ศัพท์ทางคณิตศาสตร์IntroductionMy st

ศัพท์ทางคณิตศาสตร์
Introduction
My statistician colleague, J.E. Chac´on, asked me how to decide if a real given matrix A has a square
root for the Kronecker product (i.e., if there exists a B such that A = B ⊗ B) and, in the positive
case, how to compute it. His questions were motivated by the fact that, provided that a certain real
positive definite symmetric matrix has a Kronecker square root, explicit asymptotic expressions for
certain estimator errors could be obtained. See [1], for a discussion of the importance of multivariate
kernel density derivative estimation.
This note is written mostly due to the lack of a suitable reference for the existence of square
roots for the Kronecker product, and it is organized as follows: first of all, I study the problem of the
factorization of a matrix into a Kronecker product of two matrices, by giving a necessary and sufficient
condition under which this happens (Theorem 3). As a preparation for the main result, I introduce
the block vec matrix (Definition 1). Now, the block vec matrix and Theorem 3 solve our problem in
a constructive way.
1. Kronecker product factorization

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ศัพท์ทางคณิตศาสตร์แนะนำเพื่อนร่วมงานของฉัน statistician, J.E. Chac´on ถามการตัดสินใจเลือกถ้า จริงกำหนดให้เมทริกซ์ A มีสี่เหลี่ยมจัตุรัสรากสำหรับผลิตภัณฑ์ Kronecker (เช่น ถ้ามีตัว B เช่นให้ A = B ⊗ B) และ ในแง่บวกกรณี วิธีการคำนวณได้ คำถามของเขามีแรงจูงใจความจริงที่ว่า หากว่าจริงแน่นอนเมทริกซ์สมมาตรแน่นอนบวกมีราก Kronecker สแควร์ นิพจน์ asymptotic ชัดเจนสำหรับข้อผิดพลาดบางอย่างประมาณไม่ได้ ดู [1], สำหรับคำอธิบายเกี่ยวกับความสำคัญของ multivariateเคอร์เนลความหนาแน่นแบบประเมินบันทึกนี้เขียนเป็นส่วนใหญ่เนื่องจากมีการอ้างอิงที่เหมาะสำหรับการมีอยู่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสจัดรากสำหรับผลิตภัณฑ์ Kronecker และเป็นดังนี้: ครั้งแรกของทั้งหมด เรียนปัญหาแยกตัวประกอบของเมทริกซ์เป็นผลิตภัณฑ์ Kronecker ของเมทริกซ์ที่สอง โดยให้ มีความจำเป็น และเพียงพอเงื่อนไขที่เกิด (ทฤษฎีบท 3) เป็นการเตรียมสำหรับผลลัพธ์หลัก ผมแนะนำvec เมทริกซ์แบบบล็อก (1 ข้อกำหนด) ตอนนี้ บล็อก vec เมตริกซ์และทฤษฎีบท 3 แก้ปัญหาในวิธีการสร้างสรรค์1. การแยกตัวประกอบ Kronecker ผลิตภัณฑ์

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ศัพท์ทางคณิตศาสตร์

แนะนำเพื่อนร่วมงานสถิติของฉัน j.e. ชักใหม่ , ถามฉันวิธีการที่จะตัดสินใจว่าจริงให้เมทริกซ์มีรูต
สำหรับผลิตภัณฑ์ kronecker ( คือถ้าไม่มี B เช่นว่า a = b ⊗ B ) และในกรณีที่บวก
, วิธีการคำนวณมันได้ คำถามของเขาถูกกระตุ้นโดยความจริงที่ว่าให้บางจริง
บวกแน่นอนเมทริกซ์สมมาตรมี kronecker กรณฑ์ การแสดงออกที่ชัดเจนสำหรับ
ข้อผิดพลาดแหล่งประมาณการบางอย่างอาจจะได้รับ ดู [ 1 ] สำหรับการอภิปรายความสำคัญของตัวแปรหลายตัว

) ความหนาแน่นของเมล็ดประมาณ บันทึกนี้ถูกเขียนส่วนใหญ่เนื่องจากการขาดการอ้างอิงที่เหมาะสมสำหรับการดำรงอยู่ของรากที่สอง
kronecker สำหรับผลิตภัณฑ์ ,และก็จัดเป็นดังนี้ : ครั้งแรกของทั้งหมด ฉันศึกษาปัญหาของ
ตัวประกอบของเมทริกซ์เป็น kronecker ผลิตภัณฑ์ของสองเมทริกซ์โดยให้เงื่อนไขจำเป็นและเพียงพอ
ภายใต้ซึ่งเกิดเหตุการณ์นี้ ( ช่วงที่ 3 ) การเตรียมการสำหรับผลเป็นหลัก ผมแนะนำ
บล็อก VEC เมตริกซ์ ( นิยาม 1 ) ตอนนี้บล็อกโลกร้อนและเมทริกซ์ทฤษฎีบท 3 แก้ปัญหาในทางสร้างสรรค์
.
1การ kronecker ผลิตภัณฑ์