Problem: sorting.Search version: in

Problem: sorting.
Search version: input a list of numbers X and output the same list in sorted order (call it Y).
Verification version: input a list of numbers X and another list Y, and output "YES" if Y is the sorted version of X and "NO" otherwise.
Problem: graph coloring.
Search version: input a network of nodes and edges X, and output colors Y for each node such that no adjacent nodes have the same color.
Verification version: input a network X and a set of colors Y and output "YES" if all adjacent nodes have different colors and "NO" otherwise.
Problem: partition.
Search version: input some numbers X and divide the numbers into two groups that add up to exactly the same value (call the assignment of numbers to their group Y).
Verification version: input some numbers X and the groupings Y and output "YES" if the two groups add up to the same value, or "NO" otherwise.
This is the P versus NP problem:
Are there any problems for which the verification version can be solved efficiently but for which there is no efficient solution to the search version?

If there is a fast solution to the search version of a problem then the problem is said to be Polynomial-time, or P for short. If there is a fast solution to the verification version of a problem then the problem is said to be Nondeterministic Polynomial-time, or NP for short. The question of "P=NP" is then the question of whether these sets are identical.

(The "nondeterministic polynomial-time" terminology is terribly counter-intuitive in my opinion. It was used originally because whenever a Turing machine can efficiently solve the verification version of a problem, a non-deterministic Turing machine can efficiently solve the corresponding search problem. But this is really not at all important to understanding P vs NP.)

In the case of the sorting problem above, there are fast algorithms for both the search and verification versions. But for the other two problems, the verification versions are easy (heck, my grandmother could probably write a computer program to check that two lists of numbers add up to the same value) but the search versions are difficult, and indeed there are no fast solutions known. So all three problems are in NP, but only the first is (known to be) in P.

Some problems can be translated into one another in such a way that a fast solution to one problem would automatically give us a fast solution to the other. There are some problems that every single problem in NP can be translated into, and a fast solution to such a problem would automatically give us a fast solution to every problem in NP. This group of problems are known as NP-Hard. Some problems in NP-Hard are actually not themselves in NP; the group of problems that are in both NP and NP-Hard is called NP-Complete.

You start to see the far-reaching implications of a fast solution to any one problem in NP-Hard: we would automatically get a fast solution to every problem in NP, which would mean that whenever there is a fast solution to the verification version of a problem then there is always a fast solution to the corresponding search version.

