้ 10 × 0.1 จะไม่แม่นยำเท่ากับ 1 ในการคำนวณจุดลอย เป็นตัวอย่างการตีความการแสดงออกไบนารี 1/3 = 0.010101 ... นี้หมายถึง 1/3 = 0 × 2-1 + 1 × 2-2 + 0 × 2-3 + 1 × 2-4 + ... = 0.3125 + ... ค่าที่แน่นอนไม่สามารถพบได้ด้วยผลรวมของจำนวน จำกัด ของอำนาจผกผันของสองศูนย์และคนในแทน binary 1/3 ผลัดตลอดเศษส่วนทศนิยมเศษส่วนไบนารีประมาณ1 / 1 1 หรือ 0.999 ... 1 หรือ 0.111 ... 1/2 + 1/4 + 1/8 ... 1/2 หรือ 0.5 .4999 ... 0.1 หรือ 0.0111 ... 1/4 + 1/8 + 1/16 . . 1/3 0.333 ... 0.010101 ... 1/4 + 1/16 + 1/64 . . 1/4 0.25 หรือ 0.01 ... 0.24999 0.00111 ... หรือ 1/8 + 1/16 + 1/32 . . 1/5 สำหรับ 0.2 หรือ 0.1999 ... 0.00110011 ... 1/8 + 1/16 + 1/128 . . 1/6 .1666 ... 0.0010101 ... 1/8 + 1/32 + 1/128 . . 1/7 0.142857142857 ... 0.001001 ... 1/8 + 1/64 + 1/512 . . 1/8 0.125 หรือ 0.124999 ... 0.001 หรือ 0.000111 ... 1/16 + 1/32 + 1/64 . . 9/1 0.111 ... 0.000111000111 ... 1/16 + 1/32 + 1/64 . . 1/10 หรือ 0.1 .0999 ... 0.000110011 ... 1/16 + 1/32 + 1/256 . . 1/11 0.090909 ... 0.00010111010001011101 ... 1/16 + 1/64 + 1/128 . . 1/12 0.08333 ... 0.00010101 ... 1/16 + 1/64 + 1/256 . . 1/13 0.076923076923 ... 0.000100111011000100111011 ... 1/16 + 1/128 + 1/256 . . 1/14 0.0714285714285 ... 0.0001001001 ... 1/16 + 1/128 + 1/1024 . . 1/15 0.0666 ... 0.00010001 ... 1/16 + 1/256 . . 1/16 หรือ 0.0625 0.0001 0.0624999 ... หรือ 0.0000111 ... 1/32 + 1/64 + 1/128 . . คำนวณเลขคณิต [แก้ไข] เลขคณิตในไบนารีเป็นเหมือนการคำนวณในระบบเลขอื่น ๆ บวกลบคูณและการหารสามารถดำเนินการเกี่ยวกับเลขฐานสองบวก [แก้ไข] บทความหลัก: บวกไบนารีวงจรสำหรับการบวกเลขฐานสองครึ่งซึ่งจะเพิ่มสองชิ้นเข้าด้วยกันผลรวมการผลิตและดำเนินการบิตดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ง่ายที่สุดใน ไบนารีคือการเพิ่ม เพิ่มสองหลักเดียวเลขฐานสองจะค่อนข้างง่ายโดยใช้รูปแบบของการดำเนินการ: 0 + 0 → 0 0 + 1 → 1 1 + 0 → 1 1 + 1 → 0, พก 1 (ตั้งแต่ 1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 21)) เพิ่มสอง "1" หลักผลิตหลัก "0" ในขณะที่ 1 จะต้องมีการเพิ่มลงในคอลัมน์ถัดไป นี้จะคล้ายกับสิ่งที่เกิดขึ้นในทศนิยมเมื่อตัวเลขบางหลักเดียวจะถูกรวมเข้าด้วยกันถ้าผลเท่ากับหรือเกินกว่าค่าของเลขฐาน (10), หลักไปทางซ้ายจะเพิ่มขึ้น: 5 + 5 → 0, พก 1 ( ตั้งแต่ 5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 101)) 7 + 9 → 6 พก 1 (ตั้งแต่ 7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 101)) นี้เรียกว่าการดำเนินการ เมื่อผลของการเติมเกินกว่าค่าของหลักขั้นตอนคือการ "พก" จำนวนเกินหารด้วยเลขฐาน (นั่นคือ 10/10) ทางด้านซ้ายเพิ่มให้เป็นค่าตำแหน่งต่อไป นี้ถูกต้องตั้งแต่ตำแหน่งถัดไปมีน้ำหนักที่สูงขึ้นโดยปัจจัยเท่ากับเลขฐาน การดำเนินงานในลักษณะเดียวกันในไบนารี: 1 1 1 1 1 (ดำเนินการหลัก) 0 1 1 0 1 + 1 0 1 1 1 ------------- = 1 0 0 1 0 0 = 36 ในตัวอย่างนี้สองตัวเลขที่มีการรวมเข้าด้วยกัน: 011,012 (1310) และ 101,112 (2310) แถวบนแสดงให้เห็นถึงการดำเนินการบิตที่ใช้ เริ่มต้นในคอลัมน์ขวาสุด 1 + 1 = 102 1 จะดำเนินไปทางซ้ายและ 0 จะถูกเขียนที่ด้านล่างของคอลัมน์ขวาสุด คอลัมน์ที่สองจากขวาถูกเพิ่ม: 1 + 0 + 1 = 102 อีก 1 จะดำเนินการและ 0 ถูกเขียนที่ด้านล่าง คอลัมน์ที่สาม: 1 + 1 + 1 = 112 เวลานี้จะดำเนินการ 1 และ 1 จะถูกเขียนในแถวด้านล่าง การดำเนินการเช่นนี้จะช่วยให้คำตอบสุดท้าย 1001002 (36 ทศนิยม) เมื่อเครื่องคอมพิวเตอร์จะต้องเพิ่มตัวเลขสองกฎที่: x = y XOR (x + y) สมัยที่ 2 สำหรับการ x สองบิตและ y ช่วยให้การคำนวณอย่างรวดเร็วเช่นกัน . วิธีการดำเนินการยาว [แก้ไข] เข้าใจง่ายสำหรับหลาย ๆ ปัญหานอกจากนี้ไบนารีเป็นวิธี Carry ยาวหรือ Brookhouse วิธี Binary บวก วิธีนี้มีประโยชน์โดยทั่วไปนอกจากไบนารีใดที่หนึ่งของตัวเลขที่มี "สตริง" ยาวของคนที่ มันขึ้นอยู่กับสมมติฐานที่เรียบง่ายว่าภายใต้ระบบเลขฐานสองเมื่อได้รับ "สาย" ของหลักประกอบด้วยทั้งหมดของคนที่ n (โดยที่: n คือความยาวจำนวนเต็มใด ๆ ) เพิ่ม 1 จะส่งผลให้ในจำนวนที่ 1 ตามด้วยสตริงของ n ศูนย์ แนวคิดที่เป็นไปตามเหตุผลเช่นเดียวกับในระบบทศนิยมที่เพิ่ม 1 ถึงสตริงของ n 9s จะส่งผลให้จำนวน 1 แล้วตามด้วยสตริงของ n 0s: Binary ทศนิยม1 1 1 1 1 เช่นเดียวกัน 9 9 9 9 9 + 1 + 1 ---------------------- 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 สตริงที่ยาวดังกล่าวเป็นเรื่องธรรมดาในระบบเลขฐานสอง จากที่พบว่าเลขฐานสองขนาดใหญ่สามารถเพิ่มการใช้สองขั้นตอนง่ายๆโดยไม่ต้องดำเนินการดำเนินการมากเกินไป ในตัวอย่างต่อไปนี้สองตัวเลขที่มีการรวมเข้าด้วยกัน: 1 1 1 0 1 1 1 1 1 02 (95810) และ 1 0 1 0 1 1 0 0 1 12 (69110) โดยใช้วิธีการดำเนินการแบบดั้งเดิมบนด้านซ้ายและ วิธีการพกยาวบนขวา: วิธี Carry ดั้งเดิมวิธี Carry ยาวเมื่อเทียบกับ1 1 1 1 1 1 1 1 (หลักดำเนินการ) 1 1 ←← 1 ดำเนินการจนกว่าจะมีหนึ่งหลักที่ผ่านมา "สตริง" ด้านล่าง1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 ข้ามออก "สตริง" + 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 + 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 และข้ามออกหลัก ที่ถูกเพิ่มลงไป--------------------------------------------- - = 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

