The variance and standard deviation

The variance and standard deviation play a central role in probability and statistics.One reason for this might be that the variance of the sum of independent (and even of uncorrelated) square integrable random variables is the sum of their variances. A generalization of this is the additivity of the covariance matrix for independent random vectors. We show that some kind of converse is also true: if for a ‘‘dispersion measure’’ V of the form V(X) = E(f (X − EX)), where f : Rn → R is even, i.e., f (−x) = f (x) ∀x ∈ Rn, additivity V(X + Y) = V(X) + V(Y) holds for every two independent Rn-valued random
variables X and Y (such that all integrals involved exist), then necessarily f (x) = x′Ax for some symmetric n×n-matrix A, and so V is a linear combination of the covariances between any two components of X. For n = 1 it follows that V is a multiple of the variance and thus the ‘‘variance’’ not only is a popular example of a dispersion measure with additivity for
independent random variables, but also can even be characterized by this property.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานมีบทบาทศูนย์กลางน่าเป็นและสถิติ หนึ่งเหตุผลอาจจะว่า ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มมือกลเหลี่ยมของผลรวม ของอิสระ (และแม้กระทั่ง uncorrelated) เป็นผลรวมของผลต่างของพวกเขา ลักษณะทั่วไปตัวนี้เป็น additivity ของเมทริกซ์ความแปรปรวนสำหรับเวกเตอร์สุ่มที่เป็นอิสระ เราแสดงชนิดของการสนทนาบางอย่างก็เป็นจริง: สำหรับ ''วัดกระจายตัว '' V ของฟอร์ม V(X) = E (f (X − EX)), ที่ f: Rn → R เป็นแม้ เช่น f (−x) = f (x) ∈ ∀x Rn, additivity V (X + Y) = V(X) + V(Y) ถือสำหรับอิสระทุกสองมูลค่า Rn สุ่มตัวแปร X และ Y (เช่นที่เกี่ยวข้องทั้งหมด integrals มีอยู่), แล้วจำเป็นต้องเป็น f (x) = x′Ax n บางสมมาตร× n เมทริกซ์ A และ V ดังนั้นเป็น การรวมกันเชิงเส้นของ covariances ระหว่างสององค์ประกอบใด ๆ ของ X สำหรับ n = 1 มันตามว่า V เป็นตัวคูณของค่าความแปรปรวน และดังนั้น ''ต่าง '' ไม่เพียงเป็นตัวอย่างที่เป็นที่นิยมของการวัดการกระจายด้วย additivity สำหรับตัวแปรสุ่มที่เป็นอิสระ แต่ยังสามารถที่จะเป็นลักษณะนี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ความแปรปรวนและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานมีบทบาทสำคัญในความน่าจะเป็นและเหตุผล statistics.One สำหรับเรื่องนี้อาจจะมีความแปรปรวนของผลรวมของอิสระ (และแม้กระทั่ง uncorrelated) ตารางตัวแปรสุ่ม integrable เป็นผลรวมของความแปรปรวนของพวกเขา ลักษณะทั่วไปของที่นี่คือ additivity ของเมทริกซ์ความแปรปรวนสำหรับเวกเตอร์สุ่มอิสระ เราแสดงให้เห็นว่าชนิดของการสนทนาบางส่วนยังเป็นจริง: ถ้าเป็น '' กระจายวัด '' V ของรูปแบบ V (X) = E (f (x - EX)) โดยที่ f: Rn → R คือแม้คือ f (-x) = f (x) ∀x∈ Rn, additivity V (x + Y) = V (x) + V (Y) ถือสำหรับทุกสองอิสระ RN-มูลค่าสุ่ม
ตัวแปร x และ Y (เช่นที่ปริพันธ์ทั้งหมด ที่เกี่ยวข้องกับการมีชีวิตอยู่) แล้วจำเป็นต้อง f (x) = x'Ax สำหรับสมมาตรบาง n × n เมทริกซ์และอื่น ๆ V คือการรวมกันเชิงเส้นของ covariances ใด ๆ ระหว่างสององค์ประกอบของ X. สำหรับที่ n = 1 มันตามที่ V คือ มีหลายความแปรปรวนและทำให้ '' แปรปรวน '' ไม่เพียง แต่เป็นตัวอย่างที่เป็นที่นิยมของมาตรการกระจายกับ additivity สำหรับ
ตัวแปรสุ่มอิสระ แต่ยังสามารถแม้จะโดดเด่นด้วยคุณสมบัตินี้