Uniform continuity of real function

Uniform continuity of real functions is a usual topic in elementary courses on mathematical analysis, andit is also a challenging one both for students and for teachers. Students often find it difficult to decidewhether a continuous function on a certain domain is also uniformly continuous, and this is especially truewhen the domain is unbounded. The nice simple characterization of the uniform continuity on boundedintervals (namely, continuity in the interior and existence of the corresponding side limits at the extremepoints) does not have an analog for the case of unbounded intervals. In other words, we do not have atheorem that tells us which continuous functions on an unbounded interval are uniformly continuous andwhich ones are not. Therefore the study of uniform continuity on unbounded intervals is simply harder.On the other hand, most textbooks scarcely pay attention to uniform continuity on unbounded intervals.Surely the reason for this is that all technical necessities concerning uniform continuity in subsequentchapters only have to do with bounded intervals (e.g., the integrability of continuous functions). In anycase, it is indeed difficult to find in a textbook more than the following basic techniques: a continuousfunction on an unbounded interval is also uniformly continuous provided that either the limits at infinityexist or a Lipschitz condition is satisfied. Despite this two criteria cover lots of interesting cases, they arenot completely satisfactory for at least the following reasons: first, many elementary functions that areuniformly continuous on unbounded intervals do not have limits at infinity, and, second, uniform continuityis usually introduced before differential and integral calculus (this is the situation in my own teaching),and checking that a Lipschitz condition holds without using the mean value theorem is not an easy taskin general. For instance, we would not try to prove that

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ความต่อเนื่องสม่ำเสมอของฟังก์ชั่นที่แท้จริงเป็นเรื่องปกติในหลักสูตรประถมศึกษาในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และ
มันก็ยังเป็นหนึ่งในความท้าทายทั้งสำหรับนักเรียนและครู นักเรียนมักจะพบว่ามันยากที่จะตัดสินใจ
ว่าจะเป็นฟังก์ชั่นอย่างต่อเนื่องในโดเมนบางอย่างยังเป็นอย่างต่อเนื่องสม่ำเสมอและนี้เป็นจริงโดยเฉพาะอย่างยิ่ง