การนับเลขฐานสองคล้ายกับนับในระบบหมายเลขใด ๆอื่น ๆ เริ่มต้นด้วยเลขหลักเดียว นับเงินผ่านแต่ละสัญลักษณ์ เพื่อ เพิ่ม ก่อนการตรวจสอบไบนารีนับมันเป็นประโยชน์สั้นหารือคุ้นเคยมากกว่าทศนิยมระบบการนับเป็นกรอบของการอ้างอิง ทศนิยม [ แก้ไข ]

นับสิบนับทศนิยมใช้สัญลักษณ์ 0 ถึง 9นับหลักเกี่ยวข้องกับการเพิ่มขึ้นของ " คำสั่ง " น้อย หลัก หรือ ตำแหน่ง ตัวเลข มักจะเรียกว่า " ตัวแรก " เมื่อสัญลักษณ์ของตัวเลขการสั่งซื้อต่ำหมด ถัดเลขสั่งซื้อสูง ( อยู่ตำแหน่งเดียวไปทางซ้าย ) จะสั่ง และนับลำดับเลขต่ำเริ่มต้นที่ 0 ทศนิยม , นับเงินชอบดังนั้น :
000 , 001 , 002 , . . . 007008 009 ( ตำแหน่งเริ่มต้น , ตัวเลข และตัวเลขถัดไปคือสั่ง 010 011 012 )
, , ,

. . . . . . . . . . . . . . 090 091 092 , , , . . . 097 098 , 099 , ( ตำแหน่งเลขสองหลักต่อไป เริ่มต้นใหม่ และสั่ง )
100 , 101 , 102 , . . . . . . .
หลังจากหลักถึง 9 , การเพิ่มการตั้งค่าใหม่เป็น 0 แต่ยังทำให้เกิดการเพิ่มเลขหลักถัดไปทางซ้าย นับ [ แก้ไข ]

ในไบนารีไบนารี , การนับ ตามขั้นตอนที่คล้ายคลึงกันยกเว้นเพียงสองสัญลักษณ์ 0 และ 1 จะใช้ ดังนั้น หลังจากตัวเลขถึง 1 ในเลขฐานสองเพิ่มขึ้นรีเซ็ตเป็น 0 แต่ยังทำให้เกิดการเพิ่มเลขหลักถัดไปทางซ้าย :
)
, 0001 ( ตำแหน่งหลักเริ่มต้นใหม่ และหลักที่สั่ง 0010 0011 )
, , ( ตำแหน่งเลขสองเริ่มต้นและหลักที่สั่งต่อไป )
0100 0101 0110 0111 , , , , ( ตำแหน่งเลขสามหลัก เริ่มต้นใหม่และตัวเลขถัดไปคือสั่ง )
1000 , 1001 1010 , การ์ตูน , 1100 1101 1110 1111 , , , . . . . . . .
ตั้งแต่ไบนารีเป็นระบบ base-2 แต่ละหลักแสดงถึงการเพิ่มอำนาจของ 2 กับตำแหน่งหลักแทน 20 21 22 ถัดไปแทน จากนั้น และอื่น ๆเพื่อตรวจสอบแทนทศนิยมของจำนวนเพียงใช้ผลรวมของผลิตภัณฑ์ของตัวเลขไบนารีและพลังของ 2 ที่พวกเขาเป็นตัวแทน ตัวอย่างเช่น เลขฐานสอง 100101 จะถูกแปลงเป็นรูปแบบทศนิยมดังนี้
1001012 = [ ( 1 ) ×× [ 25 ] ( 0 ) ( 0 ) × 24 ] [ 23 ] [ ( 1 ) × 22 ] [ ( 0 ) × 21 ] [ ( 1 ) × 20 ]
1001012 = [ 1 × 32 ] [ 0 × 16 ] [ 0 ] [ 1 × 4 × 4 × 2 ] [ 0 ] [ 1 × 1 = 0

1001012 สร้างตัวเลขสูงกว่าตัวเลขเพิ่มเติมจะถูกเพิ่มเพียงด้านซ้ายของการแทนเลขฐานสอง
[ แก้ไข ]

