Hardcover, 2011, ISBN 978-0-19-5336

Hardcover, 2011, ISBN 978-0-19-533667-2, 450 pages with illustrations, index, bibliographic references, and online examples, US $39.95; available from Oxford University Press, 198 Madison Avenue, New York, New York 10016, USA; telephone [phone]; http://www.oup.com; online examples and supporting material: http://www.oup.com/us/companion.websites/9780195336672/examples/?view=usa/.

Reviewed by Michael Gogins
New York, New York, USA

I believe A Geometry of Music (hereinafter AGM) is a ground-breaking book in music theory. According to Dmitri Tymoczko, “While my stated audience consists of composers and music theorists, I have tried to write in a way that is accessible to students and dedicated amateurs.” If my own experience is any guide, AGM will be especially useful to composers who, like myself, use computers in composition. Indeed, this review is written mainly from the viewpoint of an algorithmic composer. But, as much as my informal education in music theory permits, I will also attempt to give the book some historical and theoretical context.

AGM synthesizes about 15 years of work by the author (and some other theorists) towards developing a geometric understanding of many phenomena in voice leading, chord structure, chord progression, scale theory, and modulation. The starting point is to define each chord as a single point in a continuous Euclidean “chord space” with as many dimensions of pitch as the chord has voices. This simple idea turns out to be tremendously fruitful. Tymoczko convincingly argues that all commonly used measures of voice-leading distance agree with the length of the distance from one chord point to another chord point in chord space.

AGM proposes that music which is tonal in the broadest meaning of the term, from the beginnings of Western polyphony until the extended tonality of today, and across many different classical and popular styles, features conjunct melodic motion, acoustic consonance, harmonic consistency, limited macroharmony (the notion of scale, more or less), and centricity (having a tonal center in the standard sense). I suspect that for academic theorists, the main interest of AGM will be its use of the geometric definition of voice-leading distance to develop a deeper understanding of these phenomena.

According to Tymoczko’s theory, a chord is a point, and voice-leading is movement from one point to another point. Of course, music theorists use many different levels of abstraction in thinking about chords and scales. Theorists almost always abstract from the order of the voices, they usually ignore the particular octave of a pitch, and sometimes even ignore the particular inversion of a chord. And they generally ignore voice doublings. AGM shows that each of these levels of abstraction exactly corresponds to what mathematicians call an “equivalence class” in chord space. For example, the standard definition of a “pitch-class set” corresponds to combining the equivalence classes for octave (“O”), order of voices (“P” for permutation), and number of voices (“C” for cardinality): OPC. Other equivalence classes are “T” (for translational equivalence, i.e., OPTC equivalent chords are the same chord type) and “I” (for inversional equivalence).
When an equivalence class, or combination of classes, is imposed upon a space, then all points that are the same with respect to the equivalence class become “glued together.” The space thus becomes a “quotient space” or “orbifold.” For example, the chord space for trichords under OPC equivalence becomes a tilted prism whose equilateral faces are glued together modulo a one-third twist (Orbifold for trichords). The chord points in twelve-tone equal temperament are colored balls. The lines connecting the chords are the semitone voice-leadings. The four augmented triads run up the center of this prism; the twelve major and twelve minor triads surround the augmented triads in six alternating columns of four chords, each glued together to form a twisted torus. The two-pitch trichords are on the sides of the prism, and the one-pitch or unison trichords are on the edges of the prism. Transposition equates to moving a chord in parallel with the diagonal of unisons in chord space. When a chord reaches the end face of this orbifold it re-appears with a one-third twist on the opposite end face (in the figure, this is shown in the movement from E major to F major). Inversion equates to reflecting across the middle of the prism. Change of chord type equates to moving along the plane perpendicular to the diagonal of unisons. Chords that move in this fashion reflect off the sides of the prism. And so on. Furthermore, these concepts, based as they are on a continuous manifold, generalize to tuning systems other than twelve-tone equal temperament, and to chords of any number of voices.

Tymoczko shows that the various chord spaces derived from each equivalence class, or combination of equivalence classes, inherit a “metric” or measure of distance from their parent, in purely Euclidean chord space. This is the signal fact that enables the concept of voice-leading distance to be used in more or less the same way with respect to pitch-class sets (OPC equivalence), chord types (OPTC equivalence), and set-classes (OPTIC equivalence). AGM further demonstrates that the concept of voice-leading, and of minimal voice-leading operations, applies not only to chords and chord progressions but, just as well, to scales and modulations. Indeed, Tymoczko argues, the use of the same measure of voice-leading distance for both chord progression and modulation provides a geometric foundation for understanding something many musicians feel: that there is a kind of self-similarity between chord progressions in the small scale and modulations in the medium-to-large scale.

AGM goes on to discuss atonal music, chromatic harmony, the structure of typical and normative chord progressions, modern and contemporary uses of variant scales, and many other matters using the underlying geometry of chord space with its measure of voice-leading distance as the unifying principle. Additionally, AGM draws on examples beginning with the two-voice counterpoint of the Middle Ages and ending with the extended tonality of Dmitri Shostakovitch, Bill Evans, and Steve Reich. Audio clips of these examples are accessible to the public on the Web site accompanying the book listed above. These online recordings and score excerpts greatly increase the usefulness of the book. Readers with keyboard skills would benefit from playing through the examples. Readers without such skills would benefit from careful listening to the online audio clips while following the score excerpts.