เมื่อโดเมนมากมาย ลักษณะที่เรียบง่ายที่ดีของความต่อเนื่องสม่ำเสมอในการ จำกัด
ช่วงเวลา (คือความต่อเนื่องในการตกแต่งภายในและการดำรงอยู่ของที่สอดคล้องกันข้อ จำกัด ด้านที่มาก
คะแนน) ไม่ได้มีอนาล็อกสำหรับกรณีของช่วงเวลามากมายที่ ในคำอื่น ๆ ที่เราไม่ได้มี
ทฤษฎีบทที่บอกเราที่ทำงานอย่างต่อเนื่องในช่วงเวลามากมายอย่างต่อเนื่องสม่ำเสมอและ
คนที่ไม่ได้ ดังนั้นการศึกษาต่อเนื่องสม่ำเสมอในช่วงเวลามากมายเป็นเพียงยาก
ในทางตรงกันข้ามตำราส่วนใหญ่แทบจะไม่ใส่ใจกับความต่อเนื่องสม่ำเสมอในช่วงเวลามากมาย
แน่นอนเหตุผลนี้นั่นคือทั้งหมดที่จำเป็นทางเทคนิคที่เกี่ยวข้องกับความต่อเนื่องในเครื่องแบบที่ตามมา
บทจะต้องทำอย่างไรกับช่วงเวลาที่ จำกัด (เช่น integrability ของฟังก์ชั่นอย่างต่อเนื่อง) ใน
กรณีที่มันเป็นเรื่องยากแน่นอนที่จะพบในตำราเรียนมากกว่าเทคนิคพื้นฐานดังต่อไปนี้อย่างต่อเนื่อง
ฟังก์ชั่นในช่วงเวลามากมายนอกจากนี้ยังมีอย่างต่อเนื่องสม่ำเสมอโดยมีเงื่อนไขว่าทั้งข้อ จำกัด ที่อินฟินิตี้
อยู่หรือสภาพ Lipschitz เป็นที่พอใจ อย่างไรก็ตามเรื่องนี้สองเกณฑ์ครอบคลุมจำนวนมากกรณีที่น่าสนใจก็มี
ไม่พอใจอย่างสมบูรณ์อย่างน้อยด้วยเหตุผลต่อไปนี้: ครั้งแรกที่ฟังก์ชั่นระดับประถมศึกษาจำนวนมากที่มี
อย่างต่อเนื่องสม่ำเสมอในช่วงเวลาที่ยิ่งใหญ่ไม่ได้มีข้อ จำกัด ที่อินฟินิตี้และที่สองต่อเนื่องสม่ำเสมอ
มักจะแนะนำก่อนที่จะแตกต่างและแคลคูลัส (นี่คือสถานการณ์ในของฉัน การเรียนการสอนของตัวเอง),
และการตรวจสอบว่าสภาพ Lipschitz ถือโดยไม่ต้องใช้ค่าเฉลี่ยทฤษฎีบทไม่ได้เป็นงานง่าย
โดยทั่วไป ตัวอย่างเช่นเราจะไม่พยายามที่จะพิสูจน์ให้เห็นว่า

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ความต่อเนื่องของฟังก์ชันจริงเป็นหัวข้อปกติในหลักสูตรประถมศึกษาเกี่ยวกับการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และ
นอกจากนี้ยังเป็นหนึ่งที่ท้าทายสำหรับนักเรียนและสำหรับครู นักเรียนมักจะพบว่ามันยากที่จะตัดสินใจ
ไม่ว่าจะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องในโดเมนบางอย่างอย่างต่อเนื่องและเป็นความจริงโดยเฉพาะอย่างยิ่ง
เมื่อโดเมนถูกยกเลิก ลักษณะที่เรียบง่ายของความต่อเนื่องที่สม่ำเสมอในขอบเขต
ช่วงเวลา (คือความต่อเนื่องในการตกแต่งภายในและการดำรงอยู่ของขีดจำกัดด้านที่สอดคล้องกันในที่สุด
ไม่มีแอนะล็อกสำหรับกรณีของช่วงเวลาที่ไม่มีการผูกไว้ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือเราไม่มี
ทฤษฎีบทที่บอกเราว่าฟังก์ชั่นต่อเนื่องในช่วงเวลาที่ไม่มีขอบเขตจะต่อเนื่องอย่างสม่ำเสมอและ
คนที่ไม่ได้ ดังนั้นการศึกษาความต่อเนื่องแบบสม่ำเสมอในช่วงเวลาที่ไม่มีขอบเขตก็ยากขึ้น
ในทางกลับกัน, ตำราส่วนใหญ่แทบให้ความสนใจกับความต่อเนื่องสม่ำเสมอในช่วงเวลาที่ไม่มีขอบเขต.