เศษส่วนเศษส่วน ในไบนารีเท่านั้นหากยุติ ส่วนที่ 2 เป็นเพียงปัจจัยนายกรัฐมนตรี เป็นผลให้ 1 / 10 ไม่มีจำกัดไบนารีแทน และนี้เป็นสาเหตุให้ 10 × 01 ไม่แม่นยำเท่ากับ 1 ในเลขคณิตจุดลอยตัว . ตัวอย่าง การตีความการแสดงออกของไบนารี 1 / 3 = . 010101 . . . นี้คือ 1 / 3 = 0 × 2 × 2 − 1 , − 2 0 × 2 × 2 −− 3 1 4 . . . . . . . = 0.3125 . . . . . . . ไม่ได้ มันมีค่าได้ด้วยผลรวมของจำนวนที่จำกัดของสิ่งที่ตรงกันข้ามพลังสอง ศูนย์ ๆในการแทนเลขฐานสอง 1 / 3
สำรองตลอดกาลเศษส่วนทศนิยมไบนารีเศษส่วนประมาณ
1 / 1 หรือ 0.999 . . . 1 ส.ค. . . . . . . . 1 / 2 1 / 4 1 / 8 1 / 2 . . . . . . .
0.4999 0.5 หรือ . . . . . . . 0.0111 0.1 หรือ . . . . . . . 1 / 4 1 / 8 1 / 16 . . . . . . .
1 / 3 0.333 . . . . . . . 0.010101 . . . . . . . 1 / 4 1 / 16 1 / 64 . . . . . . .
1 / 4 หรือ 0.24999 0.25 . . . . . . . 0.01 หรือ 0.00111 . . . . . . . 1 / 8 1 / 16 1 / 32 . . . . . . .
1 / 5 0.1999 0.2 หรือ . . . . . . . 0.00110011 . . . . . . . 1 / 8 1 / 16 1 / 128 . . . . . . . .
1 / 6 0.1666 . . . . . . . 0.0010101 . . . . . . . 1 / 8 1 / 32 1 / 128 . . . . . . . .
1 / 7 0142857142857 . . . . . . . 0.001001 . . . . . . . 1 / 8 1 / 64 1 / 512 . . . . . . . .
1 / 8 เดือน หรือ 0.124999 . . . . . . . 0.000111 0.001 หรือ . . . . . . . 1 / 16 1 / 32 1 / 64 . . . . . . .
1 / 9 ส.ค. . . . . . . . 0.000111000111 . . . . . . . 1 / 16 1 / 32 1 / 64 . . . . . . .
1 / 10 หรือ 0.0999 0.1 . . . . . . . 0.000110011 . . . . . . . 1 / 16 1 / 32 1 / 256 . . . . . . . .
1 / 11 0.090909 . . . . . . . 0.00010111010001011101 . . . . . . . 1 / 16 1 / 64 1 / 128 . . . . . . . .
1 / 12 0.08333 . . . . . . . 0.00010101 . . . . . . . 1 / 16 1 / 64 1 / 256 . . . . . . . .
1 / 13 0.076923076923 . . . . . . . 0000100111011000100111011 . . . . . . . 1 / 16 1 / 128 1 / 256 . . . . . . . .
1 / 14 0.0714285714285 . . . . . . . 0.0001001001 . . . . . . . 1 / 16 1 / 128 1 / 1024 . . . . . . . .
1 / 15 0.0666 . . . . . . . 0.00010001 . . . . . . . 1 / 16 1 / 256 . . . . . . . .
1 / 16 หรือ 0.0624999 ผล . . . . . . . 0.0000111 0.0001 หรือ . . . . . . . 1 / 32 1 / 64 1 / 128 . . . . . . . .
ไบนารีเลขคณิต [ แก้ไข ]

ค่าเลขฐานสองเป็นเหมือนเลขคณิตในอื่น ๆตัวเลขระบบ เพิ่ม , ลบ , คูณและแผนกสามารถใช้เลขไบนารี .
2 [ แก้ไข ]
บทความหลัก : ไบนารีเพิ่มเติม


แผนภาพวงจรสำหรับไบนารีวงจรบวกครึ่ง ซึ่งเพิ่มสองร่วมกันผลิตผลรวมและถือบิต .
) ง่ายในการไบนารีคือนอกจาก การเพิ่มตัวเลขสองหลักเดียว แบบไบนารีคือค่อนข้างง่าย ใช้แบบพกพา :
0 0 → keyboard - key - name 0
0
1 → keyboard - key - name 1 1 0 → keyboard - key - name 1
1 1 → keyboard - key - name 0พก 1 ( ตั้งแต่ 1 1 = 2 = 0 ( 1 × 21 )
เพิ่มสอง " 1 " ตัวสร้างเลข " 0 " ในขณะที่ 1 จะต้องเพิ่มคอลัมน์ถัดไป นี้จะคล้ายกับสิ่งที่เกิดขึ้นในทศนิยมเมื่อตัวเลขหลักเดียวบางอย่างเพิ่มเข้าด้วยกัน ถ้าผลเท่ากับหรือเกินกว่าค่าของราก ( 10 ) , ตัวเลขด้านซ้ายคือสั่ง :
5 5 → keyboard - key - name 0 พก 1 ( ตั้งแต่ 5 5 = 10 = 0 ( 1 × 101 )
7 9 → keyboard - key - name 6 , พก 1 ( ตั้งแต่ 7 9 = 18 = 6 ( 1 × 101 )
นี้เป็นที่รู้จักกันเป็น ถือ เมื่อผลของการเพิ่มเกินกว่าค่าของหลักกระบวนการเพื่อ " อุ้ม " เงินส่วนเกินแบ่งตามราก ( ซึ่งก็คือ 10 / 10 ) ด้านซ้าย เพิ่มค่าต่อไปตำแหน่ง . นี้ถูกต้องตำแหน่งถัดไปมีน้ำหนักที่เพิ่มขึ้น เป็นปัจจัยให้เท่ากับเลขฐาน .ดำเนินการทำงานในลักษณะเดียวกันในไบนารี :
1 1 1 1 1 ( นำตัวเลข )
0 1 1 0 1 1 0 1 1 1

