With the final one we gave both the

With the final one we gave both the vector form of the equation as well as the parametric form and if we need the two-dimensional version then we just drop the z components. In fact, we will be using the two-dimensional version of this in this section.

For the ellipse and the circle we’ve given two parameterizations, one tracing out the curve clockwise and the other counter-clockwise. As we’ll eventually see the direction that the curve is traced out can, on occasion, change the answer. Also, both of these “start” on the positive x-axis at .

Now let’s move on to line integrals. In Calculus I we integrated , a function of a single variable, over an interval . In this case we were thinking of x as taking all the values in this interval starting at a and ending at b. With line integrals we will start with integrating the function , a function of two variables, and the values of x and y that we’re going to use will be the points, , that lie on a curve C. Note that this is different from the double integrals that we were working with in the previous chapter where the points came out of some two-dimensional region.

Let’s start with the curve C that the points come from. We will assume that the curve is smooth (defined shortly) and is given by the parametric equations,


We will often want to write the parameterization of the curve as a vector function. In this case the curve is given by,

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

อันสุดท้ายเราให้ทั้งแบบเวกเตอร์ของสมการเป็นแบบพาราเมตริก และหากเราต้องการรุ่นสอง แล้วเราวางส่วนประกอบของ z ในความเป็นจริง เราจะใช้สองรุ่นในส่วนนี้

สำหรับวงกลมเราได้รับ parameterizations สอง ติดตามหนึ่งออกโค้งตามเข็มนาฬิกา และที่อื่น ๆ ทวนเข็มนาฬิกา ในที่สุดเราจะเห็นทิศทางที่โค้งออกติดตามในบางโอกาส สามารถ เปลี่ยนคำตอบ ยัง ทั้งนี้ "เริ่ม" บนแกน x เป็นบวกที่

ตอนนี้ขอไปเส้นปริพันธ์ ในแคลคูลัสฉันเรารวม ฟังก์ชันของตัวแปรเดียว ผ่านช่วงเวลานั้น ในกรณีนี้ เราได้คิดของ x เป็นการค่าทั้งหมดในช่วงนี้ราคาเริ่มต้นที่การ และสิ้นสุดที่ b กับปริพันธ์บรรทัด เราจะเริ่มต้น ด้วยการรวมฟังก์ชัน ฟังก์ชันสองตัวแปร และค่าของ x และ y ที่เรากำลังใช้จะจุด ,, ที่อยู่บนเส้นโค้งหมายเหตุ C. ที่นี้แตกต่างจากปริพันธ์สองที่เราได้ทำงานก่อนที่คะแนนมาจากบางภูมิภาคสอง

เริ่ม ด้วยเส้นโค้ง C ที่จุดที่มาจาก เราจะสมมติว่า โค้งเรียบ (กำหนดในไม่ช้า) และถูกกำหนด โดยสมการพาราเมตริก,


เรามักจะต้องการเขียน parameterization โค้งเป็นฟังก์ชันเวกเตอร์ ในกรณีนี้ กำหนดเส้นโค้ง โดย

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

กับครั้งสุดท้ายที่เราให้ทั้งสองรูปแบบเวกเตอร์ของสมการเช่นเดียวกับรูปแบบตัวแปรและถ้าเราต้องรุ่นสองมิติแล้วเราเพียงวางส่วนประกอบ Z ในความเป็นจริงเราจะใช้รุ่นสองมิตินี้ในส่วนนี้สำหรับวงรีและวงกลมที่เราได้รับสองพาราเมทริกหนึ่งติดตามออกตามเข็มนาฬิกาโค้งและอื่น ๆ ทวนเข็มนาฬิกา ในขณะที่เราในที่สุดก็จะเห็นทิศทางที่โค้งเป็น traced ออกสามารถในโอกาสเปลี่ยนคำตอบ นอกจากนี้ทั้งสองคนนี้ "เริ่มต้น" ในเชิงบวกแกน x ที่ ตอนนี้ขอย้ายไปยังอินทิกรัสาย ในแคลคูลัสเราบูรณาการการทำงานของตัวแปรเดียวกว่าช่วงเวลา ในกรณีนี้เรากำลังคิดของ x กับการค่าทั้งหมดในช่วงเวลานี้เริ่มต้นที่และสิ้นสุดที่ข กับอินทิกรัสายที่เราจะเริ่มต้นด้วยการผสานรวมฟังก์ชั่นการทำงานของสองตัวแปรและค่าของ x และ y ที่เรากำลังจะใช้จะเป็นจุด, นอนหมายเหตุโค้งซีที่ว่านี้จะแตกต่างจาก อินทิกรัสองที่เราได้ทำงานร่วมกับในบทก่อนหน้านี้ที่จุดออกของบางภูมิภาคสองมิติมาเริ่มต้นให้กับโค้ง C ที่จุดมาจาก เราจะสมมติว่าเส้นโค้งเรียบ (หมายช้า) และจะได้รับโดยสมการตัวแปรที่เรามักจะต้องการที่จะเขียนพาราเมทริกของเส้นโค้งเป็นฟังก์ชันเวกเตอร์ ในกรณีนี้เส้นโค้งจะได้รับโดย

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

กับสุดท้ายเราให้ทั้งเวกเตอร์รูปแบบของสมการเป็นพารามิเตอร์รูปแบบ และถ้าเราต้องการรุ่นสองมิติแล้วเราก็วาง ซีส่วนประกอบ ในความเป็นจริง เราจะใช้รุ่นสองมิตินี้ในส่วนนี้

สำหรับรูปวงรีและวงกลมที่เราได้รับสอง parameterizations หนึ่งติดตามออกโค้งตามเข็มนาฬิกาและอื่น ๆเคาน์เตอร์ตามเข็มนาฬิกาเราก็จะเห็นทิศทางที่โค้งเป็นติดตามได้ ในโอกาสนี้ เปลี่ยนคำตอบ นอกจากนี้ ทั้งสองเหล่านี้ " เริ่มต้น " บนทางแกน x ที่ .

ตอนนี้ลองย้ายไปเส้น integrals . ในแคลคูลัสผมเรารวมฟังก์ชันของตัวแปรเดียว ตรงช่วง ในกรณีนี้เราคิด x สละค่าทั้งหมดในช่วงเวลานี้เริ่มต้นที่ และสิ้นสุดที่ พ.กับเส้น integrals เราจะเริ่มต้นด้วยการรวมฟังก์ชัน ฟังก์ชันสองตัวแปร และ ค่าของ x และ y ที่เรากำลังใช้ จะเป็นจุดที่โกหกบนเส้นโค้ง C . โปรดทราบว่านี้จะแตกต่างจากส่วนประกอบคู่ที่เรากำลังทำงานกับในบทก่อนหน้านี้ที่จุดมา จากบางมิติ

)เริ่มด้วยเส้นโค้ง C ที่จุดที่จากมา เราจะสมมติว่าเส้นโค้งเรียบ ( กำหนดไม่นาน ) และจะกำหนดโดยสมการอิงตัวแปร


เรามักจะต้องการที่จะเขียน parameterization ของเส้นโค้งเป็นเวกเตอร์ฟังก์ชัน ในกรณีนี้โค้งจะได้รับโดย