Trigonometry (from Greek trigōnon,

Trigonometry (from Greek trigōnon, "triangle" and metron, "measure"[1]) is a branch of mathematics that studies relationships involving lengths and angles of triangles. The field emerged in the Hellenistic world during the 3rd century BC from applications of geometry to astronomical studies.[2]

The 3rd-century astronomers first noted that the lengths of the sides of a right-angle triangle and the angles between those sides have fixed relationships: that is, if at least the length of one side and the value of one angle is known, then all other angles and lengths can be determined algorithmically. These calculations soon came to be defined as the trigonometric functions and today are pervasive in both pure and applied mathematics: fundamental methods of analysis such as the Fourier transform, for example, or the wave equation, use trigonometric functions to understand cyclical phenomena across many applications in fields as diverse as physics, mechanical and electrical engineering, music and acoustics, astronomy, ecology, and biology. Trigonometry is also the foundation of surveying.

Trigonometry is most simply associated with planar right-angle triangles (each of which is a two-dimensional triangle with one angle equal to 90 degrees). The applicability to non-right-angle triangles exists, but, since any non-right-angle triangle (on a flat plane) can be bisected to create two right-angle triangles, most problems can be reduced to calculations on right-angle triangles. Thus the majority of applications relate to right-angle triangles. One exception to this is spherical trigonometry, the study of triangles on spheres, surfaces of constant positive curvature, in elliptic geometry (a fundamental part of astronomy and navigation). Trigonometry on surfaces of negative curvature is part of hyperbolic geometry.

Trigonometry basics are often taught in schools, either as a separate course or as a part of a precalculus course.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ตรีโกณมิติ (จากภาษากรีก trigōnon "สามเหลี่ยม" metron, "measure"[1]) เป็นสาขาของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาความสัมพันธ์เกี่ยวข้องกับความยาวและมุมของรูปสามเหลี่ยม ฟิลด์เกิดในโลกเฮเลนระหว่างคริจากโปรแกรมประยุกต์ของเรขาคณิตในการศึกษาดาราศาสตร์ [2]นักดาราศาสตร์สมัยศตวรรษที่ 3 ก่อนตั้งข้อสังเกตว่า ความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากและมุมระหว่างด้านที่มีแก้ไขความสัมพันธ์: นั่นคือ ถ้าอย่างน้อยความยาวของด้านหนึ่งและค่าของมุมหนึ่งเป็นที่รู้จักกัน แล้วทุกมุมและความยาวอื่น ๆ สามารถกำหนด algorithmically การคำนวณเหล่านี้เร็ว ๆ นี้มากำหนดเป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติและวันนี้จะแพร่หลายในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ และนำไปใช้: ใช้วิธีพื้นฐานของการวิเคราะห์เช่นการแปลงฟูริเยร์ เช่น หรือสมการคลื่น ฟังก์ชันตรีโกณมิติเพื่อทำความเข้าใจปรากฏการณ์วงจรระหว่างโปรแกรมประยุกต์จำนวนมากในเขตข้อมูลความหลากหลายเป็นเครื่องจักรกล ฟิสิกส์ และวิศวกรรมไฟฟ้า เพลงและเสียง ดาราศาสตร์ ระบบนิเวศ และชีววิทยา ตรีโกณมิติยังเป็นพื้นฐานของการสำรวจตรีโกณมิติเป็นส่วนใหญ่ก็เกี่ยวข้องกับรูปสามเหลี่ยมระนาบมุมฉาก (ซึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมสองมิติหนึ่งมุมเท่ากับ 90 องศา) ความเกี่ยวข้องกับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากไม่มีอยู่ แต่ เนื่องจากรูปสามเหลี่ยมใด ๆ มุมขวาปลอด (บนระนาบแบน) สามารถ bisected ได้เพื่อสร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสอง ปัญหาส่วนใหญ่จะลดลงการคำนวณในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังนั้น ส่วนใหญ่ของโปรแกรมประยุกต์ที่เกี่ยวข้องกับรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ข้อยกเว้นหนึ่งนี้คือ ตรีโกณมิติทรงกลม สามเหลี่ยมบนทรงกลม การศึกษาพื้นผิวของความโค้งเป็นบวกที่คง ในทางเรขาคณิตรูปไข่ (ส่วนพื้นฐานของดาราศาสตร์และการนำทาง) ตรีโกณมิติบนพื้นผิวของความโค้งเป็นลบเป็นส่วนหนึ่งของเรขาคณิตไฮเพอร์โบลิตรีโกณมิติพื้นฐานมักจะสอนในโรงเรียน หลักสูตรแยกต่างหาก หรือ เป็นส่วนหนึ่งของหลักสูตร precalculus

