andC(t) is design-based estimator

and
C(t) is design-based estimator for C(t) = A(t)/B(t), where A(t) =i∈Uai(t) and B(t) =i∈Ubi(t). C(t) is a realvaluated function of A(t) and B(t) defined on two-dimensional Euclidean space with continuous partial derivatives onorder 2 respect to variables A(t) and B(t). Thus F∗rw(t) is a ratio estimator and their properties can be obtained fromstandard results for means, treating ai(t) and bi(t) as y- and x-variables.The literature on sample surveys is abundant with illustrations in which the ratio procedure has been used to estimatenon-linear parameters (see, for example, [7,10,15,8]).From standard results of the ratio estimation (see [17, p. 176]), it can be easily seen that F∗rw(t) is an asymptoticallybiased class of estimators and the bias ratio satisfies (see [17, p. 177])
BR[F
∗
rw(t)]
≤
CV [B(t)], (6)
where CV [
B(t)] is the coefficient of variation of
B(t), and
B(t) =i∈sπ−1ibi(t) is the Horvitz–Thompson estimatorfor B(t). Expression (6) implies that if the coefficient of variation of
B(t) approaches zero with increasing sample size(as will normally be the case), the bias ratio of F∗rw(t) will also tend to zero.The mean square error of F∗rw(t) can be obtained by using the Taylor linearization technique ([19] or [17]). A firstorder approximation of the MSE[F∗rw(t)] is given by (see [17, p. 181])

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

และC(t) คือ การออกแบบประมาณการ C(t) = A(t)/B(t) ที่ A(t) = i∈Uai(t) และ B(t) = i∈Ubi(t) C(t) เป็นฟังก์ชัน realvaluated ของ A(t) และ B(t) กำหนดพื้นที่สองมิติแบบยุคลิดที่อนุพันธ์บางส่วนต่อเนื่องเกี่ยวกับทรานแซคชันสำเร็จ 2 การแปร A(t) และ B(t) ดังนั้น F∗rw(t) จะมีอัตราส่วนประมาณ และคุณสมบัติของพวกเขาสามารถได้รับผลลัพธ์ fromstandard สำหรับวิธีการ การรักษา ai(t) และ bi(t) เป็น y-x-ตัวแปรสภาพ และ ด้านการสำรวจตัวอย่างที่มีความอุดมภาพประกอบซึ่งอัตราส่วนกระบวนการมีการใช้พารามิเตอร์ estimatenon เชิงเส้น (ดู ตัวอย่าง, [7,10,15,8]) จากมาตรฐานผลการประเมินอัตราส่วน (ดู [17, p. 176]), จะสามารถเห็นได้ว่า F∗rw(t) เป็นคลาสที่มี asymptoticallybiased ของ estimators และ bias อัตราการตอบสนอง (ดู [17, p. 177])BR [F∗rw(t)]≤CV [B(t)], (6)ที่ CV [B(t)] คือ ค่าสัมประสิทธิ์ของการเปลี่ยนแปลงของB(t) และB(t) = i∈sπ−1ibi(t) เป็น estimatorfor Horvitz – ทอมป์สัน B(t) นิพจน์ (6) หมายความว่าถ้าค่าสัมประสิทธิ์ความผันแปรของB(t) ใกล้ศูนย์ ด้วยการเพิ่มขนาดตัวอย่าง (เป็นปกติจะเป็นกรณี) อัตราส่วน F∗rw(t) bias จะยังมีแนวโน้มเป็นศูนย์ หมายถึงตารางข้อผิดพลาดของ F∗rw(t) ได้ โดยใช้เทคนิค linearization เทย์เลอร์ ([19] หรือ [17]) ประมาณการ firstorder ของการ MSE[F∗rw(t)] ถูกกำหนด โดย (ดู [17, p. 181])

