ON THE CONSTRUCTION OF EXPLICIT SOL

ON THE CONSTRUCTION OF EXPLICIT SOLUTIONS TO THE
MATRIX EQUATION X2AX = AXA∗
AIHUA LI† AND EDWARD MOSTEIG‡
Abstract. In a previous article by Aihua Li and Duane Randall, the existence of solutions to
certain matrix equations is demonstrated via nonconstructive methods. A recurring example appears
in that work, namely the matrix equation AXA = X2AX, where A is a fixed, square matrix with
real entries and X is an unknown square matrix. In this paper, the solution space is explicitly
constructed for all 2×2 complex matrices using Gr¨obner basis techniques. When A is a 2×2 matrix,
the equation AXA = X2AX is equivalent to a system of four polynomial equations. The solution
space then is the variety defined by the polynomials involved. The ideal of the underlying polynomial
ring generated by the defining polynomials plays an important role in solving the system. In our
procedure for solving these equations, Gr¨obner bases are used to transform the polynomial system
into a simpler one, which makes it possible to classify all the solutions. In addition to classifying all
solutions for 2 × 2 matrices, certain explicit solutions are produced in arbitrary dimensions when A
is nonsingular. In higher dimensions, Gr¨obner bases are extraordinarily computationally demanding,
and so a different approach is taken. This technique can be applied to more general matrix equations,
and the focus here is placed on solutions coming from a particular class of matrices.
Key words. Matrix equation, Ideal, Gr¨obner bases.
AMS subject classifications. 39B42, 15A24, 12Y05, 13B25, 13F20.
∗Received by the editors on June 15, 2009. Accepted for publication on July 31, 2010. Handling
Editors: Roger A. Horn and Fuzhen Zhang.
†Department of Mathematical Science, Montclair State University, Montclair, NJ 07043, USA
([e-mail]).
‡Department of Mathematics, Loyola Marymount University, Los Angeles, CA 90045, USA
([e-mail]).

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ในการก่อสร้างวิธีแก้ไขปัญหาอย่างชัดเจนเมทริกซ์สมการ X2AX = AXA∗LI† อิฮัวและเอ็ดเวิร์ด MOSTEIG‡บทคัดย่อ ในบทความก่อนหน้าโดยหลี่อิฮัวและแรนดัลณัฐพล การดำรงอยู่ของโซลูชั่นเพื่อบางสมการเมตริกซ์จะแสดงให้เห็นผ่านวิธีการ nonconstructive ตัวอย่างที่เกิดซ้ำปรากฏในที่ทำงาน คือเมทริกซ์สมการแอกซ่า = X2AX ซึ่งเป็นการถาวร สแควร์เมตริกซ์ด้วยรายการจริงและ X เป็นเมทริกซ์จัตุรัสไม่รู้จัก