-------------
= 1 0 0 1 0 0 = 36
ในตัวอย่างนี้ สองตัวเลขจะถูกเพิ่มเข้าด้วยกัน : 011012 ( 1310 ) และ 101112 ( 2310 ) แถวบนสุดแสดงนำบิตที่ใช้ โดยเริ่มต้นในตำแหน่งคอลัมน์ 1 1 = 102 . 1 การไปทางซ้ายและ 0 เขียนไว้ที่ด้านล่างของตำแหน่งคอลัมน์คอลัมน์ที่สองจากขวาเป็น 1 0 1 = 102 อีกครั้ง ; 1 จะดำเนินการและ 0 เขียนไว้ที่ด้านล่าง คอลัมน์ที่สาม : 1 1 = 0 . คราวนี้เป็น 1 จะดำเนินการ และ 1 ที่เขียนในแถวล่าง ดำเนินการนี้ให้คําตอบสุดท้าย 1001002 ( 36 ทศนิยม )
เมื่อคอมพิวเตอร์จะเพิ่มตัวเลขสอง กฎ :XOR x y = ( x y ) mod 2 ใด ๆ สองบิต x และ y ที่ช่วยให้คำนวณอย่างรวดเร็วเช่นกัน
ยาวพกวิธี [ แก้ไข ]
เป็นหนึ่งเดียวสำหรับปัญหานอกจากเลขฐานสองมากมายเป็นนานยกวิธีการหรือวิธีการ brookhouse ของการบวกเลขฐานสอง . วิธีนี้โดยทั่วไปจะเป็นประโยชน์ในการบวกเลขฐานสอง ซึ่งเป็นหนึ่งในตัวเลขที่มีความยาวสตริง " " ของคนมันขึ้นอยู่กับหลักฐานที่เรียบง่ายภายใต้ระบบไบนารี เมื่อได้รับ " สตริง " ของตัวเลขประกอบด้วยทั้งหมดของคน ( ที่ : n เป็นจำนวนเต็มยาว ) , เพิ่ม 1 จะมีผลในอันดับ 1 ตามด้วยสตริงของศูนย์ แนวคิด คือ ตรรกะ เช่นในระบบทศนิยมที่เพิ่ม 1 สาย N 9S จะมีผลในอันดับ 1 ตามด้วยสตริงของ n :
ในปี
ทศนิยมไบนารี 1 1 1 1 1 9 9 9 9 9 เหมือนกัน

----------- -----------
1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
นานแล้วเช่นสายจะค่อนข้างทั่วไปในระบบไบนารี จาก นั้น พบว่า ตัวเลขไบนารีขนาดใหญ่สามารถเพิ่มการใช้สองขั้นตอนง่ายๆโดยการแบกมากเกินไป ในตัวอย่างต่อไปนี้ , สองตัวเลขที่ถูกเพิ่มเข้ามาด้วยกัน1 1 1 0 1 1 1 2 1 2 ( 95810 ) 1 0 1 0 1 1 0 0 1 12 ( 69110 ) ใช้วิธีดำเนินการแบบดั้งเดิมบนด้านซ้ายและบนขวา : วิธียาวพกแบบพกพกแบบยาว

.
) 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ถือหลัก ) 1 ← 1 ←แบก 1 จนเป็นเลขหลักเดียวผ่าน " สตริง " ด้านล่าง
1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 ขีดฆ่า " สตริง "
,1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 และขีดฆ่าตัวเลขที่เพิ่มมัน
----------------------- -----------------------
= 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1