Sequences and Series (page 1 of 5)S

Sequences and Series (page 1 of 5)

Sections: Terminology and notation, Basic examples, Arithmetic and geometric sequences, Arithmetic series, Finite and infinite geometric series




A "sequence" (or "progression", in British English) is an ordered list of numbers; the numbers in this ordered list are called "elements" or "terms". A "series" is the value you get when you add up all the terms of a sequence; this value is called the "sum". For instance, "1, 2, 3, 4" is a sequence, with terms "1", "2", "3", and "4"; the corresponding series is the sum "1 + 2 + 3 + 4", and the value of the series is 10.

A sequence may be named or referred to as "A" or "An". The terms of a sequence are usually named something like "ai" or "an", with the subscripted letter "i" or "n" being the "index" or counter. So the second term of a sequnce might be named "a2" (pronounced "ay-sub-two"), and "a12" would designate the twelfth term.

Note: Sometimes sequences start with an index of n = 0, so the first term is actually a0. Then the second term would be a1. The first listed term in such a case would be called the "zero-eth" term. This method of numbering the terms is used, for example, in Javascript arrays. Don't assume that every sequence and series will start with an index of n = 1.

A sequence A with terms an may also be referred to as "{an}", but contrary to what you may have learned in other contexts, this "set" is actually an ordered list, not an unordered collection of elements. (Your book may use some notation other than what I'm showing here. Unfortunately, notation doesn't yet seem to have been entirely standardized for this topic. Just try always to make sure, whatever resource you're using, that you are clear on the definitions of that resource's terms and symbols.)



ADVERTISEMENT






To indicate a series, we use either the Latin capital letter "S" or else the Greek letter corresponding to the capital "S", which is called "sigma" (SIGG-muh):
sigma

To show the summation of, say, the first through tenth terms of a sequence {an}, we would write the following:

sigma; "n = 1" below, "10" above, and "a-sub-n" to the right

The "n = 1" is the "lower index", telling us that "n" is the counter and that the counter starts at "1"; the "10" is the "upper index", telling us that a10 will be the last term added in this series; "an" stands for the terms that we'll be adding. The whole thing is pronounced as "the sum, from n equals one to ten, of a-sub-n". The summation symbol above means the following:

a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9 + a10

The written-out form above is called the "expanded" form of the series, in contrast with the more compact "sigma" notation. Copyright © Elizabeth Stapel 2006-2011 All Rights Reserved
Any letter can be used for the index, but i, j, k, and n are probably used more than any other letters.

Sequences and series are most useful when there is a formula for their terms. For instance, if the formula for an is "2n + 3", then you can find the value of any term by plugging the value of n into the formula. For instance, a8 = 2(8) + 3 = 16 + 3 = 19. In words, "an = 2n + 3" can be read as "the n-th term is given by two-enn plus three". The word "n-th" is pronounced "ENN-eth", and just means "the generic term an, where I haven't yet specified the value of n."

