Some applications of the Laplace fa

Some applications of the Laplace family of distributions are found in the areas of economics, finance, health sciences, hydrology, etc. (Kotz et al., 2001 and Puig and Stephens, 2000), where it is used for modeling symmetric datasets. In this paper we consider the problem of testing the null hypothesis H0:a random sample X1,…,Xn comes from a L(θ,β) distribution with unknown parameters. This topic has also been addressed by Puig and Stephens (2000), Meintanis (2004), Choi and Kim (2006), Best et al. (2008), Gel (2010) and Lafaye de Micheaux and Tran (2016), among others. Current references on goodness-of-fit are Torabi et al. (2016) and Roberts (2015).

For testing H0 we propose a test based on the ratio of two estimators for the scale parameter β: the sample mean absolute deviation and View the MathML source times the sample standard deviation. A similar approach has been used before by Geary (1936) and Gel et al. (2007) for testing normality. On the other side, as a second test for H0, using property in (1) we also propose to transform X1,…,Xn to approximately exponential random variables and then use Anderson–Darling test for testing exponentiality.

Puig and Stephens (2000) considered the Anderson–Darling, Watson and Cramér–von Mises tests for testing H0, which compare the empirical distribution function (EDF) to the Laplace cumulative distribution function. Their power studies indicate that, among the EDF tests, Watson test is in general the best test against symmetric distributions and that Anderson–Darling test performs poorly against this kind of alternatives. The simulation results presented in Section 3 show that Anderson–Darling test performs better than Watson test when it is based on transformed observations instead of the original observations. These results also indicate that the ratio test is powerful against symmetric alternative distributions.

This manuscript is organized as follows. In Section 2 the proposed tests are presented and the asymptotic null distribution of the ratio test is obtained. The results of a Monte Carlo simulation study conducted in order to assess the power properties of the tests are presented in Section 3. Some conclusions are provided in Section 4.

2. New tests for the Laplace distribution
Let X1,…,Xn be a random sample of size n from a continuous population with cdf F. Next we present two tests for the composite null hypothesis:

