Algebraic TopologyAlgebraic topolog

Algebraic TopologyAlgebraic topology is the study of intrinsic qualitative aspects of spatial objects (e.g., surfaces, spheres, tori, circles, knots, links, configuration spaces, etc.) that remain invariant under both-directions continuous one-to-one (homeomorphic) transformations. The discipline of algebraic topology is popularly known as "rubber-sheet geometry" and can also be viewed as the study of disconnectivities. Algebraic topology has a great deal of mathematical machinery for studying different kinds of hole structures, and it gets the prefix "algebraic" since many hole structures are represented best by algebraic objects like groups and rings.

Algebraic topology originated with combinatorial topology, but went beyond it probably for the first time in the 1930s when Čech cohomology was developed.

A technical way of saying this is that algebraic topology is concerned with functors from the topological category of groups and homomorphisms. Here, the functors are a kind of filter, and given an "input" space, they spit out something else in return. The returned object (usually a group or ring) is then a representation of the hole structure of the space, in the sense that this algebraic object is a vestige of what the original space was like (i.e., much information is lost, but some sort of "shadow" of the space is retained--just enough of a shadow to understand some aspect of its hole-structure, but no more). The idea is that functors give much simpler objects to deal with. Because spaces by themselves are very complicated, they are unmanageable without looking at particular aspects.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

โทโพโลยี TopologyAlgebraic พีชคณิตเป็นการศึกษาด้านคุณภาพ intrinsic ปริภูมิวัตถุ (เช่น พื้นผิว ทรงกลม โทริ วงกลม knots ลิงค์ กำหนดค่าช่องว่าง ฯลฯ) ที่ยังคงไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ทั้งทิศทางต่อเนื่องแบบหนึ่งต่อหนึ่ง (homeomorphic) แปลง วินัยของโทโพโลยีพีชคณิตจะเรียกขานกันว่า "เรขาคณิตแผ่นยาง" และยังสามารถดูเป็นการศึกษาของ disconnectivities โครงสร้างพีชคณิตมีมากเครื่องจักรทางคณิตศาสตร์สำหรับการเรียนแตกต่างกันของโครงสร้างหลุม และได้รับคำนำหน้า "พีชคณิต" เนื่องจากจะแสดงโครงสร้างหลุมมากสุด โดยวัตถุพีชคณิตเช่นกลุ่มและแหวนโครงสร้างพีชคณิตมา มีปัญหาโทโพโลยี ได้ไปนอกเหนือจากนี้คงเป็นครั้งแรกในช่วงทศวรรษ 1930 เมื่อ Čech cohomology ได้รับการพัฒนาวิธีทางเทคนิคว่า เป็นโครงสร้างพีชคณิตที่เกี่ยวข้องกับ functors จากประเภท topological ของกลุ่มและ homomorphisms ที่นี่ functors มีชนิดของตัวกรอง และกำหนดพื้นที่การ "ป้อน" พวกเขาพ่นออกอย่างอื่นกลับ วัตถุส่งคืน (มักจะเป็นกลุ่มหรือวงแหวน) เป็นการแสดงโครงสร้างของพื้นที่ ในแง่ที่วัตถุนี้พีชคณิต vestige ของพื้นที่เดิมที่เป็นเหมือน หลุมแล้ว (เช่น เท่า แต่บางจัดเรียงของ "เงา" ของพื้นที่จะถูกเก็บ ไว้ - พอเข้าใจบางแง่มุมของโครงหลุมเงา แต่ไม่มาก) ความคิดเป็นว่า functors ให้วัตถุง่ายกว่ามากในการจัดการกับ เนื่องจากช่องว่าง ด้วยตัวเองมีความซับซ้อนมาก พวกเขาได้นอกบริษัทไม่มองเฉพาะด้าน