Of course, there doesn't have to be a formula for the n-th term of a sequence. The values of the terms can be utterly random, having no relationship between n and the value of an. But sequences with random terms are hard to work with and are less useful in general, so you're not likely to see many of them in your classes.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ลำดับและชุด (หน้า 1 จาก 5)ส่วน: คำศัพท์และสัญลักษณ์ ตัวอย่างพื้นฐาน เลขคณิต และลำดับเรขาคณิต ลำดับเลขคณิต จำกัด และอนันต์อนุกรมเรขาคณิต"ลำดับ" (หรือ "ก้าวหน้า" ในภาษาอังกฤษแบบอังกฤษ) จะเป็นรายการลำดับเลข หมายเลขในรายการนี้สั่งเรียกว่า "องค์ประกอบ" หรือ "เงื่อนไข" "ชุด" เป็นค่าคุณได้รับเมื่อคุณเพิ่มเงื่อนไขทั้งหมดของลำดับ ค่านี้เรียกว่า "ผลรวม" เช่น "1, 2, 3, 4" เป็นลำดับ เงื่อนไข "1", "2", "3" และ "4" ชุดที่เกี่ยวข้องเป็นผล "1 + 2 + 3 + 4" และค่าของชุด 10ลำดับอาจตั้งชื่อ หรือเรียกว่า "การ" หรือ "ผิด" เงื่อนไขของลำดับมักจะตั้งชื่อเหมือนกับ "อ้าย" หรือตัวอักษร "อัน" กับการมี "ฉัน" หรือ "n" "ดัชนี" หรือเคาน์เตอร์ ดังนั้น ระยะที่สองของ sequnce อาจจะชื่อ "a2" (ออกเสียง "ay ย่อยสอง"), และ "a12" จะกำหนดระยะเวลาสิบสองหมายเหตุ: บางครั้งลำดับเริ่มต้น ด้วยดัชนีของ n = 0 ดังนั้นในระยะแรกเป็น a0 จริง ระยะที่สองจะเป็น a1 คำจดทะเบียนในกรณีเช่นนี้จะเรียกคำว่า "ศูนย์-eth" วิธีการเงื่อนไขในการกำหนดหมายเลขนี้ไว้ เช่น ในอาร์เรย์ Javascript ไม่คิดว่า จะเริ่มต้นทุกลำดับและชุดกับดัชนีของ n = 1ลำดับ A กับเงื่อนไขการพฤษภาคมยังถูกเรียกว่า "{ตัว}" แต่ขัดกับสิ่งที่คุณอาจได้เรียนรู้ในอีก บริบทนี้ "" เป็นจริงเป็นรายการลำดับ ไม่เป็นนำคอลเลกชันขององค์ประกอบ (หนังสือของคุณอาจใช้สัญลักษณ์บางอย่างนอกเหนือจากสิ่งที่ฉันกำลังแสดงที่นี่ อับ บันทึกไม่ได้ดูเหมือนจะได้รับการมาตรฐานทั้งหมดสำหรับหัวข้อนี้ ลองเพียงเสมอเพื่อให้แน่ใจ สิ่งทรัพยากรที่คุณใช้ ว่า จะชัดเจนในข้อกำหนดของทรัพยากรและสัญลักษณ์) โฆษณา เพื่อระบุชุด เราสามารถใช้ทั้งแบบละตินพิมพ์ใหญ่ตัวอักษร "S" หรืออื่น ๆ ตัวอักษรกรีกที่สอดคล้องกับทุน "S" ซึ่งเรียกว่า "ซิก" (SIGG-muh):ซิกมาในการแสดงรวมของ กล่าวว่า ครั้งแรกผ่านเงื่อนไขลำดับ {ตัว}, สิบเราจะเขียนต่อไปนี้:ซิกมา " n = 1" ด้านล่าง "10" ด้านบน และ "a-ย่อย-n" ทางด้านขวาการ " n = 1" เป็น "ต่ำกว่าดัชนี" บอกเราว่า "n" ตัวนับ และตัวนับเริ่มต้นที่ "1" "10" เป็น "บนดัชนี" บอกเราว่า a10 จะในระยะสุดท้ายในชุดนี้ ถึง "เป็น" เงื่อนไขที่เราจะเพิ่ม สิ่งทั้งหมดเป็นการออกเสียงเป็น "ผลรวม จาก n เท่ากับหนึ่งกับ 10, a-ย่อย-เอ็น" รวมสัญลักษณ์ข้างต้นหมายความว่า ต่อไปนี้:a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9 และ a10แบบออกเขียนข้างต้นคือรูปแบบของชุด in contrast with สัญลักษณ์ "ซิกมา" กระชับ "ขยาย" สงวนลิขสิทธิ์ © เอลิซาเบธ Stapel 2006-2011 สงวนลิขสิทธิ์ตัวอักษรใด ๆ ที่สามารถใช้ดัชนี แต่ i, j, k และ n อาจใช้มากกว่าตัวอักษรลำดับและชุดที่มีประโยชน์มากที่สุดเมื่อมีสูตรสำหรับคน ตัวอย่าง ถ้าสูตรสำหรับการเป็น "2n + 3" แล้วคุณสามารถค้นหาค่าของเงื่อนไขใด ๆ โดยต่อค่าของ n ในสูตร ตัวอย่าง a8 = 2(8) + 3 = 16 + 3 = 19 คำ, "ตัว = 2n + 3" สามารถอ่านได้เป็น "คำว่า n th ถูกกำหนด โดยสอง enn บวกสาม" ได้ คำว่า "n-th" จะออกเสียง "ENN-eth" และข้อความ "คำทั่วไปที่ ผมไม่ได้ระบุค่าของ n"แน่นอน มีไม่ได้เป็นสูตรสำหรับคำว่า n th ของลำดับ ค่าของเงื่อนไขสามารถสุ่มโคตร มีไม่มีความสัมพันธ์ระหว่าง n และมูลค่าของการได้ แต่ลำดับสุ่มเงื่อนไขยากต่อการทำงานด้วย และมีประโยชน์น้อยโดยทั่วไป ดังนั้นคุณไม่มีโอกาสเห็นมากของพวกเขาในห้องเรียน