Remember how the verification versions of those problems seemed easy but the search versions seemed hard? A fast solution to any NP-Complete problem would be mean that as long as you can verify proposed solutions to a problem you would never need to search through a substantial fraction of the search space to find solutions; there would always be a faster way. This seems implausible to most mathematicians (and for deeper reasons that I've listed here) and that is why most mathematicians think that there are no fast solutions to NP-complete problems. But we haven't proved it yet.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ปัญหา: เรียงลำดับค้นหารุ่น: ป้อนรายการจำนวน X และแสดงรายการเรียงลำดับเดียวกัน (เรียกว่า Y) ตรวจสอบรุ่น: ป้อนจำนวน X และอีก Y และผล "ใช่" ถ้า เรียงลำดับรุ่นของ X Y และ "ไม่" เป็นอย่างอื่นปัญหา: การระบายสีกราฟค้นหารุ่น: ป้อนข้อมูลเครือข่ายโหนและขอบ X และผลสี Y สำหรับแต่ละโหนดที่โหนไม่ติดกันมีสีเดียวกัน ตรวจสอบรุ่น: ป้อนเครือ X และชุด Y สี และผล "ใช่" ถ้าโหนทั้งหมดติดสีแตกต่างกันและ "ไม่" เป็นอย่างอื่นปัญหา: พาร์ติชัน ค้นหารุ่น: ป้อนเลข X และตัวเลขแบ่งกลุ่มสองที่เพิ่มขึ้นจะตรง (เรียกการกำหนดหมายเลขของกลุ่ม Y) ตรวจสอบรุ่น: ป้อนเลข X และ Y จัดกลุ่ม และผล "ใช่" ถ้าสองกลุ่มเพิ่มค่าค่าเดียวกัน หรือ "ไม่" เป็นอย่างอื่นโดย P เมื่อเทียบกับปัญหา NP:มีปัญหาใด ๆ ซึ่งการตรวจสอบรุ่นที่สามารถแก้ไขได้อย่างมีประสิทธิภาพ แต่ การซึ่ง มีวิธีใดมีประสิทธิภาพรุ่นค้นหาถ้ามีการแก้ไขด่วนรุ่นค้นหาปัญหา แล้วปัญหากล่าวได้ว่า เป็นพหุนามเวลา หรือ P สั้น ๆ ถ้ามีการแก้ไขอย่างรวดเร็วตรวจสอบรุ่นของปัญหา ปัญหาจะกล่าวว่า เป็น พหุนามเวลาถูก หรือ NP สั้น ๆ คำถามของ " P = NP " คือคำถามที่ว่าชุดเหล่านี้มีเหมือนกันแล้ว(คำศัพท์ "ถูกพหุนามเวลา" ได้ counter-intuitive ฟ้าในความคิดของฉัน มันถูกใช้ครั้งแรก เพราะเมื่อเครื่องจักรทัวริงสามารถแก้รุ่นตรวจสอบปัญหาได้อย่างมีประสิทธิภาพ เครื่องจักรทัวริงไม่ใช่ deterministic สามารถแก้ปัญหาการค้นหาที่เกี่ยวข้องได้อย่างมีประสิทธิภาพ แต่นี้เป็นสิ่งสำคัญจริง ๆ ไม่เลยเข้าใจ P vs NP)ในกรณีของการเรียงลำดับปัญหาข้างต้น มีอัลกอริทึมอย่างรวดเร็วสำหรับรุ่นค้นหาและตรวจสอบ แต่สำหรับสองปัญหาอื่น ๆ รุ่นตรวจสอบได้ง่าย (heck ยายของฉันสามารถอาจเขียนโปรแกรมเพื่อตรวจสอบว่า รายการที่สองของตัวเลขเพิ่มขึ้นเป็นค่าเดียวกัน) แต่รุ่นค้นหายาก และแน่นอนมีไม่รู้จักการแก้ไขปัญหาอย่างรวดเร็วได้ ปัญหาทั้งหมดดังนั้นสามอยู่ในเอ็นพี แต่เฉพาะครั้งแรกที่เป็น (รู้จักกัน) ในพีบางปัญหาสามารถแปลเป็นอื่นในลักษณะที่การแก้ไขปัญหาหนึ่งอย่างรวดเร็วจะโดยอัตโนมัติให้เราแก้ไขปัญหาได้อย่างรวดเร็วอีก มีปัญหาบางอย่างที่สามารถแปลทุกปัญหาเดียว NP เป็น และการแก้ไขปัญหาดังกล่าวอย่างรวดเร็วจะโดยอัตโนมัติให้เราแก้ไขปัญหาได้อย่างรวดเร็วทุกปัญหา NP ปัญหากลุ่มนี้รู้จักกันเป็น NP ยาก ปัญหาใน NP หนักไม่จริงตัวเองใน NP กลุ่มของปัญหาที่ NP และ NP หนักคือทำ NPเริ่มเห็นผลกระทบของการแก้ไขปัญหาหนึ่งใน NP หนักรวดเร็วผับ: เราจะได้รับการแก้ไขอย่างรวดเร็วทุกปัญหาเอ็นพี ซึ่งจะหมายถึง ที่มีการแก้ไขรุ่นตรวจสอบปัญหาอย่างรวดเร็ว แล้วจะมีการแก้ไขด่วนรุ่นค้นหาที่เกี่ยวข้องจำได้ว่า รุ่นตรวจสอบปัญหาที่ดูเหมือนง่าย แต่รุ่นค้นหาดูยาก การแก้ไขอย่างรวดเร็วปัญหาทำ NP จะเฉลี่ยที่ตราบเท่าที่คุณสามารถตรวจสอบวิธีแก้ไขปัญหาคุณจะไม่เคยเสนอที่ต้องการค้นหาพบเศษของพื้นที่การค้นหาเพื่อค้นหาวิธีแก้ไขปัญหา จะมีจะเป็นวิธีที่รวดเร็ว นี้ดูเหมือนว่าไม่น่าเชื่อ กับ mathematicians มากที่สุด (และเหตุผลที่ลึกซึ้งที่ฉันอยู่ที่นี่) และนั่นคือ เหตุ mathematicians มากที่สุดคิดว่า มีวิธีแก้ไขปัญหาทำ NP ไม่รวดเร็ว แต่เรายังไม่ได้พิสูจน์ได้

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ปัญหา : เรียงลำดับ
รุ่นค้นหา : ใส่หมายเลขรายการ X และออกรายการเดียวกันในเรียงลําดับ ( เรียกว่า Y )
รุ่นการตรวจสอบ : ใส่หมายเลขรายการ X และ Y อีกหนึ่งรายการและส่งออก " ใช่ " ถ้า y เป็นเรียงรุ่นของ X และ " ไม่ " มิฉะนั้น ปัญหาการระบายสีกราฟ
.
รุ่นค้นหาเข้าเครือข่ายของโหนดและขอบ Xและผลผลิตสี Y สำหรับแต่ละโหนดที่โหนดที่อยู่ติดกัน ไม่ต้องสีเดียวกัน
รุ่นการตรวจสอบ : ใส่เครือข่าย X และชุดสี Y และผลผลิต " ใช่ " ถ้าโหนดข้างเคียงทั้งหมดมีสีที่แตกต่างกัน และ " ไม่ " มิฉะนั้น
ปัญหา : ฉากกั้นห้อง
รุ่นค้นหา :ใส่หมายเลข X และแบ่งตัวเลขออกเป็น 2 กลุ่มที่เพิ่มขึ้นตรงค่าเดียวกัน ( เรียกงานของตัวเลขของกลุ่ม Y ) การตรวจสอบ : ใส่ตัวเลขบางรุ่น
x และ y และผลผลิต คือ " ใช่ " ถ้าทั้งสองกลุ่มเพิ่มขึ้นค่าเดียวกัน หรือ " ไม่ " มิฉะนั้น
นี่คือศึกเทพศาสตรา :
มีปัญหาอะไร ซึ่งการตรวจสอบรุ่นที่สามารถแก้ไขได้อย่างมีประสิทธิภาพ แต่ที่ไม่มีโซลูชั่นที่มีประสิทธิภาพในการค้นหารุ่น ?

