II. For a given or measured force w

II.
For a given or measured force wave form, the ball velocity and the y displacement can be obtained by numerical solution of the equation d2y/dt25F/m with initial conditions y50 and dy/dt5v1 at t50. Regardless of the ball compression and shape of the ball, the work done in changing the kinetic energy of the ball is * F dy and the area enclosed by the F vs y hysteresis loop represents the net energy loss, 0.5m(v1 2 2v2 2 ). If the bounce surface is perfectly rigid, the total work done by the force F acting at the bottom of the ball is zero, since the point of application of the force remains at rest. Nevertheless, * F dy represents the change in kinetic energy, which is equal and opposite to the change in potential energy arising from compression of the ball plus any energy dissipated during the collision. The total energy, including the energy dissipated, therefore remains constant. A simple analysis of the bounce is obtained if one assumes that the bounce surface is not deformed and remains at rest, and that the ball compression, x, is given by F52kx, where k is the spring constant of the ball. If it is also assumed for simplicity that y5x then d2y/dt252ky/m, so F 5F0 sin(vt), where F0 is the amplitude of F and v2 5k/m. It can be deduced that the ball remains in contact with the surface for a time t5p/v, it rebounds with the same speed as the incident speed and the force wave form is a half-sine pulse of amplitude F05mvv1 . For a tennis ball, m50.057 kg and k;23104 Nm21 , giving a contact time t;5.3 ms, consistent with observations.8 For a steel ball of the same mass, k is much larger and the contact time is much shorter. The contact time for a small ball bearing colliding with a solid surface is typically only 20–50 ms. In the case of a Hertzian impact,2,9 where F5kx3/2, or any other impact involving a force law of the form F5kxn, there is also no energy loss so v25v1 . In practice, it is found that v2 is always less than v1 and that the F vs t wave form is not perfectly sinusoidal or even symmetrical. A measured force wave form can be digitized for a numerical analysis or it can be fitted either by a polynomial or by the first few terms of a Fourier series to obtain analytical solutions. Bounce force wave forms are typically only slightly asymmetrical, so a reasonable first approximation is to consider just the fundamental and second harmonic components. This approximation yields some interesting analytical results, but it does not provide a good fit to experimental data. Consequently, the digitized force wave forms were used to analyze each ball separately, and the results are described below.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ครั้งที่สอง.
สำหรับรูปคลื่นแรงที่กำหนดหรือวัดที่ความเร็วลูกและการกำจัด y ที่สามารถรับได้โดยการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขของสม d2y / การ dt25F / m มีเงื่อนไขเริ่มต้น y50 และ DY / dt5v1 ที่ T50 โดยไม่คำนึงถึงการบีบอัดลูกและรูปร่างของลูกงานที่ทำในการเปลี่ยนแปลงพลังงานจลน์ของลูกอยู่ * DY F และพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเอฟเทียบกับวง hysteresis y ที่หมายถึงการสูญเสียพลังงานสุทธิ 0.5 (v1 2 2v2 2 ) หากพื้นผิวการตีกลับแข็งอย่างสมบูรณ์แบบการทำงานรวมทำโดยแรง F กระทำที่ด้านล่างของลูกเป็นศูนย์ตั้งแต่จุดของการประยุกต์ใช้บังคับยังคงอยู่ในส่วนที่เหลือ อย่างไรก็ตาม * DY F แสดงให้เห็นถึงการเปลี่ยนแปลงในพลังงานจลน์ซึ่งเท่ากับและตรงข้ามกับการเปลี่ยนแปลงที่อาจเกิดขึ้นในการใช้พลังงานที่เกิดจากการบีบอัดของลูกบวกพลังงานเหือดหายไปในช่วงการปะทะกัน พลังงานรวมพลังงานเหือดหายจึงยังคงไม่เปลี่ยนแปลง การวิเคราะห์ที่เรียบง่ายของการตีกลับจะได้รับหากสมมติว่าผิวเด้งไม่ได้ผิดปกติและยังคงอยู่ในส่วนที่เหลือและการบีบอัดบอล, x, จะได้รับจาก F52kx ที่ k เป็นฤดูใบไม้ผลิอย่างต่อเนื่องของลูก หากมีการสันนิษฐานว่ายังสำหรับความเรียบง่ายที่ y5x แล้ว d2y / dt252ky / m ดังนั้น F 5F0 บาป (VT) ซึ่ง F0 เป็นความกว้างของ F และ v2 5k / เมตร มันสามารถอนุมานได้ว่าลูกยังคงอยู่ในการติดต่อกับพื้นผิวเป็นเวลา T5P / โวลต์ก็รีบาวน์ด้วยความเร็วเช่นเดียวกับเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นความเร็วและรูปคลื่นแรงเป็นชีพจรครึ่งไซน์ของ F05mvv1 กว้าง สำหรับลูกเทนนิส, m50.057 กิโลกรัมและ k; 23104 Nm21 ให้เวลาติดต่อเสื้อ; 5.3 มิลลิวินาทีให้สอดคล้องกับ observations.8 สำหรับลูกเหล็กของมวลเดียวกัน k มีขนาดใหญ่และเวลาการติดต่อที่จะสั้นมาก เวลาติดต่อหาลูกเล็กแบกชนกับพื้นผิวที่เป็นของแข็งโดยทั่วไปจะมีเพียง 20-50 มิลลิวินาที ในกรณีที่มีผลกระทบ Hertzian ที่ 2,9 ที่ F5kx3 / 2 หรือผลกระทบอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการบังคับใช้กฎหมายในรูปแบบ F5kxn ที่มียังไม่มีการสูญเสียพลังงานเพื่อ v25v1 ในทางปฏิบัติพบว่า v2 อยู่เสมอน้อยกว่า v1 และที่ F เทียบกับรูปคลื่นทีไม่ได้อย่างสมบูรณ์แบบซายน์หรือแม้กระทั่งสมมาตร รูปแบบคลื่นแรงที่วัดสามารถแปลงเป็นข้อมูลดิจิทัลสำหรับการวิเคราะห์เชิงตัวเลขหรือสามารถติดตั้งได้ทั้งโดยการพหุนามหรือตามเงื่อนไขไม่กี่ครั้งแรกของซีรีส์ฟูริเยร์ที่จะได้รับการแก้ปัญหาการวิเคราะห์ ตีกลับแรงรูปแบบคลื่นโดยทั่วไปจะมีเพียงเล็กน้อยไม่สมดุลดังนั้นครั้งแรกประมาณที่เหมาะสมคือการพิจารณาเพียงส่วนประกอบฮาร์โมนิพื้นฐานและครั้งที่สอง ประมาณนี้อัตราผลตอบแทนบางส่วนผลการวิเคราะห์ที่น่าสนใจ แต่ก็ไม่ได้ให้เป็นแบบที่ดีให้กับข้อมูลการทดลอง ดังนั้นรูปแบบคลื่นแรงดิจิตอลถูกนำมาใช้ในการวิเคราะห์บอลแต่ละแยกและผลที่อธิบายไว้ด้านล่าง