equation(2)
H0:X∼L(θ,β),
Turn MathJax on

where −∞

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

โปรแกรมประยุกต์บางโปรแกรมของครอบครัวลาปลาสของการกระจายอยู่ในพื้นที่ของสาธารณสุขศาสตร์ การเงิน เศรษฐศาสตร์ อุทกวิทยา ฯลฯ (Kotz et al. 2001 และวี และสตี เฟนส์ 2000), ที่ใช้สำหรับการสร้างโมเดล datasets สมมาตร ในกระดาษนี้ เราพิจารณาปัญหาของการทดสอบสมมติฐานว่าง H0: ตัวอย่างสุ่ม X1,..., Xn มาจากการกระจาย L(θ,β) ด้วยพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จัก นอกจากนี้ยังได้ระบุวีสตีเฟนส์ (2000), Meintanis (2004), ชอย และ Kim (2006), สุด et al. (2008), เจล (2010) และ Lafaye de Micheaux และทราน (2016), หัวข้อนี้ในหมู่ผู้อื่น ปัจจุบันอ้างอิงบนความดีพอดีมี Torabi et al. (2016) และโรเบิร์ต (2015)สำหรับการทดสอบ H0 เราเสนอการทดสอบตามอัตราส่วนของ estimators สองสำหรับการชั่งพารามิเตอร์β: ตัวอย่างหมายถึง ส่วนเบี่ยงเบนสัมบูรณ์และดูเวลาแหล่ง MathML ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง วิธีการคล้ายกันได้ถูกใช้ก่อน โดย Geary (ค.ศ. 1936) และเจล et al. (2007) สำหรับการทดสอบเครื่อง ในด้านอื่น ๆ เป็นการทดสอบสองสำหรับ H0 ใช้คุณสมบัติใน (1) เรายัง เสนอการแปลง X1,..., Xn เป็นตัวแปรสุ่มประมาณเนน และใช้แอนเดอร์สัน – ดาร์ลิงทดสอบสำหรับการทดสอบ exponentialityวีและสตีเฟนส์ (2000) ถือว่าแอนเดอร์สัน – ดาร์ลิง วัตสันและ Cramér – von Mises ทดสอบสำหรับการทดสอบ H0 ซึ่งเปรียบเทียบฟังก์ชั่นการกระจายเชิงประจักษ์ (EDF) ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมลาปลาส ศึกษาพลังงานระบุว่า ระหว่างการทดสอบ EDF, Watson ทดสอบอยู่โดยทั่วไปทดสอบที่ดีที่สุดกับการกระจายสมมาตร และทดสอบแอนเดอร์สัน – ดาร์ลิ่งที่ทำไม่ดีกับทางเลือกแบบนี้ ผลการจำลองที่นำเสนอในส่วนที่ 3 แสดงว่า แอนเดอร์สัน – ดาร์ลิงทดสอบทำดีกว่าทดสอบ Watson เมื่อคะแนนสังเกตแปรรูปแทนข้อสังเกตเดิม ผลลัพธ์เหล่านี้ยังบ่งชี้ว่า การทดสอบอัตราส่วนประสิทธิภาพกับการกระจายทางเลือกสมมาตรกันฉบับนี้มีการจัดระเบียบดังนี้ ในส่วนที่ 2 แสดงการทดสอบเสนอ และกระจาย null asymptotic ของการทดสอบอัตราส่วนจะได้รับ ผลการศึกษาการจำลองมอนติคาร์โลเพื่อประเมินคุณสมบัติอำนาจของการทดสอบจะแสดงอยู่ในส่วนที่ 3 ข้อสรุปบางอย่างไว้ในส่วนที่ 42. ทดสอบใหม่สำหรับการกระจายลาปลาสให้ X1,..., Xn เป็นตัวอย่างสุ่มขนาด n จากประชากรที่ต่อเนื่องกับ cdf เอฟ ต่อไป เรานำเสนอการทดสอบที่สองสำหรับสมมติฐานว่างคอมโพสิต:equation(2)H0:X∼L(Θ,Β)เปิด MathJaxที่−∞ < <∞และβ > ค่าθ 0 เป็นที่รู้จัก2.1. การทดสอบตามอัตราส่วนของ estimators สองสำหรับβแจ้งให้ทราบว่าการประมาณของβพารามิเตอร์การขนาดตัวอย่างหมายถึงความเบี่ยงเบน (MAD) เกี่ยวกับตัวอย่างหมายถึง ดูแหล่ง MathML กำหนดเป็นequation(3)ดูแหล่งข้อมูล MathMLเปิด MathJaxบนมืออื่น ๆ ช่วงเวลาที่เป็นประมาณของβดู MathML แหล่งที่มา ที่ดูต้นทาง MathML เป็นความแปรปรวนตัวอย่างถ้าเก็บ H0 ใน (2) t

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

บางโปรแกรมของครอบครัว Laplace ของการกระจายที่พบในพื้นที่ของเศรษฐศาสตร์, การเงิน, วิทยาศาสตร์สุขภาพอุทกวิทยา ฯลฯ (Kotz, et al., 2001 และ Puig และสตีเฟนส์, 2000) ซึ่งจะมีการใช้สำหรับการสร้างแบบจำลองชุดข้อมูลสมมาตร ในบทความนี้เราพิจารณาปัญหาของการทดสอบสมมติฐาน H0 นี้: ตัวอย่างแบบสุ่ม X1, ... , Xn มาจาก L (θ, β) การกระจายกับพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จัก หัวข้อนี้ยังได้รับการแก้ไขโดย Puig และสตีเฟนส์ (2000), Meintanis (2004), ชอยและคิม (2006), และอัลที่ดีที่สุด (2008), เจล (2010) และ Lafaye เด Micheaux และ Tran (2016) กลุ่มอื่น ๆ การอ้างอิงในปัจจุบันเกี่ยวกับความดีของพอดีมี Torabi et al, (2016) และโรเบิร์ต (2015).

สำหรับการทดสอบ H0 เรานำเสนอการทดสอบตามอัตราส่วนของสองประมาณสำหรับβพารามิเตอร์ขนาด: ตัวอย่างหมายถึงค่าความเบี่ยงเบนแน่นอนและดูเท่าที่มา MathML ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง วิธีการที่คล้ายถูกนำมาใช้ก่อนโดยเกียรี่ (1936) และเจล, et al (2007) สำหรับการทดสอบภาวะปกติ ในด้านอื่น ๆ เช่นการทดสอบที่สองสำหรับ H0 โดยใช้คุณสมบัติใน (1) นอกจากนี้เรายังนำเสนอในการแปลง X1, ... , Xn ประมาณชี้แจงตัวแปรสุ่มและจากนั้นใช้การทดสอบแอนเดอ-ดาร์ลิ่งสำหรับการทดสอบ exponentiality.

Puig และสตีเฟนส์ (2000) ถือว่าการทดสอบแอนเดอ-ดาร์ลิ่ง, วัตสันและCramér-von Mises สำหรับการทดสอบ H0 ซึ่งเปรียบเทียบฟังก์ชันการกระจายเชิงประจักษ์ (EDF) เพื่อฟังก์ชั่นการแจกแจงสะสมเลซ การศึกษาอำนาจของพวกเขาแสดงให้เห็นว่าในการทดสอบ EDF การทดสอบวัตสันโดยทั่วไปการทดสอบที่ดีที่สุดกับการกระจายสมมาตรและว่าการทดสอบแอนเดอ-ดาร์ลิ่งมีประสิทธิภาพต่ำกับชนิดของทางเลือกนี้ ผลการจำลองที่นำเสนอในส่วนที่ 3 การทดสอบแสดงให้เห็นว่าแอนเดอ-ดาร์ลิ่งมีประสิทธิภาพดีกว่าการทดสอบวัตสันเมื่อมันอยู่บนพื้นฐานของการสังเกตการณ์เปลี่ยนแทนของการสังเกตเดิม ผลการศึกษานี้ยังระบุว่าการทดสอบอัตราส่วนจะเป็นที่มีประสิทธิภาพต่อการกระจายทางเลือกสมมาตร.

ต้นฉบับนี้จะจัดดังนี้ ในส่วนที่ 2 การทดสอบที่นำเสนอจะถูกนำเสนอและการกระจาย null asymptotic ของการทดสอบอัตราส่วนจะได้รับ ผลที่ได้จากการศึกษาการจำลอง Monte Carlo ดำเนินการเพื่อประเมินคุณสมบัติอำนาจของการทดสอบจะถูกนำเสนอในมาตรา 3 ข้อสรุปบางอย่างไว้ในมาตรา 4

2 การทดสอบใหม่สำหรับการกระจาย Laplace
ให้ X1, ... , Xn เป็นตัวอย่างที่สุ่มจากขนาด n จากประชากรที่ต่อเนื่องกับ CDF เอฟต่อไปเรานำเสนอสองการทดสอบสมมติฐานคอมโพสิต:

สมการ (2)
H0: X~L (θ, β)
เปิด MathJax ใน

ที่-∞ <θ <∞และβ> 0 เป็นที่รู้จัก.
2.1 การทดสอบตามอัตราส่วนของสองประมาณสำหรับβ

สังเกตว่าประมาณการของβพารามิเตอร์ขนาดคือตัวอย่างหมายถึงค่าความเบี่ยงเบนสัมบูรณ์ (MAD) เกี่ยวกับค่าเฉลี่ยตัวอย่างดูแหล่งที่มา MathML, กำหนดเป็น

สมการ (3)
ดูแหล่งที่มา MathML
เปิด MathJax บน

บนมืออื่น ๆ ที่เป็นช่วงเวลาของการประมาณการβคือมุมมองที่มา MathML ที่ดูแหล่งที่มา MathML แปรปรวนตัวอย่าง.
หาก H0 (2) ถือหุ้นที

