Let G = (V, E, F ) be a connected,

Let G = (V, E, F ) be a connected, loopless, and bridgeless plane graph, with vertex set V,
edge set E, and face set F . For X ∈ {V, E, F , V ∪E, V ∪F , E∪F , V ∪E∪F }, two elements x and
y of X are facially adjacent in G if they are incident, or they are adjacent vertices, or adjacent
faces, or facially adjacent edges (i.e. edges that are consecutive on the boundary walk of a
face of G). A k-colouring is facial with respect to X if there is a k-colouring of elements of X
such that facially adjacent elements of X receive different colours. We prove that: (i) Every
plane graph G = (V, E, F ) has a facial 8-colouring with respect to X = V ∪ E ∪ F (i.e. a
facial entire 8-colouring). Moreover, there is plane graph requiring at least 7 colours in any
such colouring. (ii) Every plane graph G = (V, E, F ) has a facial 6-colouring with respect
to X = E ∪ F , in other words, a facial edge–face 6-colouring.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ให้ G = (V, E, F) เป็นกราฟเชื่อมต่อ loopless และ bridgeless เครื่องบิน กับจุดยอด Vขอบชุด E และ F ตั้งหน้า สำหรับ X ∈ { V, E, F, V ∪E, V ∪F, E∪F, V ∪E∪F }, องค์ประกอบที่สอง x และy ของ X อยู่ติดกัน facially ใน G ถ้ามีปัญหา หรือมีข้าง ๆ หรือติดกันใบหน้า หรือ facially ติดขอบ (เช่นเดินขอบที่อยู่ติดกันบนขอบเขตของการหน้าของ G) K-สีคือหน้าเกี่ยวกับ X k-สีขององค์ประกอบของ Xที่อยู่ติดกัน facially องค์ประกอบของ X ได้รับสี เราพิสูจน์ที่: (i) ทุกระนาบกราฟ G = (V, E, F) มี 8 สีหน้าเกี่ยวกับ X =∪∪ E V F (เช่นการหน้าทั้งหมด 8-สี) นอกจากนี้ มีกราฟเครื่องบินต้องใช้เวลาอย่างน้อย 7 สีในสีดังกล่าว (ii) ทุกเครื่องบินกราฟ G = (V, E, F) มี 6 สีหน้า ด้วยความเคารพให้ X =∪ E F ในคำอื่น ๆ ที่ขอบใบหน้าหน้า 6-สี

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ให้ g = (V, E, F) เป็นที่เชื่อมต่อ loopless และกราฟ bridgeless เครื่องบินกับจุดสุดยอดชุด V,
ขอบชุด E และ F ตั้งหน้า สำหรับ∈ {X V, E, F, V ∪Eวี∪F, E∪Fวี∪E∪F} สององค์ประกอบ X และ
Y ของ X อยู่ติด facially ใน g หากพวกเขาเป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นหรือพวกเขาจะอยู่ติดกัน จุดที่อยู่ใกล้เคียงหรือ
ใบหน้าหรือ facially ขอบที่อยู่ติดกัน (เช่นขอบที่มีความต่อเนื่องในการเดินเขตแดนของ
ใบหน้าของ G) K-สีคือใบหน้าที่เกี่ยวกับ X ถ้ามี K-สีขององค์ประกอบของ X
ดังกล่าวว่าองค์ประกอบที่อยู่ติดกัน facially ของ X ได้รับสีที่แตกต่าง เราพิสูจน์ให้เห็นว่า: (i) ทุก
กราฟเครื่องบิน G = (V, E, F) มีใบหน้า 8 สีที่เกี่ยวกับ X = V ∪ E ∪ F (เช่น
ใบหน้าทั้งหมด 8 สี) นอกจากนี้ยังมีเครื่องบินกราฟที่กำหนดให้อย่างน้อย 7 สีใด
สีดังกล่าว (ii) ทุกเครื่องบินกราฟ G = (V, E, F) มีใบหน้า 6 สีด้วยความเคารพ
ไป X = E ∪ F ในคำอื่น ๆ ที่มีใบหน้าขอบใบหน้า 6 สี

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ให้ G = ( V , E , F ) สามารถเชื่อมต่อ loopless และ bridgeless เครื่องบินกราฟที่มีจุดยอดตั้ง วีขอบชุด E และหน้าการตั้งค่า F . สำหรับ x ∈ { V , E , F , V ∪ E , v ∪ F , E ∪ F , V ∪ E ∪ F } , สององค์ประกอบและy x เป็น facially ที่อยู่ติดกันในกรัม หากมีเหตุการณ์หรือมีจุดที่อยู่ติดกัน หรืออยู่ติดกันใบหน้า หรือ facially ติดกันขอบ ( เช่นขอบที่ติดต่อกันในขอบเขตการเดินของใบหน้าของ G ) เป็น k-colouring เป็นหน้าเกี่ยวกับ X หากมี k-colouring องค์ประกอบของเอ็กซ์เช่นที่ facially ติดกัน X ได้รับองค์ประกอบของสีที่แตกต่างกัน เราพิสูจน์ได้ว่า ( ผม ) ทุกเครื่องบินกราฟ G = ( V , E , F ) มี 8-colouring ใบหน้าด้วยความเคารพ x = v ∪ E ∪ F ( เช่นหน้าทั้งหมด 8-colouring ) นอกจากนี้ยังมีเครื่องบินกราฟที่ต้องการอย่างน้อย 7 สีใด ๆเช่นสี . ( 2 ) ทุกเครื่องกราฟ G = ( V , E , F ) มี 6-colouring ใบหน้าด้วยความเคารพให้ x = E ∪ F , ในคำอื่น ๆที่ใบหน้าและขอบหน้า 6-colouring .