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

2 .
ให้วัดรูปคลื่น หรือบังคับลูกความเร็วและ Y ) สามารถได้ผลเฉลยเชิงตัวเลขของสมการ d2y / dt25f / M กับ y50 เงื่อนไขเริ่มต้นและดี้ / dt5v1 ที่ t50 . ไม่ว่าลูกอัดและรูปร่างของลูกบอลทำงานในการเปลี่ยนพลังงานจลน์ของลูก * f ดี้และพื้นที่ล้อมรอบด้วย F VS Y แบบห่วงหมายถึงการสูญเสียพลังงานสุทธิ 0.5 ( V1 2 2v2 2 ) ถ้าผิวเด้งเป็นแข็งอย่างสมบูรณ์ ทั้งหมดทำงานด้วยแรง F ทำที่ด้านล่างของลูกบอลเป็น ศูนย์ เนื่องจากประเด็นการบังคับยังคงที่ส่วนที่เหลือ อย่างไรก็ตาม* f ดี้แทนการเปลี่ยนพลังงานจลน์ซึ่งมีขนาดเท่ากันและตรงข้ามกับการเปลี่ยนพลังงานศักย์ที่เกิดจากการบีบอัดของลูก บวกกับพลังงานลดลงในระหว่างการปะทะกัน พลังงานทั้งหมด รวมทั้งพลังงานลดลง จึงยังคงคงที่ การวิเคราะห์ง่ายของตีกลับ จะได้รับ หากสมมติว่า ผิวเด้ง ไม่พิการ และยังคงอยู่ในส่วนที่เหลือและลูกบอลบีบอัด , X , ได้รับการ f52kx ที่ k คือค่าคงตัวสปริง ของลูก ถ้ามันยังถือว่าสำหรับความเรียบง่ายที่ y5x แล้ว d2y / dt252ky / M , F 5f0 บาป ( VT ) ที่ละเป็นแอมพลิจูดของ F V2 5K / เมตร สามารถคาดคะเนได้ว่า บอลยังคงติดต่อกับพื้นผิวในเวลา t5p / วีมันสะท้อนกับความเร็วเดียวกันเป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นเร็วและแรงคลื่นรูปไซน์ชีพจรเป็นครึ่งของขนาด f05mvv1 . สำหรับลูกเทนนิส m50.057 กิโลกรัมและ K ; 23104 nm21 ให้ติดต่อเวลา t ; 5.3 นางสาว สอดคล้องกับข้อสังเกต 8 ลูกเหล็กของมวลเดียวกัน K มีขนาดใหญ่มาก และติดต่อเวลาที่สั้นมากเวลาที่ติดต่อสำหรับตลับลูกปืนขนาดเล็กชนกับพื้นผิวที่แข็งเป็นปกติเพียง 20 – 50 คุณในกรณีของการสั่นพ้องแบบกระแทก 2,9 ที่ f5kx3 / 2 , หรืออื่น ๆผลกระทบที่เกี่ยวข้องกับบังคับกฎหมายของรูปแบบ f5kxn ยังไม่สูญเสียพลังงาน ดังนั้น v25v1 . ในการปฏิบัติงาน พบว่า มักจะน้อยกว่า V1 และ V2 ที่ F VS รูปแบบคลื่น T ไม่สมบูรณ์แบบต่าง หรือแม้แต่ ไม่เท่ากันเป็นรูปแบบที่สามารถวัดแรงคลื่นดิจิตอลการวิเคราะห์เชิงตัวเลขหรือมันสามารถติดตั้งให้โดยชื่อหรือโดย ไม่กี่ข้อตกลงแรกของอนุกรมฟูเรียร์ที่จะได้รับโซลูชั่นที่วิเคราะห์ เด้งแรงคลื่นรูปแบบมักจะไม่เพียงเล็กน้อย ดังนั้นการแรกที่เหมาะสมคือการพิจารณาแค่พื้นฐานและส่วนประกอบฮาร์มอนิก 2ประมาณนี้ให้ผลการวิเคราะห์ที่น่าสนใจ แต่มันไม่ได้ให้พอดีกับข้อมูลจากการทดลอง ดังนั้น แรงคลื่นดิจิทัลรูปแบบวิเคราะห์บอลแต่ละแยกต่างหาก และผลลัพธ์จะถูกอธิบายไว้ด้านล่าง .