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ตรีโกณมิติ (จากtrigōnonกรีก "สามเหลี่ยม" และ Metron "วัด" [1]) เป็นสาขาของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาความสัมพันธ์ที่เกี่ยวข้องกับความยาวและมุมของรูปสามเหลี่ยม สนามโผล่ออกมาในโลกขนมผสมน้ำยาในช่วงศตวรรษที่ 3 จากการใช้งานของเรขาคณิตการศึกษาดาราศาสตร์. [2] นักดาราศาสตร์ในศตวรรษที่ 3 ครั้งแรกที่ตั้งข้อสังเกตว่าความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมขวาและมุมระหว่างสองฝ่ายเหล่านั้นมีการแก้ไข ความสัมพันธ์: นั่นคือถ้าอย่างน้อยความยาวของด้านใดด้านหนึ่งและความคุ้มค่าของมุมหนึ่งที่เป็นที่รู้จักกันแล้วมุมอื่น ๆ ทั้งหมดและความยาวสามารถกำหนดอัลกอริทึม การคำนวณเหล่านี้ไม่ช้าก็จะถูกกำหนดเป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติและในวันนี้เป็นที่แพร่หลายทั้งในที่บริสุทธิ์และคณิตศาสตร์ประยุกต์: วิธีการขั้นพื้นฐานของการวิเคราะห์เช่นฟูเรียร์, เช่นหรือสมการคลื่นใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติที่จะเข้าใจปรากฏการณ์ของวัฏจักรในการใช้งานจำนวนมาก ในสาขาที่หลากหลายเช่นฟิสิกส์วิศวกรรมเครื่องกลและไฟฟ้าเพลงอะคูสติกและดาราศาสตร์นิเวศวิทยาและชีววิทยา ตรีโกณมิติยังเป็นรากฐานของการสำรวจ. ตรีโกณมิติมีความเกี่ยวข้องมากที่สุดเพียงกับระนาบสามเหลี่ยมมุมขวา (แต่ละแห่งซึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมสองมิติด้วยมุมหนึ่งเท่ากับ 90 องศา) การบังคับเพื่อสามเหลี่ยมมุมที่ไม่ใช่ขวาอยู่แล้ว แต่เนื่องจากใด ๆ สามเหลี่ยมไม่ใช่มุมขวา (บนเครื่องบินแบน) สามารถแบ่งการสร้างรูปสามเหลี่ยมสองรูปมุมขวาปัญหาส่วนใหญ่สามารถลดการคำนวณในรูปสามเหลี่ยมมุมขวา . ดังนั้นส่วนใหญ่ของการใช้งานที่เกี่ยวข้องกับรูปสามเหลี่ยมมุมขวา หนึ่งข้อยกเว้นนี้เป็นตรีโกณมิติทรงกลมการศึกษารูปสามเหลี่ยมบนทรงกลมพื้นผิวของเส้นโค้งเชิงบวกอย่างต่อเนื่องในเรขาคณิตรูปไข่ (เป็นส่วนพื้นฐานของดาราศาสตร์และระบบนำทาง) ตรีโกณมิติบนพื้นผิวของเส้นโค้งเชิงลบเป็นส่วนหนึ่งของรูปทรงเรขาคณิตที่เกินความจริง. พื้นฐานตรีโกณมิติมักจะสอนในโรงเรียนไม่ว่าจะเป็นหลักสูตรที่แยกต่างหากหรือเป็นส่วนหนึ่งของหลักสูตร Precalculus