ในกระดาษนี้ พื้นที่โซลูชั่นมีอย่างชัดเจนสร้างขึ้นสำหรับทั้งหมด 2 × 2 เมทริกซ์คอมเพล็กซ์ใช้เทคนิคพื้นฐาน Gr¨obner เมื่อ A เป็นเมทริกซ์ 2 × 2สมการแอกซ่า = X2AX จะเทียบเท่ากับระบบของสมการพหุนามที่สี่ การแก้ปัญหานอกจากนี้พื้นที่แล้วคือ ความหลากหลายที่กำหนด โดยดำรงพระพุทธศาสนาที่เกี่ยวข้อง อุดมคติของพหุนามขีดเส้นใต้แหวนที่สร้างขึ้น โดยดำรงพระพุทธศาสนากำหนดมีบทบาทสำคัญในการแก้ระบบ ในของเราขั้นตอนการแก้สมการ Gr¨obner ฐานเหล่านี้จะใช้ในการแปลงระบบพหุนามเข้าง่าย ซึ่งทำให้การจัดประเภทการแก้ปัญหา นอกจากแบ่งประเภททั้งหมดโซลูชั่นสำหรับเมทริกซ์ 2 × 2 โซลูชั่นที่ชัดเจนบางอย่างที่ผลิตในขนาดโดยอำเภอใจเมื่อ Aเป็น nonsingular ในมิติที่สูงขึ้น Gr¨obner ฐานพิเศษ computationally เรียกร้องและเพื่อให้ ดำเนินการวิธีแตกต่าง เทคนิคนี้สามารถใช้ได้กับสมการทั่วไปในเมทริกซ์และการโฟกัสวางอยู่บนโซลูชันที่มาจากแบบเฉพาะของเมทริกซ์คำสำคัญ เมทริกซ์สมการ เหมาะ Gr¨obner ฐานการจัดประเภทแบบ AMS 39B42, 15A24, 12Y05, 13B25, 13F20∗Received โดยบรรณาธิการเมื่อ 15 มิถุนายน 2009 ยอมรับสำหรับการประกาศบน 31 กรกฎาคม 2010 การจัดการบรรณาธิการ: Roger A. ฮอร์นและเตียว Fuzhen†Department วิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัย Montclair, Montclair, NJ 07043 สหรัฐอเมริกา([e-mail])‡Department คณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัยคอลเลโลโย Los Angeles, CA 90045 สหรัฐอเมริกา([e-mail])

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ในการก่อสร้างของการแก้ปัญหาที่ชัดเจนในการ
MATRIX สม X2AX = แอกซ่า *
Aihua LI †และเอ็ดเวิร์ด MOSTEIG ‡
บทคัดย่อ ในบทความก่อนหน้าโดย Aihua ลี่และดวนแรนดัล, การดำรงอยู่ของการแก้
สมการเมทริกซ์บางอย่างแสดงให้เห็นผ่านทางวิธีการ nonconstructive ตัวอย่างที่เกิดขึ้นจะปรากฏขึ้น
ในการทำงานนั้นคือสมการเมทริกซ์แอกซ่า = X2AX ที่เป็นถาวรตารางเมทริกซ์ที่มี
รายการที่แท้จริงและ X คือตารางเมทริกซ์ที่ไม่รู้จัก ในบทความนี้พื้นที่แก้ปัญหาอย่างชัดเจน
เพื่อสร้างทั้ง 2 × 2 เมทริกซ์ที่ซับซ้อนโดยใช้เทคนิคพื้นฐานGröbner เมื่อเป็น 2 × 2 เมทริกซ์
สมแอกซ่า = X2AX เทียบเท่ากับระบบการทำงานของสี่สมการพหุนาม วิธีการแก้ปัญหา
พื้นที่แล้วคือความหลากหลายที่กำหนดโดยมีหลายชื่อที่เกี่ยวข้อง เหมาะของพหุนามต้นแบบ
แหวนที่สร้างขึ้นโดยการกำหนดพหุนามที่มีบทบาทสำคัญในการแก้ระบบ ของเรา
ขั้นตอนการแก้สมการเหล่านี้ฐานGröbnerจะใช้ในการเปลี่ยนระบบพหุนาม
เป็นหนึ่งง่ายซึ่งจะทำให้มันเป็นไปได้ที่จะแยกการแก้ปัญหาทั้งหมด นอกจากนี้ในการแบ่งประเภทของทุก
โซลูชั่นสำหรับ 2 × 2 การฝึกอบรมการแก้ปัญหาอย่างชัดเจนบางอย่างที่มีการผลิตในมิติโดยพลการเมื่อ
เป็น nonsingular ในมิติที่สูงขึ้น, เบสGröbnerเป็นพิเศษคอมพิวเตอร์ที่เรียกร้อง
