Essentially, each journey of the ba

Essentially, each journey of the ball from floor to wall to floor, assumed to take place in the same vertical plane, comprises four events: (i) after launch from the floor the ball pursues a parabolic trajectory until it hits the wall, (ii) the rebound from the wall, (iii) the parabolic trajectory of the return journey to the floor and (iv) the impact with the floor which provides the launch data for the next excursion of the ball. The result of this analysis is the derivation of a non-linear mapping which relates the floor launch data (linear and angular velocity components of the ball and distance from the wall) to the same parameters after the next bounce on the floor.
In Section 3 some numerical trajectories of the non-linear mapping are computed and examples given of motions with various numbers of floor to wall bounces. Also illustrated are the parameter spaces of initial conditions required to produce various numbers of bounces off the wall. In Section 4 a scaling invariance is introduced which rewrites the non-linear map of Section 2 in terms of suitable canonical coordinates. This results in a three- dimensional non-linear map, a reduction in dimension by one from the original system.
Section 5 presents some numerical results for the regions of initial conditions which will result in a given number of bounces against the wall in the canonical variables, analogous to those of Section 3 for the original variables. The next two sections of the work analyse these numerical results in some detail, focussing on the behaviour of the mapping on two planes which comprise boundaries of the region of interest. The paper concludes by proposing a number of further questions related to the problem.
Before continuing to our analysis of the problem we have just described, we note that there are limitations to the model of the bounce of the superball that we use. It is recognised that the

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

หลัก การเดินทางของลูกบอลจากพื้นกับผนังพื้น ถือว่าทำได้ในแนวระนาบเดียวกัน แต่ละประกอบด้วยกิจกรรม 4: (i) หลังจากที่เปิดตัวจากชั้นลูก pursues วิถีจานจนฮิต (ii) การตอบสนองจากกำแพง ผนัง (iii) วิถีจานของเดินทางกลับไปชั้นและผลกระทบ (iv)กับชั้นที่มีข้อมูลเปิดในเที่ยวถัดไปของลูก ผลการวิเคราะห์นี้เป็นที่มาของการแมปที่ไม่ใช่เชิงเส้นที่เกี่ยวข้องชั้นเปิดข้อมูล (ความเร็วเชิงเส้น และแองกูลาร์ส่วนประกอบของลูกและระยะห่างจากกำแพง) กับพารามิเตอร์เดียวกันหลังจากตีกลับถัดไปบนพื้นใน 3 ส่วน trajectories บางตัวเลขของการแมปที่ไม่ใช่เชิงเส้นที่คำนวณและตัวอย่างที่กำหนดของการเคลื่อนไหวกับตัวเลขต่าง ๆ ของชั้นกับผนังโกรธแค้น นอกจากนี้ยัง มีภาพประกอบมีช่องพารามิเตอร์เงื่อนไขเริ่มต้นการสร้างจำนวนโกรธแค้นปิดผนังต่าง ๆ ใน 4 ส่วนนำ invariance มาตราส่วน ที่ต้องแก้ไข 2 ส่วนแผนที่ไม่เชิงเส้นในพิกัดเหมาะสมเป็นที่ยอมรับ ซึ่งผลใน 3 - มิติไม่ใช่เชิงเส้นแผนที่ ลดมิติหนึ่งจากระบบเดิม5 ส่วนแสดงผลบางตัวเลขสำหรับขอบเขตเงื่อนไขเริ่มต้นซึ่งจะส่งผลให้จำนวนโกรธแค้นกับผนังในแปรมาตรฐาน คู่ที่ 3 ส่วนสำหรับตัวแปรเดิม ในสองส่วนถัดไปของงานวิเคราะห์ผลลัพธ์ตัวเลขเหล่านี้ในรายละเอียดบางอย่าง focussing ในพฤติกรรมของการแม็ปบนเครื่องบินสองซึ่งประกอบด้วยขอบเขตของภูมิภาคที่น่าสนใจ กระดาษสรุป โดยเสนอจำนวนคำถามเพิ่มเติมที่เกี่ยวข้องกับปัญหาก่อนที่จะวิเคราะห์ปัญหาที่เราได้อธิบายของเรา เราสังเกตว่า มีข้อจำกัดรูปแบบของการตีกลับของ superball ที่เราใช้ มันเป็นยังที่

