What it the central limit theorem?

What it the central limit theorem? The theorem says that under rather general
circumstances, if you sum independent random variables and normalize
them accordingly, then at the limit (when you sum lots of them) you’ll get a
normal distribution.
For reference, here is the density of the normal distribution N (µ, σ2
) with
mean µ and variance σ
2
:
1
√
2πσ2
e
−
(x−µ)
2
2σ2
.
We now state a very weak form of the central limit theorem. Suppose that
Xi are independent, identically distributed random variables with zero mean
and variance σ
2
. Then
X1 + · · · + Xn √
n
−→ N (0, σ2
).
Note that if the variables do not have zero mean, we can always normalize
them by subtracting the expectation from them.
The meaning of Yn −→ Y is as follows: for each interval [a, b],
Pr[a ≤ Yn ≤ b] −→ Pr[a ≤ Y ≤ b].
1
This mode of convergence is called convergence in distribution.
The exact form of convergence is not just a technical nicety — the normalized
sums do not converge uniformly to a normal distribution. This means
that the tails of the distribution converge more slowly than its center. Estimates
for the speed of convergence are given by the Berry-Ess´een theorem
and Chernoff’s bound.
The central limit theorem is true under wider conditions. We will be
able to prove it for independent variables with bounded moments, and even
more general versions are available. For example, limited dependency can
be tolerated (we will give a number-theoretic example). Moreover, random
variables not having moments (i.e. E[Xn
] doesn’t converge for all n) are
sometimes well-behaved enough to induce convergence. Other problematical
random variable will converge, under a different normalization, to an α-stable
distribution (look it up!).

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

อะไรที่มันทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง ทฤษฎีบทกล่าวว่า ภายใต้ทั่วไปแต่สถานการณ์ ถ้าคุณรวมตัวแปรสุ่มที่เป็นอิสระ และปกติพวกเขาตาม แล้วที่ขีดจำกัด (เมื่อคุณรวมจำนวนมากของพวกเขา) คุณจะได้รับการการแจกแจงปกติสำหรับการอ้างอิง นี่คือความหนาแน่นของการแจกแจงปกติ N (µ σ2) กับค่าเฉลี่ยµและความแปรปรวนσ2:1√2ΠΣ2อี−(x−µ)22Σ2.เราตอนนี้รัฐแบบอ่อนมากของทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง สมมติว่าอานเป็นอิสระ เหมือนกันกระจายตัวแปรสุ่ม มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และความแปรปรวนσ2. แล้วX1 + · · · + Xn √n−→ N (0, Σ2).หมายเหตุว่า ถ้าตัวแปรไม่มีความหมายเป็นศูนย์ เราสามารถเสมอปกติพวกเขา โดยการลบความคาดหวังจากพวกเขาความหมายของ Yn −→ Y จะเป็นดังนี้: สำหรับแต่ละช่วง [a, b],Pr −→ Pr [≤ Yn ≤ข] [การ≤ Y ≤ b]1การบรรจบกันเรียกว่าร่วมในการกระจายรูปแบบที่แน่นอนของบรรจบกันไม่เพียง nicety เป็นเทคนิค — การมาตรฐานผลไม่มาบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอเพื่อแจก หมายความว่าว่า หางของการแจกมาบรรจบกันช้ากว่าตรงกลาง การประเมินสำหรับความเร็วในการร่วมกำหนด โดยทฤษฎีบท Ess´een เบอร์รี่และขอบเขตของเขตเชอร์นอฟทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางเป็นจริงภายใต้เงื่อนไขที่กว้างขึ้น เราจะได้สามารถที่จะพิสูจน์ว่าตัวแปรอิสระกับช่วงเวลายาม และแม้แต่มีรุ่นอื่น ๆ ทั่วไป ตัวอย่างเช่น อ้างอิงจำกัดสามารถโกลบอล (เราจะให้ตัวอย่างสดจำนวน) นอกจากนี้ สุ่มตัวแปรที่ไม่มีช่วงเวลา (เช่น E [Xn] ไม่บรรจบสำหรับทุก n) ได้บางครั้งเด็กดีพอชวนบรรจบกัน อื่น ๆ problematicalตัวแปรสุ่มจะมาบรรจบกัน ภายใต้ความแตกต่างเกี่ยวกับการปรับสภาพ ไปเป็นα-มั่นคงกระจาย (ดูมันขึ้น)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