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

โทโพโลยีเชิงพีชคณิต TopologyAlgebraic คือการศึกษาด้านคุณภาพที่แท้จริงของวัตถุเชิงพื้นที่ (เช่นพื้นผิวทรงกลม, Tori วงกลมนอตเชื่อมโยงช่องว่างการกำหนดค่าอื่น ๆ ) ที่ยังคงอยู่ภายใต้การคงที่ทั้งสองทิศทางอย่างต่อเนื่องแบบหนึ่งต่อหนึ่ง (มอร์ฟิค) การเปลี่ยนแปลง ระเบียบวินัยของ topology เกี่ยวกับพีชคณิตเป็นที่รู้จักกันแพร่หลายเป็น "เรขาคณิตยางแผ่น" และยังสามารถมองได้ว่าการศึกษาของ disconnectivities โทโพโลยีเชิงพีชคณิตมีการจัดการที่ดีของเครื่องจักรทางคณิตศาสตร์สำหรับการศึกษาที่แตกต่างกันของโครงสร้างหลุมและจะได้รับคำนำหน้า "พีชคณิต" ตั้งแต่โครงสร้างหลุมจำนวนมากจะเป็นตัวแทนที่ดีที่สุดโดยวัตถุพีชคณิตเช่นกลุ่มและแหวน. โทโพโลยีเชิงพีชคณิตเกิดขึ้นกับโครงสร้าง combinatorial แต่ไปเกิน มันอาจจะเป็นครั้งแรกในช่วงทศวรรษที่ 1930 เมื่อČechโฮโมโลจี้ได้รับการพัฒนา. ทางเทคนิคของคำพูดนี้ก็คือว่า topology เกี่ยวกับพีชคณิตเป็นกังวลกับ functors จากหมวดหมู่ของกลุ่มทอพอโลยีและ homomorphisms นี่ functors เป็นชนิดของตัวกรองและให้พื้นที่ "ใส่" พวกเขาคายอย่างอื่นในทางกลับกัน วัตถุกลับ (มักจะเป็นกลุ่มหรือแหวน) เป็นแล้วเป็นตัวแทนของโครงสร้างหลุมของพื้นที่ในแง่ที่ว่าวัตถุพีชคณิตนี้เป็นร่องรอยของสิ่งที่พื้นที่เดิมเป็นเหมือน (เช่นข้อมูลมากจะหายไป แต่บางประเภท ของ "เงา" ของพื้นที่ที่จะถูกเก็บไว้ - พอเพียงของเงาที่จะเข้าใจทุกแง่มุมของหลุมโครงสร้างบางส่วน แต่ไม่มาก) แนวคิดก็คือว่า functors ให้วัตถุที่ง่ายมากที่จะจัดการกับ เพราะช่องว่างด้วยตัวเองมีความซับซ้อนมากพวกเขาจะไม่สามารถจัดการได้โดยไม่ต้องมองหาที่ด้านโดยเฉพาะอย่างยิ่ง

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

topologyalgebraic ทอพอโลยีพีชคณิตเป็นการศึกษาเชิงคุณภาพภายในด้านวัตถุเชิงพื้นที่ ( เช่น พื้นผิวทรงกลม โทริ , วงกลม , นอต , การเชื่อมโยง , การเป็น , ฯลฯ ) ที่ยังคงไม่เปลี่ยนแปลงในทั้งสองทิศทางแบบต่อเนื่อง ( homeomorphic ) การแปลง .วินัยของทอพอโลยีเชิงพีชคณิต popularly เรียกว่า " เรขาคณิตแผ่นยาง " และยังสามารถดูเป็นกรณีศึกษา disconnectivities . ทอพอโลยีเชิงพีชคณิตที่มีการจัดการที่ดีของเครื่องจักรทางคณิตศาสตร์เพื่อศึกษาชนิดของโครงสร้างรูและได้รับคำนำหน้า " พีชคณิต " ตั้งแต่โครงสร้างหลุมหลายจะแสดงที่ดีที่สุดโดยวัตถุเชิงพีชคณิตแบบกลุ่มและวง

ทอพอโลยีเชิงพีชคณิตเชิงทอพอโลยีที่มาด้วย แต่นอกเหนือไปจากมันอาจจะเป็นครั้งแรกในช่วงทศวรรษที่ 1930 เมื่อโลเปซโฮโมได้พัฒนา

เทคนิควิธีที่บอกนี้คือทอพอโลยีเชิงพีชคณิตเกี่ยวข้องกับ functors จากรูปแบบของกลุ่มและประเภท homomorphisms . ที่นี่ functors เป็นชนิดของไส้กรอง และให้ " นำเข้า " พื้นที่พวกเขาคายอะไรตอบแทน คืนวัตถุ ( มักจะเป็นกลุ่มหรือแหวน ) จากนั้นเป็นตัวแทนของหลุม โครงสร้างของพื้นที่ในความรู้สึกว่าวัตถุเชิงพีชคณิตนี่คือร่องรอยของสิ่งที่พื้นที่เดิมที่เคยชอบ ( เช่น ข้อมูลหาย แต่บางจัดเรียงของ " เงา " ของพื้นที่ถูกเก็บไว้ . . . แค่พอของ เงาจะเข้าใจแง่มุมของโครงสร้างรูของมันแต่ไม่มี ) ความคิดคือว่า functors ให้ง่ายขึ้นวัตถุเพื่อจัดการกับ เพราะเป็น โดยตัวเอง มีความซับซ้อนมาก พวกเขาจะไม่สามารถจัดการได้โดยไม่ต้องมองในแง่มุมใด