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

โดยพื้นฐานแล้วการเดินทางของแต่ละลูกจากพื้นกับผนังกับพื้นสันนิษฐานว่าจะใช้สถานที่ในระนาบแนวตั้งเดียวกันประกอบด้วยสี่เหตุการณ์: (i) หลังจากการเปิดตัวจากชั้นลูกแสวงหาวิถีโค้งจนฮิตผนัง (ii ) ดีดตัวขึ้นจากผนัง (iii) วิถีโค้งของการเดินทางกลับมากับพื้นและ (iv) ผลกระทบกับพื้นซึ่งมีข้อมูลการเปิดตัวสำหรับการเดินทางต่อไปของลูก ผลของการวิเคราะห์นี้เป็นที่มาของการทำแผนที่ที่ไม่ใช่เชิงเส้นที่เกี่ยวข้องข้อมูลการเปิดตัวพื้น (เชิงเส้นและส่วนประกอบความเร็วเชิงมุมของลูกและห่างจากผนัง) พารามิเตอร์เดียวกันหลังจากการตีกลับถัดไปบนพื้น.
ในส่วนที่ 3 บางไบตัวเลขของการทำแผนที่ที่ไม่ใช่เชิงเส้นที่มีการคำนวณและตัวอย่างที่กำหนดของการเคลื่อนไหวที่มีตัวเลขที่แตกต่างกันของพื้นกับผนังตีกลับ แสดงยังมีช่องว่างที่พารามิเตอร์ของเงื่อนไขเริ่มต้นจำเป็นในการผลิตตัวเลขต่างๆของการตีกลับออกมาจากผนัง ในส่วนที่ 4 การปรับแปรเปลี่ยนเป็นที่รู้จักซึ่งปรับเปลี่ยนแผนที่ที่ไม่ใช่เชิงเส้นของส่วนที่ 2 ในแง่ของการยอมรับพิกัดที่เหมาะสม นี้ส่งผลในสามมิติแผนที่ที่ไม่ใช่เชิงเส้นในการลดมิติโดยหนึ่งจากระบบเดิม.
มาตรา 5 ที่มีการจัดผลการค้นหาตัวเลขสำหรับภูมิภาคของเงื่อนไขเริ่มต้นซึ่งจะส่งผลในจำนวนที่กำหนดของการตีกลับกับผนังในที่ยอมรับ ตัวแปรที่คล้ายคลึงกับของส่วนที่ 3 สำหรับตัวแปรเดิม ต่อมาอีกสองส่วนของการทำงานผลการวิเคราะห์เชิงตัวเลขเหล่านี้ในรายละเอียดบางอย่างที่มุ่งเน้นการทำงานของการทำแผนที่บนเครื่องบินสองลำซึ่งประกอบด้วยขอบเขตของพื้นที่ที่สนใจ กระดาษสรุปโดยเสนอจำนวนของคำถามเพิ่มเติมที่เกี่ยวข้องกับปัญหาที่เกิดขึ้น.
ก่อนที่จะดำเนินการต่อไปการวิเคราะห์ของเราของปัญหาที่เราได้อธิบายเพียงแค่เราทราบว่ามีข้อ จำกัด ในการรูปแบบของการตีกลับของ Superball ที่เราใช้นั้น เป็นที่ยอมรับว่า

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เป็นหลัก แต่ละการเดินทางของลูกบอลจากพื้นถึงผนังกับพื้น สันนิษฐานว่าเกิดขึ้นในระนาบแนวตั้งเดียวกันประกอบด้วยสี่เหตุการณ์ : ( ผม ) หลังจากการเปิดตัวจากพื้นบอลไล่ตามวิถีโค้งจนฮิตติดผนัง ( 2 ) สะท้อนจากผนัง( 3 ) วิถีโค้งของการเดินทางกลับสู่พื้นและ ( iv ) กระแทกกับพื้นซึ่งมีข้อมูลการเปิดตัวสำหรับการเดินทางต่อไปของลูกผลของการวิเคราะห์นี้เป็นรากศัพท์ของเส้นแผนที่ซึ่งเกี่ยวข้องข้อมูลพื้นเปิด ( เชิงเส้นและเชิงมุมประกอบความเร็วของลูกบอล และระยะห่างจากผนัง ) พารามิเตอร์เดียวกันหลังจากเด้งต่อไปบนพื้น
มาตรา 3 บางวิถีเชิงตัวเลขของแผนที่เชิงเส้นจะคำนวณและตัวอย่างที่ให้ไว้ของภาพเคลื่อนไหวที่มีตัวเลขต่างๆของพื้นเด้งกำแพง ภาพประกอบยังเป็นพารามิเตอร์เป็นเงื่อนไขเบื้องต้นที่จำเป็นในการผลิตตัวเลขต่าง ๆ ของตีกลับปิดผนังในส่วนที่ 4 การปรับแปรเปลี่ยนเป็นแนะนำที่เขียนใหม่แผนที่เชิงเส้นของส่วนที่ 2 ในแง่ของพิกัดมาตรฐานที่เหมาะสม ผลนี้ใน 3 มิติ - ใช้แผนที่ในการลดมิติหนึ่งจากระบบเดิม