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

และ?
C (T) คือการออกแบบประมาณการตามสำหรับ C (t) = a (t) / B (T) โดยที่ A (t) =? i∈Uai (T) และ B (t) =? i∈Ubi (T) C (t) เป็นฟังก์ชั่นของ realvaluated (T) และ B (t) กำหนดไว้ในพื้นที่ Euclidean สองมิติที่มีอนุพันธ์บางส่วนอย่างต่อเนื่อง onorder 2 ส่วนที่เกี่ยวกับตัวแปร (T) และ B (T) ดังนั้น F * RW (t) เป็นประมาณการอัตราส่วนและคุณสมบัติของพวกเขาสามารถได้รับผล fromstandard สำหรับวิธีการรักษา AI (T) และสอง (t) เป็น y- และ X-variables.The หนังสือที่เกี่ยวกับการสำรวจกลุ่มตัวอย่างอยู่มากมายที่มีภาพประกอบใน ซึ่งขั้นตอนการอัตราการได้รับใช้ในการ estimatenon เชิงเส้นพารามิเตอร์ (ดูตัวอย่างเช่น [7,10,15,8]). จากผลการประมาณค่ามาตรฐานของอัตราส่วน (ดู [17 พี. 176]) ก็สามารถ มองเห็นได้ง่ายว่า F * RW (t) เป็นระดับ asymptoticallybiased ของประมาณค่าและตอบสนองอัตราส่วนอคติ (ดู [17 พี. 177])
BR [F
*
RW (T)]
≤
CV [? B (t)] ( 6)
ที่ CV [?
B (t)] คือค่าสัมประสิทธิ์ของการเปลี่ยนแปลงของ?
B (t) และ?
B (t) =? i∈sπ-1ibi (t) เป็น Horvitz ธ อมป์สัน estimatorfor B (T) การแสดงออก (6) หมายความว่าถ้าค่าสัมประสิทธิ์ของการเปลี่ยนแปลงหรือไม่
B (t) ใกล้ศูนย์กับขนาดของกลุ่มตัวอย่างที่เพิ่มขึ้น (ตามปกติจะเป็นกรณี) อัตราส่วนอคติของ F * RW (T) นอกจากนี้ยังจะมีแนวโน้มที่จะ zero.The หมายถึง ข้อผิดพลาดของตาราง F * RW (T) สามารถหาได้โดยใช้เทคนิคเชิงเส้นเทย์เลอร์ ([19] หรือ [17]) ประมาณ firstorder ของ MSE [F * RW (T)] จะได้รับจาก (ดู [17 พี. 181)]

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

และC ( t ) คือการออกแบบประเมินราคาตาม C ( t ) = a ( t ) B ( t ) ที่ ( t ) = ฉัน∈ไวย ( T ) และ B ( t ) = ฉัน∈ UBI ( T ) C ( t ) เป็นฟังก์ชัน realvaluated ของ ( T ) และ B ( t ) ที่ระบุไว้ในพื้นที่สองมิติที่มีคุณภาพอย่างต่อเนื่อง อนุพันธ์ย่อย onorder 2 เคารพตัวแปร ( T ) และ B ( T ) ดังนั้น F ∗ RW ( t ) คือ อัตราส่วนประมาณค่าและคุณสมบัติของพวกเขาสามารถได้รับผล fromstandard หมายถึง การรักษา ไอ ( T ) และบี ( t ) Y - x-variables.the วรรณกรรมในการสำรวจตัวอย่างมากมายพร้อมภาพประกอบซึ่งในขั้นตอนต่อได้ถูกใช้เพื่อ estimatenon พารามิเตอร์เชิงเส้น ( ดูเช่น 7,10,15,8 ] ) ผลที่ได้จากการประเมินมาตรฐานของอัตราส่วน ( ดู [ 17 , หน้า 176 ] ) , เห็นได้ว่า f ∗ RW ( t ) เป็นวิชา asymptoticallybiased ของตัวประมาณอัตราส่วนความลำเอียงและตรง ( ดู [ 17 , หน้า 177 )BR [ F∗RW ( T ) ]≤พันธุ์ [ B ( t ) ] ( 6 )พันธุ์ [ ที่B ( t ) คือ ค่าสัมประสิทธิ์ของความผันแปรของB ( T ) และB ( t ) = ฉัน∈ S π− 1ibi ( t ) คือ Horvitz –ทอมป์สัน estimatorfor B ( T ) การแสดงออกทางสีหน้า ( 6 ) หมายความว่า ถ้าสัมประสิทธิ์ของการแปรผันของB ( T ) เข้าใกล้ศูนย์เมื่อเพิ่มขนาดตัวอย่าง ( โดยปกติจะเป็นกรณี ) , ค่าอัตราส่วน F ∗ RW ( T ) จะยังมีแนวโน้มที่ศูนย์ ค่าเฉลี่ยความคลาดเคลื่อนกำลังสองของ f ( t ) ∗ RW สามารถหาได้โดยใช้เทคนิคเชิงเทย์เลอร์ ( [ 19 ] หรือ [ 17 ] ) . เป็น firstorder การประมาณค่า MSE [ F ∗ RW ( T ) ] ให้ ( ดู [ 17 , หน้า 181 )