แน่นอนว่าเหตุผลนี้คือความจำเป็นทางเทคนิคทั้งหมดที่เกี่ยวกับเครื่องแบบต่อเนื่องในภายหลัง
เฉพาะในช่วงที่มีการจำกัดระยะเวลา (เช่นความสามารถในการทำงานอย่างต่อเนื่องของฟังก์ชัน) ในทุก
มันเป็นเรื่องยากที่จะพบในตำราเรียนมากกว่าเทคนิคพื้นฐานต่อไปนี้: อย่างต่อเนื่อง
การทำงานในช่วงเวลาที่ไม่มีขอบเขตยังมีความต่อเนื่องอย่างสม่ำเสมอซึ่งมีขีดจำกัดที่ระยะอนันต์
มีอยู่หรือสภาพ Lipschitz มีความพึงพอใจ แม้จะมีสองเงื่อนไขนี้ครอบคลุมจำนวนมากของกรณีที่น่าสนใจ, พวกเขาจะ
ไม่เป็นที่น่าพอใจอย่างน้อยเนื่องจากเหตุผลดังต่อไปนี้: ครั้งแรก, ฟังก์ชั่นระดับประถมศึกษาจำนวนมากที่มี
ต่อเนื่องอย่างสม่ำเสมอในช่วงเวลาที่ไม่มีขอบเขตไม่ได้มีข้อจำกัดที่อินฟินิตี้, และ, ที่สอง, ความต่อเนื่องที่สม่ำเสมอ
มักจะมีการแนะนำก่อนที่จะแตกต่างและแคลคูลัสที่สำคัญ (นี่คือสถานการณ์ในการสอนของตัวเอง)
และตรวจสอบว่าเงื่อนไข Lipschitz โดยไม่ต้องใช้ทฤษฎีค่าเฉลี่ยไม่ได้เป็นงานง่าย
โดยทั่วไป ตัวอย่างเช่นเราจะไม่พยายามพิสูจน์ว่า

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ความสอดคล้องของความต่อเนื่องของฟังก์ชันที่แท้จริงเป็นปัญหาที่พบบ่อยในหลักสูตรพื้นฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์
มันเป็นความท้าทายสำหรับนักเรียนและครู นักเรียนมักจะพบว่ามันยากที่จะตัดสินใจ
นี้เป็นจริงโดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าฟังก์ชันอย่างต่อเนื่องยังสอดคล้องกันและต่อเนื่องในภูมิภาค
เมื่อเขตข้อมูลเป็นอนันต์ ลักษณะที่เรียบง่ายของความสอดคล้องในขอบเขต
ช่วงเช่นความต่อเนื่องภายในและการดำรงอยู่ของขอบเขตที่สอดคล้องกันที่รุนแรง
ไม่มีการจำลองค่าสำหรับช่วงเวลาที่ไม่จำกัด ในคำอื่นๆที่เราไม่ได้
ทฤษฎีบทที่บอกเราว่าฟังก์ชันต่อเนื่องในช่วงที่ไม่มีขอบเขตที่สอดคล้องกันและต่อเนื่อง
ซึ่งไม่ใช่ ดังนั้นจึงเป็นเรื่องยากมากที่จะศึกษาความต่อเนื่องของความสอดคล้องในช่วงอนันต์
บนมืออื่นๆที่หนังสือเรียนส่วนใหญ่ไม่ค่อยให้ความสนใจกับความต่อเนื่องที่สอดคล้องกันในช่วงที่ไม่มีขอบเขต
แน่นอนมันเป็นเพราะความจำเป็นทางเทคนิคทั้งหมด
ส่วนที่เกี่ยวข้องกับช่วงจำกัดเช่นผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชันอย่างต่อเนื่อง ที่ใด
ในความเป็นจริงมันเป็นเรื่องยากที่จะหาสิ่งที่มากกว่าเทคนิคพื้นฐานในหนังสือเรียน
ฟังก์ชันในช่วงอนันต์ยังสอดคล้องกันและต่อเนื่องตราบเท่าที่
ที่มีอยู่หรือตอบสนองลิพชิทซ์เงื่อนไข แม้ว่าทั้งสองมาตรฐานครอบคลุมหลายกรณีน่าสนใจแต่
มีอย่างน้อยไม่กี่เหตุผลที่น่าพอใจทั้งหมด
ความต่อเนื่องที่สอดคล้องกันในช่วงอนันต์ไม่มีขีดจำกัดที่ระยะทางอนันต์ประการที่สองความต่อเนื่องที่สอดคล้องกัน
โดยปกติแล้วก่อนที่แคลคูลัสจะแนะนำนี้เป็นวิธีการสอนของฉันเอง
มันไม่ง่ายที่จะตรวจสอบว่าเงื่อนไขลิพชิทซ์เป็นจริงโดยไม่ต้องใช้ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย
โดยทั่วไปแล้ว ตัวอย่างเช่นเราจะไม่พยายามพิสูจน์