และวิธีการที่แตกต่างกันจะได้รับการ เทคนิคนี้สามารถนำไปใช้กับสมการเมทริกซ์ทั่วไปมากขึ้น
และมุ่งเน้นที่นี่ถูกวางไว้ในการแก้ปัญหาที่มาจากระดับในด้านการฝึกอบรม
คำสำคัญ สมการเมทริกซ์, เหมาะฐานGröbner
AMS จำแนกประเภทเรื่อง 39B42, 15A24, 12Y05, 13B25, 13F20
* ได้รับโดยบรรณาธิการเมื่อวันที่ 15 มิถุนายน 2009 ได้รับการยอมรับให้ตีพิมพ์ในวันที่ 31 กรกฎาคม 2010 การจัดการ
บรรณาธิการ: โรเจอร์เอฮอร์นและ Fuzhen จาง
†ภาควิชาคณิตศาสตร์วิทยาศาสตร์มหาวิทยาลัยรัฐมอนต์แคลมอนต์แคล, นิวเจอร์ซีย์ 07043, USA
([e-mail])
‡ภาควิชาคณิตศาสตร์มหาวิทยาลัย Loyola Marymount, Los Angeles, CA 90045, USA
([e-mail])

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ในการสร้างโซลูชั่นให้ชัดเจนเมทริกซ์สมการ x2ax = ∗แอกซ่าaihua หลี่ภีษมะและเอ็ดเวิร์ด mosteig ‡นามธรรม ในบทความก่อนหน้านี้ โดย aihua ลี้ และอัตราภาษี แรนดัลล์ โซลูชั่นเพื่อการดำรงอยู่ของสมการเมตริกซ์บางแสดงให้เห็นผ่านทางวิธีการที่ nonconstructive . ตัวอย่างที่เกิดขึ้นปรากฏงานนั้นคือเมทริกซ์สมการแอกซ่า = x2ax ที่เป็นเมทริกซ์จัตุรัสที่มีถาวรรายการจริงและ X เป็นเมตริกซ์จัตุรัสที่ไม่รู้จัก ในกระดาษนี้ , โซลูชั่นพื้นที่อย่างชัดเจนสร้างทั้งหมด 2 × 2 เมทริกซ์ที่ซับซ้อนใช้ GR ตั้ง obner พื้นฐานเทคนิค เมื่อเป็น 2 × 2 เมทริกซ์สมการแอกซ่า = x2ax เทียบเท่ากับระบบสี่พหุนามสมการ โซลูชั่นพื้นที่นั้นมีความหลากหลาย กําหนดโดย ชื่อที่ประกอบด้วยหลายคำที่เกี่ยวข้อง อุดมคติของพหุนามเป็นต้นแหวนที่สร้างขึ้น โดยการกำหนดชื่อที่ประกอบด้วยหลายคำ มีบทบาทสำคัญในการแก้ไขระบบ ในของเราขั้นตอนการแก้สมการเหล่านี้ แต่ obner ตั้งฐานใช้วิธีแปลงระบบในหนึ่งง่ายซึ่งทำให้มันเป็นไปได้ที่จะแยกประเภทโซลูชั่นทั้งหมด นอกจากกลุ่มทั้งหมดโซลูชั่นสำหรับ 2 × 2 เมทริกซ์ที่มีโซลูชั่นที่ผลิตในบางมิติโดยพลการเมื่อเป็น nonsingular . ในมิติที่สูงขึ้น แต่ obner ตั้งฐานโคตร computationally เรียกร้องดังนั้นวิธีการที่แตกต่างกันแล้ว เทคนิคนี้สามารถใช้กับสมการเมตริกซ์ทั่วไปมากขึ้นและที่นี่เน้นวางอยู่บนโซลูชั่นที่มาจากชั้นโดยเฉพาะของเมทริกซ์คำสำคัญ เมทริกซ์สมการ , อุดมคติ , GR obner ตั้งฐานแต่เรื่องในเมืองไทย 39b42 15a24 12y05 13b25 , , , , 13f20 .∗ได้รับโดยบรรณาธิการเกี่ยวกับมิถุนายน 15 , 2009 ตีพิมพ์วันที่ 31 กรกฎาคม 2553 การจัดการบรรณาธิการ : โรเจอร์เอฮอร์นและ fuzhen จางภีษมะภาควิชาวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัย Montclair State , 07043 Montclair , NJ , สหรัฐอเมริกา( เลีย @ mail Montclair . edu )‡ภาควิชาคณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัย Loyola เม้าท์ , Los Angeles , CA 90045 , สหรัฐอเมริกา( emosteig @ lmu . edu )