ถ้าไม่มีการแก้ไขอย่างรวดเร็วเพื่อค้นหารุ่นของปัญหาแล้วปัญหาก็คือว่าเป็นพหุนามเวลา , P หรือสั้น ๆถ้าไม่มีการแก้ไขอย่างรวดเร็วเพื่อตรวจสอบรุ่นของปัญหาแล้ว ปัญหาว่า จะ nondeterministic พหุนามเวลาหรือ NP สำหรับสั้น คำถามของ " P = NP " แล้วถามว่าชุดเหล่านี้มีเหมือนกัน

( " nondeterministic พหุนามเวลาชะมัด " ศัพท์ที่เคาน์เตอร์ที่ใช้งานง่ายในความคิดของฉันมันถูกใช้ครั้งแรก เพราะเมื่อใดก็ตามที่เครื่องจักรทัวริงสามารถได้อย่างมีประสิทธิภาพแก้ปัญหาการตรวจสอบรุ่นของปัญหา ไม่ใช่เครื่องจักรทัวริงเชิงกำหนดได้อย่างมีประสิทธิภาพสามารถแก้ปัญหาการค้นหาที่สอดคล้องกัน แต่นี่ไม่ใช่ทั้งหมดที่สำคัญเพื่อความเข้าใจ P vs NP )

ในกรณีของการเรียงลำดับปัญหาข้างต้น มีขั้นตอนวิธีการที่รวดเร็วทั้งการค้นหาและตรวจสอบรุ่นแต่สำหรับอีกสองปัญหา การตรวจสอบรุ่นง่าย ( เฮค คุณยายอาจจะเขียนโปรแกรมเพื่อตรวจสอบว่าสองรายการของตัวเลขเพิ่มค่าเดียวกัน ) แต่รุ่นหายาก และแน่นอนมีโซลูชั่นที่รวดเร็วเป็นที่รู้จัก ดังนั้นทั้งสามปัญหาใน NP แต่แรกคือ ( ที่รู้จักกันเป็น

) Pบางปัญหาสามารถแปลเป็นอีกหนึ่งในวิธีที่แก้ปัญหาได้อย่างรวดเร็วเพื่อปัญหาหนึ่งโดยอัตโนมัติให้เราแก้ปัญหาได้เร็ว ๆ มีปัญหาทุกปัญหาเดียว คือ สามารถแปลเป็นและแก้ปัญหาได้อย่างรวดเร็วเพื่อปัญหาดังกล่าวโดยอัตโนมัติให้เราแก้ปัญหาได้อย่างรวดเร็วเพื่อทุกปัญหา NP กลุ่มของปัญหาที่รู้จักกันเป็นปัญหาหนักบางปัญหา NP ยากจริงไม่ใช่ตัวเองใน NP ; กลุ่มของปัญหาที่อยู่ใน NP และ NP ยากเรียกว่า NP สมบูรณ์

คุณจะเริ่มเห็นผลกระทบของการแก้ปัญหาที่รวดเร็ว กว้างไกล ๆปัญหา NP Hard : เราอัตโนมัติจะได้รับการแก้ปัญหาอย่างรวดเร็วทุกปัญหา NP ,ซึ่งหมายความว่าเมื่อใดก็ตามที่ไม่มีการแก้ไขอย่างรวดเร็วเพื่อตรวจสอบรุ่นของปัญหา ก็มักจะแก้ปัญหาได้อย่างรวดเร็วเพื่อรุ่นค้นหาเหมือนกัน

จำได้ว่า การตรวจสอบเวอร์ชันของปัญหานั้น ดูเหมือนง่าย แต่การค้นหารุ่นดูเหมือนจะยากโซลูชั่นที่รวดเร็วใด ๆ ปัญหา NP สมบูรณ์จะหมายถึงว่าตราบใดที่คุณสามารถตรวจสอบการเสนอวิธีแก้ไขปัญหาที่คุณจะต้องค้นหาผ่านส่วนที่สําคัญของการค้นหาช่องว่างเพื่อหาโซลูชั่น ; มีเสมอจะเป็นวิธีที่เร็วขึ้นนี้ดูเหมือนว่าไม่น่าเชื่อนักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ ( และเหตุผลลึกๆที่ผมแสดงไว้ที่นี่ ) และนั่นคือเหตุผลที่นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่คิดว่าไม่มีโซลูชั่นอย่างรวดเร็ว ปัญหา NP สมบูรณ์ แต่เรายังไม่ได้พิสูจน์เลย