Here is a challenging problem for a

Here is a challenging problem for anyone with an interest in geometry. This project requires background research to solve it, but it is an excellent illustration of visual thinking in mathematics.

The chain of inscribed circles is sometimes called a Pappus Chain, for Pappus of Alexandria, who studied and wrote about it in the 4th century A.D. The inscribed circles are tangent to one another, and to the boundaries of the arbelos. That is, iC1 is tangent to each of the three semicircles that form the boundary of the arbelos, while each successive circle is tangent to the preceding one and to two of the semicircles that bound the arbelos (note that, in its default position, the figure illustrates just one of three possible configurations of the chain). Pappus proved a theorem (which he called "ancient"), which states that the height, hn, of the center of the nth inscribed circle, iCn, above the line segment AC is equal to n times the diameter of iCn.



Pappus' proof, relying solely on Euclidean geometry, ran over many pages. The modern proof is much simpler and uses the powerful method of circle inversion, invented in the 1820's by Jacob Steiner. Try manipulating the figure by clicking and dragging one of the orange points, A, or B. Note that as you do this, not only do you re-size the arbelos and the chain of inscribed circles, you also cause the corresponding black point, A' or B', to move as well. Point A' is the inverse of point A, and point B' is the inverse of point B, both points having been inverted through a circle whose center is at point C.

Your goal is to gain a sufficient understanding of the principles of circle inversion and their application to the arbelos so that you can demonstrate to yourself and others that the statements in the preceding two paragraphs are indeed true. Then, using these facts and an additional insight or two, prove Pappus' Theorem:

hn = n × diameter(iCn).

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

นี่คือปัญหาท้าทายสำหรับทุกคนที่ มีความสนใจในเรขาคณิต โครงการนี้ต้องการพื้นหลังวิจัยเพื่อแก้ปัญหา แต่มันเป็นภาพแห่งความคิดเห็นในคณิตศาสตร์

สายวงกลมจารึกไว้ว่าเป็นห่วงโซ่ปัปปุส สำหรับปัปปุสของ Alexandria ผู้เรียน และเขียนเกี่ยวกับมันในฝน 4 วงการจารึกไว้มีแทนเจนต์อื่น และขอบเขตของการ arbelos นั่นคือ iC1 เป็นแทนเจนต์ semicircles สามที่ขอบเขตของ arbelos ในขณะที่แต่ละวงกลมต่อเนื่อง แทนเจนต์หนึ่งก่อนหน้านี้ และสองของ semicircles ที่ผูก arbelos (หมายเหตุว่า ในตำแหน่งเริ่มต้น รูปการแสดงหนึ่งโครงแบบได้สามสาย) แต่ละ ปัปปุสพิสูจน์ทฤษฎีบท (ซึ่งเขาเรียกว่า "โบราณ"), ซึ่งระบุว่า ความสูง hn ของศูนย์จารึกไว้วงกลม iCn ข้างบนส่วนของเส้นตรง AC มีค่าเท่ากับ n เวลาเส้นผ่าศูนย์กลางของ iCn


ของปัปปุสกัน เพียงอาศัยเรขาคณิต Euclidean วิ่งผ่านหลาย ๆ หลักฐานสมัยใหม่จะง่ายกว่ามาก และใช้วิธีการมีประสิทธิภาพของวงกลับ คิดค้นใน 1820's โดย Steiner ยาโคบ ลองจัดการกับตัวเลข โดยการคลิก และลากจุดสีส้ม A หรือ B. หมายเหตุว่า เป็น ไม่เพียงแต่คุณใหม่ขนาด arbelos การและห่วงโซ่ของวงกลมจารึกไว้ คุณยังทำให้เกิดจุดดำเกี่ยวข้อง A 'หรือ B' การย้ายเช่นกัน จุด A' ผกผันของจุด A และ B' จุด ผกผันของจุด B ทั้งสองจุดที่มีการกลับผ่านวงกลมที่มีศูนย์เป็นจุด C.

จะได้รับพอเข้าใจหลักการของวงกลับและสมัครไป arbelos เพื่อให้คุณสามารถแสดงตัวเองและผู้อื่นงบในย่อหน้าสองย่อหน้าข้างต้นจริงเป้าหมายของคุณ ข้อเท็จจริง และความเข้าใจเพิ่มเติม หรือ สอง ใช้แล้ว พิสูจน์ทฤษฎีบทของปัปปุส:

hn = diameter(iCn) n ×.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

นี่คือปัญหาที่ท้าทายสำหรับทุกคนที่มีความสนใจในรูปทรงเรขาคณิต โครงการนี้ต้องมีการวิจัยพื้นหลังเพื่อแก้ปัญหาได้ แต่มันก็เป็นตัวอย่างที่ดีของการคิดภาพในวิชาคณิตศาสตร์ห่วงโซ่ของวงการจารึกไว้บางครั้งเรียกว่าขนอ่อนขนหงอนโซ่สำหรับขนอ่อนขนหงอนของซานเดรียที่ศึกษาและเขียนเกี่ยวกับมันในศตวรรษที่ 4 วงการจารึกไว้จะสัมผัสกับอีกคนหนึ่งและขอบเขตของ arbelos นั่นคือ IC1 จะสัมผัสกันให้กับแต่ละสาม semicircles ที่เป็นเขตแดนของ arbelos ในขณะที่วงกลมต่อเนื่องกันเป็นสัมผัสกับก่อนหน้านี้หนึ่งและสองของ semicircles ที่ผูกพัน arbelos (โปรดทราบว่าในตำแหน่งที่เริ่มต้นการทำงานที่ ตัวเลขที่แสดงให้เห็นถึงเพียงหนึ่งในสามของการกำหนดค่าที่เป็นไปได้ของห่วงโซ่) ขนอ่อนขนหงอนพิสูจน์ทฤษฎีบท (ซึ่งเขาเรียกว่า "โบราณ") ซึ่งระบุว่าความสูง, HN ของศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึก nth, ICN เหนือส่วนของเส้น AC เท่ากับ n ครั้งเส้นผ่าศูนย์กลางของ ICN หลักฐาน Pappus ' อาศัย แต่เพียงผู้เดียวในเรขาคณิตแบบยุคลิด, วิ่งไปหลายหน้า หลักฐานที่ทันสมัยง่ายมากและใช้วิธีการที่มีประสิทธิภาพของการรักร่วมเพศวงกลมคิดค้นในปี 1820 โดยจาค็อบสทิ พยายามจัดการกับรูปโดยการคลิกและลากหนึ่งในจุดสีส้ม, หรือบีทราบว่าในขณะที่คุณทำเช่นนี้ไม่เพียง แต่คุณใหม่ขนาด arbelos และห่วงโซ่ของวงการจารึกคุณยังทำให้เกิดจุดสีดำที่เกี่ยวข้อง 'หรือ B', ที่จะย้ายเช่นกัน จุดคือที่ตรงกันข้ามกับจุดและจุด B 'เป็นผกผันของจุด B จุดทั้งสองที่ได้รับกลับผ่านวงกลมที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุด C. เป้าหมายของคุณคือการได้รับความเข้าใจที่เพียงพอของหลักการของการผกผันวงกลม และการประยุกต์ใช้ของพวกเขาที่จะ arbelos เพื่อให้คุณสามารถแสดงให้เห็นถึงตัวเองและคนอื่น ๆ ที่งบในสองย่อหน้าก่อนหน้านี้เป็นจริงที่แท้จริง จากนั้นใช้ข้อเท็จจริงเหล่านี้และข้อมูลเชิงลึกเพิ่มเติมหรือสองพิสูจน์ทฤษฎีบท Pappus ': HN n = ×เส้นผ่าศูนย์กลาง (ICN)

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

นี่เป็นปัญหาที่ท้าทายสำหรับทุกคนที่มีความสนใจในเรขาคณิต โครงการนี้ต้องวิจัยพื้นหลังเพื่อแก้ไขมัน แต่มันเป็นที่ยอดเยี่ยมภาพประกอบคิดภาพคณิตศาสตร์

โซ่จารึกวงกลมบางครั้งเรียกว่าห่วงโซ่แพปพัส สำหรับแพพพัสอเล็กซานเดรีย ที่ศึกษาและเขียนเกี่ยวกับมันในศตวรรษที่คริสตศักราชที่จารึกวงกลมสัมผัสกันและกันและขอบเขตของ arbelos . นั่นคือ IC1 จะสัมผัสกับแต่ละสาม semicircles รูปแบบขอบเขตของ arbelos ในขณะที่แต่ละวงกลมต่อเนื่องจะสัมผัสก่อนหน้านี้หนึ่งและสองของ semicircles ที่เชื่อม arbelos ( หมายเหตุ ในรูปแสดงตำแหน่งเริ่มต้นเพียงหนึ่งในสามของค่าที่เป็นไปได้ของโซ่ )พิสูจน์ทฤษฎีบทแพปพัส ( ซึ่งเค้าเรียกว่า " โบราณ " ) ซึ่งระบุว่า ความสูง , HN , ศูนย์กลางของแลก ( วงกลม , ICN , ดังกล่าวข้างต้นส่วนของเส้นตรง AC เท่ากับ N เท่าเส้นผ่าศูนย์กลางของแคลิฟอร์เนีย .



แพปพัส ' หลักฐาน อาศัย แต่เพียงผู้เดียวในการใช้เรขาคณิต วิ่งมาหลายหน้า หลักฐานที่ทันสมัยง่ายมากและใช้วิธีการที่มีประสิทธิภาพของการผกผันวงกลมคิดค้นใน 1820 โดย Jacob สไตเนอร์ ลองใช้รูปโดยการคลิกและลากหนึ่งของส้มจุด A หรือ B . โปรดทราบว่าเมื่อคุณทำเช่นนี้ คุณไม่เพียง แต่ขนาด arbelos และห่วงโซ่ของจารึกวงกลมอีกครั้งคุณยังเกิดจุดสีดำที่สอดคล้องกัน ' หรือ B ' , ที่จะย้ายเช่นกัน ชี้ ' เป็นตรงกันข้ามของจุด A และจุด B ' เป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามของจุด Bทั้งสองจุดมีการคว่ำผ่านวงกลมที่มีศูนย์ที่จุด C .

เป้าหมายของคุณคือการได้รับความเข้าใจที่เพียงพอของหลักการของการผกผันวงกลมและการประยุกต์กับ arbelos เพื่อให้คุณสามารถให้ตัวเองและคนอื่น ๆที่รายงานในก่อนหน้านี้สองวรรคเป็นแท้แน่นอน จากนั้นใช้ข้อเท็จจริงเหล่านี้และข้อมูลเชิงลึกเพิ่มเติมหรือสองพิสูจน์ทฤษฎีบทแพปพัส ' :

HN = n เส้นผ่าศูนย์กลาง×
( ICN )