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

บางโปรแกรมของครอบครัวของการแจกแจงลาปลาซ พบในพื้นที่ ด้านเศรษฐศาสตร์ การเงิน อุทกวิทยา วิทยาศาสตร์ สุขภาพ ฯลฯ ( kotz et al . , 2001 และ ปุย และสตีเฟนส์ , 2000 ) ซึ่งการใช้แบบจำลองแบบชุดข้อมูล ในกระดาษนี้เราพิจารณาปัญหาของการทดสอบสมมติฐานว่าง H0 : การสุ่มตัวอย่าง x1 , . . . , คริสเตียนมาจาก L ( θบีตา , ) การกระจายกับพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จัก หัวข้อนี้ยังได้รับการ addressed และปุย สตีเฟนส์ ( 2000 ) meintanis ( 2004 ) , ชอย และ คิม ( 2006 ) ที่ดีที่สุด , et al . ( 2008 ) , เจล ( 2010 ) และ lafaye เดอและ micheaux Tran ( 2016 ) , หมู่คนอื่น ๆ การอ้างอิงในปัจจุบันในความสอดคล้องเป็น torabi et al . ( 2016 ) และโรเบิร์ต ( 2015 )สำหรับการทดสอบด้วยเราขอทดสอบตามอัตราส่วนสองตัวประมาณสำหรับพารามิเตอร์แสดงสเกลบีตา : ตัวอย่างหมายถึงการเบี่ยงเบนสัมบูรณ์และดูแหล่ง MathML ครั้งตัวอย่างส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน วิธีการที่คล้ายกันมีการใช้ก่อนโดยเกียรี่ ( 1936 ) และเจล et al . ( 2007 ) สำหรับการทดสอบการแจกแจงแบบปกติ ในด้านอื่น ๆเช่นการทดสอบที่สองด้วย การใช้ที่ดิน ( 1 ) เรายังเสนอให้เปลี่ยน x1 , . . . , คริสเตียนประมาณชี้แจงตัวแปรสุ่มและใช้ แอนเดอร์สัน ( ที่รักทดสอบ exponentiality .และปุย สตีเฟนส์ ( 2000 ) ถือว่า แอนเดอร์สัน ( ที่รัก , Watson และอัดé r - ฟอนการทดสอบสำหรับการทดสอบด้วย ซึ่งเปรียบเทียบฟังก์ชันการแจกแจงเชิงประจักษ์ ( EDF ) กับลาปลาสฟังก์ชันการแจกแจงสะสม . การศึกษาอำนาจระบุว่า ระหว่าง EDF การทดสอบวัตสันทดสอบทั่วไปทดสอบที่ดีที่สุดกับการแจกแจงสมมาตร และ แอนเดอร์สัน –ทดสอบประสิทธิภาพงานที่รักกับชนิดนี้ของทางเลือก ผลการจำลองแบบแสดงให้เห็นว่าแอนเดอร์สันเสนอมาตรา 3 –ที่รักทดสอบมีประสิทธิภาพดีกว่า วัตสันทดสอบเมื่อมันขึ้นอยู่กับแปลงการสังเกตแทนข้อมูลเดิม นอกจากนี้ยังชี้ให้เห็นว่าทดสอบอัตราส่วนประสิทธิภาพกับการแจกแจงสมมาตรทางเลือก .ต้นฉบับนี้จะจัดดังนี้ ส่วนที่ 2 นำเสนอการทดสอบจะแสดงและการกระจายในอัตราส่วนเฉลี่ยของการทดสอบจะได้รับ ผลที่ได้จากการจำลองมอนติคาร์โลการศึกษามีวัตถุประสงค์เพื่อประเมินพลัง คุณสมบัติของการทดสอบจะถูกนำเสนอในส่วนที่ 3 ข้อสรุปบางอย่างมีการระบุไว้ใน มาตรา 42 . การทดสอบใหม่สำหรับการกระจายลาปลัสให้ x1 , . . . , คริสเตียน เป็นตัวอย่างที่สุ่มจากประชากรขนาด n ที่ต่อเนื่องกับ CDF F . ต่อไปเราจะนำเสนอสองการทดสอบสมมติฐานว่าง ประกอบด้วย :สมการ ( 2 )H0 : x ∼ L ( θบีตา , )เปิด mathjax บนที่−∞ < > 0 < ∞บีตาθและไม่ทราบชื่อ2.1 . การทดสอบขึ้นอยู่กับอัตราส่วนสองตัวประมาณสำหรับบีตาสังเกตได้ว่า การประมาณการของพารามิเตอร์แสดงสเกลบีตาคือค่าเฉลี่ยตัวอย่างการเบี่ยงเบนสัมบูรณ์ ( MAD ) เกี่ยวกับค่าเฉลี่ยตัวอย่างดู MathML แหล่ง หมายถึงสมการ ( 3 )ดู MathML แหล่งเปิด mathjax บนบนมืออื่น ๆช่วงเวลาที่ประมาณการของบีตาคือดู MathML แหล่งที่ดู MathML แหล่งตัวอย่าง ความแปรปรวนถ้า H0 t ใน ( 2 ) เก็บ