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ลำดับและซีรีส์ (หน้า 1 ของ 5) หมวด: คำศัพท์และสัญกรณ์ตัวอย่างพื้นฐานคณิตศาสตร์และลำดับเรขาคณิตชุดเลขคณิตชุดเรขาคณิต จำกัด และไม่มีที่สิ้นสุดเป็น"ลำดับ" (หรือ "ความก้าวหน้า" ในอังกฤษ) เป็นรายการสั่งซื้อของ ตัวเลข; ตัวเลขในรายการสั่งซื้อนี้จะเรียกว่า "องค์ประกอบ" หรือ "ข้อตกลง" A "ซีรีส์" เป็นค่าที่คุณได้รับเมื่อคุณเพิ่มเงื่อนไขทั้งหมดของลำดับ; ค่านี้จะเรียกว่า "ผลรวม" ยกตัวอย่างเช่น "1, 2, 3, 4" เป็นลำดับที่มีคำว่า "1", "2", "3" และ "4"; ชุดที่สอดคล้องกันคือผลรวม "1 + 2 + 3 + 4" และมูลค่าของชุดคือ 10 ลำดับอาจจะมีชื่อหรือเรียกว่า "A" หรือ "เป็น" เงื่อนไขของลำดับมักจะตั้งชื่อบางอย่างเช่น "ไอ" หรือ "เป็น" ด้วยตัวอักษร subscripted "ฉัน" หรือ "n" เป็น "ดัชนี" หรือเคาน์เตอร์ ดังนั้นในระยะที่สองของ sequnce อาจจะมีชื่อ "a2" (ออกเสียงว่า "เฮลโลย่อยสอง") และ "a12" จะกำหนดระยะสิบสอง. หมายเหตุ: บางครั้งลำดับเริ่มต้นด้วยดัชนีของ n = 0 ดังนั้นแรก ระยะ a0 จริง จากนั้นในระยะที่สองจะเป็น a1 คำแรกที่จดทะเบียนในกรณีเช่นนี้จะเรียกว่า "ศูนย์ผลประโยชน์ทับซ้อน" ระยะ วิธีการนับข้อตกลงนี้จะถูกใช้สำหรับตัวอย่างเช่นในอาร์เรย์จาวาสคริ ไม่คิดว่าทุกลำดับและชุดจะเริ่มต้นด้วยดัชนีของ n = 1 ลำดับที่มีเงื่อนไขยังอาจจะเรียกว่า "{}" แต่ตรงกันข้ามกับสิ่งที่คุณอาจได้เรียนรู้ในบริบทอื่น ๆ นี้ "ตั้ง" เป็นจริงรายการสั่งซื้อที่ไม่ได้เรียงลำดับคอลเลกชันขององค์ประกอบ (หนังสือของคุณอาจใช้เครื่องหมายอื่น ๆ บางกว่าสิ่งที่ฉันแสดงที่นี่. แต่น่าเสียดายที่สัญกรณ์ยังไม่ได้ดูเหมือนจะได้รับมาตรฐานทั้งหมดสำหรับหัวข้อนี้. เพียงแค่พยายามเสมอที่จะให้แน่ใจว่าทรัพยากรสิ่งที่คุณกำลังใช้ที่คุณมี ที่ชัดเจนเกี่ยวกับคำจำกัดความของคำทรัพยากรและสัญลักษณ์.) โฆษณาเพื่อแสดงให้เห็นว่าชุดที่เราใช้ทั้งตัวอักษรละติน "S" หรืออื่น ๆ ที่ตัวอักษรกรีกที่สอดคล้องกับทุน "S" ซึ่งเรียกว่า "ซิก" (SIGG- muh): ซิกในการแสดงผลรวมของการพูดเป็นครั้งแรกผ่านแง่หนึ่งในสิบของลำดับ {} เราจะเขียนต่อไปนี้: ซิก; "n = 1" ด้านล่าง "10" ข้างต้นและที่ "ย่อย-n" ไปทางขวาว่า"n = 1" คือ "ดัชนีที่ต่ำกว่า" บอกเราว่า "n" เป็นเคาน์เตอร์และที่เริ่มนับ ที่ "1"; ว่า "10" คือ "ดัชนีบน" บอกเราว่า a10 จะเป็นระยะสุดท้ายที่เพิ่มเข้ามาในซีรีส์นี้ "เป็น" ย่อมาจากคำที่เราจะเพิ่ม สิ่งที่ทั้งจะออกเสียงเป็น "ผลรวมจาก n เท่ากับ 1-10, ของย่อย-n" สัญลักษณ์บวกดังกล่าวข้างต้นหมายความว่าต่อไปนี้: a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9 + a10 รูปแบบที่เขียนไว้ข้างต้นเรียกว่า "ขยาย" รูปแบบของซีรีส์ในทางตรงกันข้ามกับขนาดกะทัดรัดมากขึ้น "ซิก" สัญกรณ์ ลิขสิทธิ์©ลิซาเบ ธ Stapel 2006-2011 สงวนลิขสิทธิ์จดหมายใดๆ ที่สามารถนำมาใช้สำหรับดัชนี แต่ฉัน j, k และ n อาจจะถูกนำมาใช้มากกว่าตัวอักษรอื่น ๆ . ลำดับและชุดมีประโยชน์มากที่สุดเมื่อมีสูตรของพวกเขา เงื่อนไข ตัวอย่างเช่นถ้าสูตรสำหรับเป็น "2n + 3" จากนั้นคุณสามารถหาค่าของระยะใด ๆ โดยเสียบค่า n ลงในสูตรที่ ยกตัวอย่างเช่น a8 = 2 (8) + 3 = 16 + 3 = 19 ในคำ "ซึ่งเป็น 2n = + 3" สามารถอ่านได้ว่า "ระยะ n-TH จะได้รับโดยสองในสาม enn บวก" คำว่า "n-มะ" เด่นชัด "ENN ลำดับ" และเพียงแค่หมายความว่า "เป็นคำทั่วไปที่ฉันไม่ได้ระบุ แต่ค่าของ n." แน่นอนว่ายังไม่จำเป็นต้องเป็นสูตรสำหรับ ระยะ n-TH ลำดับ ค่าของข้อตกลงที่สามารถจะสุ่มอย่างเต็มที่มีความสัมพันธ์ระหว่าง n และความคุ้มค่าของไม่มี แต่ลำดับที่มีเงื่อนไขการสุ่มยากที่จะทำงานด้วยและมีประโยชน์น้อยโดยทั่วไปเพื่อให้คุณไม่น่าจะเห็นมากของพวกเขาในชั้นเรียนของคุณ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เหมืองเหมืองเหมืองเหมืองเหมืองเหมืองเหมืองเหมืองเหมืองเหมือง