สิ่งที่มันทฤษฎีบทขีด จำกัด กลาง? ทฤษฎีบทกล่าวว่าภายใต้ค่อนข้างทั่วไป
สถานการณ์ถ้าคุณสรุปตัวแปรสุ่มอิสระและปกติ
พวกเขาตามแล้วที่ขีด จำกัด (เมื่อคุณรวมมากของพวกเขา) คุณจะได้รับ
การกระจายปกติ.
สำหรับการอ้างอิงนี่คือความหนาแน่นของปกติ กระจาย N (μ, σ2
) โดยมี
ค่าเฉลี่ยμและความแปรปรวนσ
2
:
1
√
2πσ2
E
-
(x-μ)
2
2σ2
.
ตอนนี้เราระบุรูปแบบที่อ่อนแอมากของทฤษฎีบทขีด จำกัด กลาง สมมติว่า
จินเป็นอิสระกันกระจายตัวแปรสุ่มที่มีศูนย์เฉลี่ย
และความแปรปรวนσ 2 แล้วX1 + ··· + Xn √ n - → N (0, σ2 .) โปรดทราบว่าหากตัวแปรที่ไม่ได้มีศูนย์หมายความว่าเราสามารถทำให้ปกติพวกเขาโดยการลบความคาดหวังจากพวกเขา. ความหมายของ Yn - → Y คือ ดังนี้สำหรับแต่ละช่วง [a, b], Pr [เป็น≤ Yn ≤ b] - → Pr [เป็น≤ Y ≤ b]. 1 โหมดของการบรรจบกันนี้เรียกว่าการบรรจบกันในการกระจาย. รูปแบบที่แน่นอนของการบรรจบกันไม่ได้เป็นเพียง ความสวยงามทางเทคนิค - The ปกติจำนวนเงินไม่มาบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอเพื่อการกระจายปกติ ซึ่งหมายความว่าหางของการกระจายมาบรรจบกันช้ากว่าศูนย์ ประมาณการสำหรับความเร็วของการบรรจบกันจะได้รับโดยทฤษฎีบท Berry-Ess'een และ Chernoff ผูกพัน. ทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางเป็นจริงภายใต้เงื่อนไขที่กว้างขึ้น เราจะมีความสามารถที่จะพิสูจน์มันสำหรับตัวแปรอิสระที่มีช่วงเวลาที่ จำกัด และแม้กระทั่งรุ่นทั่วไปอื่น ๆ มี ยกตัวอย่างเช่นการ จำกัด การพึ่งพาสามารถได้รับการยอมรับ (เราจะให้เป็นตัวอย่างจำนวนตามทฤษฎี) นอกจากนี้ยังมีการสุ่มตัวแปรที่ไม่ได้มีช่วงเวลา (เช่น E [Xn ] ไม่ได้มาบรรจบทั้งหมด n) เป็นบางครั้งมีความประพฤติดีพอที่จะทำให้เกิดการบรรจบกัน อื่น ๆ ไม่เข้าใจตัวแปรสุ่มจะมาบรรจบกันภายใต้การฟื้นฟูที่แตกต่างกันไปยังαมั่นคงกระจาย (ดูมันขึ้น!)

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ที่ทฤษฎีบทจำกัด ? ทฤษฎีบทกล่าวว่าภายใต้ค่อนข้างทั่วไปสถานการณ์ ถ้าคุณรวมตัวแปรสุ่มอิสระและปกติพวกเขาตาม แล้วที่กำหนด ( เมื่อคุณผลรวมมากของพวกเขา ) คุณจะได้รับการแจกแจงแบบปกติอ้างอิงที่นี่มีความหนาแน่นของการแจกแจงแบบปกติ ( µσ 2 ,) กับหมายถึงµσและความแปรปรวน2:1√2 πσ 2อีบริษัท เวสเทิร์น( x −µ )22 σ 2.ตอนนี้สถานะแบบอ่อนมากของทฤษฎีขีดจำกัดกลาง สมมติว่าซีเป็นอิสระกันกระจายตัวแปรสุ่มที่มีศูนย์หมายถึงและความแปรปรวนσ2. จากนั้นx1 + · · ·√ + ซินn−→ N ( 0 , σ 2)หมายเหตุว่า ถ้าตัวแปรไม่ได้มีศูนย์หมายถึงเราสามารถหาโดยการลบคาดหวังจากพวกเขาคำแปล / ความหมาย : ใน−→ Y มีดังนี้ : สำหรับแต่ละช่วง [ a , b ]ประชาสัมพันธ์ [ b ] ≤ใน≤−→ PR [ ≤ Y ≤ B ]1โหมดนี้บรรจบกันเรียกว่าบรรจบกันในการกระจายสินค้าแบบฟอร์มที่แน่นอนของบรรจบกันไม่ได้เป็นเพียงเทคนิคความดี - มาตรฐานผลรวมไม่บรรจบเหมือนกันกับการแจกแจงแบบปกติ นี้หมายความว่าที่หางของการบรรจบช้ากว่าที่ศูนย์กลาง ประมาณการสำหรับความเร็วในการลู่เข้าของจะได้รับโดยรี่ ESS ใหม่ - ทฤษฎีบทและ เชอร์นอฟก็ผูกพันทฤษฎีบทลิมิตกลางเป็นจริงภายใต้เงื่อนไขที่กว้างขึ้น เราจะเป็นสามารถพิสูจน์ได้ สำหรับตัวแปรอิสระที่มีจำกัดช่วงเวลา และแม้แต่รุ่นทั่วไปมี ตัวอย่างเช่น การพึ่งพาสามารถจำกัดได้ ( เราจะให้หมายเลขทฤษฎีตัวอย่าง ) นอกจากนี้ สุ่มตัวแปรที่ไม่ได้มีช่วงเวลา ( เช่น E [ ซิน] ไม่ได้มาบรรจบกันสำหรับทุก n ) คือบางครั้งคนดีพอที่จะทำให้บรรจบกัน . ปัญหาอื่น ๆตัวแปรสุ่มจะบรรจบ ภายใต้บรรทัดฐานที่แตกต่างกันกับแอลฟามั่นคงกระจาย ( ดูมันขึ้น ! ) .