This book is a further step along the path that began when Pythagoras identified musical intervals with numerical ratios, has passed through stages of increasing mathematical sophistication with the Tonnetz of Leonhard Euler and Arthur von Oettingen and the voice-leading operations of Hugo Riemann, and is now leading to something of an efflorescence of atonal set theory, group theory, neo-Riemannian theory, and geometry. Where set theorists such as Milton Babbitt (“Some Aspects of Twelve-Tone Composition”, The Score and IMA Magazine 12, 1955), Allen Forte (The Structure of Atonal Music, Yale University Press, 1973) and their school focus on combinatorics and group theory applied to a discrete representation of pitch, Tymoczko (like some contemporary transformational or neo-Riemannian theorists; see below) takes a mathematical step back to use a wider range of abstract algebra and geometry applied to a continuous representation of pitch. Furthermore, AGM demonstrates that some of the central phenomena of tonality, such as the “faithfulness” of the circle of fifths in reflecting relationships that obtain in higher-dimensional chord spaces, cannot be adequately understood without a continuous representation of pitch. I believe this alone suffices to establish the theoretical importance of the book.
The main contemporary scholars who have written books proposing a unifying mathematical framework for music theory are Tymoczko (using geometry) and Guerino Mazzola (using category theory in The Topos of Music, Birkhaüser, 2002). Perhaps Fred Lerdahl (Tonal Pitch Space, Oxford University Press, 2001) should also be mentioned. And there are others. I do not have the background in music theory to allow me to comprehensively compare these authors, or to render a final judgment on how important AGM is, or how it stacks up against, or fits together, with competing approaches. The fact that Tymoczko analyzes many of the same well-known excerpts (such as the prelude from Wagner’s Tristan und Isolde) as do other theorists should make this kind of comparison easier. But it is perhaps worth noting that almost all of the articles on music theory as such that have been published to date in Science magazine present the basic ideas of geometric music theory (overview by Julian Hook, “Exploring Musical Space,” Science 313, 2006; “The Geometry of Musical Chords,” Dmitri Tymoczko, Science 313, 2006; overview by Rachel Wells Hall, “Geometrical Music Theory,” Science 320, 2008; Clifton Callender, Ian Quinn, and Dmitri Tymoczko, “Generalized Voice-Leading Spaces,” Science 320, 2008).

One of the things AGM is trying to do is to provide a simpler view of music theory, based on principles rather than lists of rules and exceptions. The book certainly does this for me. Matters I formerly found more or less opaque, such as how those German and French sixths really work, or why some key changes are more common than others, or how tritone substitutions fit in, are now far clearer. So for me, the unification Tymoczko is attempting has in some part been achieved.

Another thing that distinguishes AGM from much writing on music theory I have seen is its ambition towards, and occasiona

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ปกแข็ง 2011, ISBN 978-0-19-533667-2, 450 หน้า พร้อมภาพประกอบ ดัชนี การอ้างอิงบรรณานุกรม ตัว อย่างออนไลน์ สหรัฐอเมริกา $39.95 จากข่าวมหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด 198 เมดิสันอเวนิว นิวยอร์ก นิวยอร์ก 10016 สหรัฐอเมริกา โทรศัพท์ (+ 1) 212-726-6000 http://www.oup.com; ตัวอย่างออนไลน์และสนับสนุนวัสดุ: http://www.oup.com/us/companion.websites/9780195336672/examples/?view=usa/ตรวจทาน โดย Michael Goginsนิวยอร์ก นิวยอร์ก สหรัฐอเมริกาผมเชื่อว่าเรขาคณิตเพลง A (ซึ่งต่อไปนี้ผู้ถือหุ้น) เป็นหนังสือไซในทฤษฎีดนตรี ตาม Dmitri Tymoczko "ในขณะที่ผู้ชมของผมระบุประกอบด้วยคีตกวีและเพลง theorists ฉันได้พยายามเขียนในลักษณะที่สามารถเข้าถึงนักเรียนและเฉพาะมือสมัครเล่น" ถ้าประสบการณ์ของฉันเองเป็นคู่มือใด ๆ ผู้ถือหุ้นจะเป็นประโยชน์กับคีตกวีที่ เช่นตัวเอง ใช้คอมพิวเตอร์ในองค์ประกอบ แน่นอน บทความนี้เขียนจากแง่มุมของการประพันธ์ algorithmic แต่ เท่าที่ศึกษาทฤษฎีดนตรีของฉันไม่อนุญาตให้ ฉันจะพยายามให้หนังสือบางบริบททางประวัติศาสตร์ และทฤษฎีผู้ถือหุ้น synthesizes ประมาณ 15 ปีของการทำงานโดยผู้เขียน (และบาง theorists) ต่อการพัฒนาความเข้าใจเรขาคณิตของปรากฏการณ์มากมายในนำเสียง โครงสร้างคอร์ด คอร์ดความก้าวหน้า ทฤษฎีสเกล และเอ็ม จุดเริ่มต้นจะกำหนดแต่ละคอร์ดเป็นจุดเดียวในตัวอย่างต่อเนื่อง Euclidean "คอร์ดช่องว่าง" ด้วยมิติหลาย ๆ มิติของสนามเป็นคอร์ดมีเสียง ความคิดอย่างนี้เปิดออกจะประสบอย่าง Tymoczko convincingly จนที่ ทั้งหมดโดยทั่วไปใช้วัดระยะทางนำเสียงเห็นด้วยกับความยาวของระยะทางจากคอร์ดหนึ่งชี้ไปที่จุดคอร์ดอื่นในพื้นที่คอร์ดผู้ถือหุ้นเสนอว่า เพลงที่จะใช้ในความหมายที่กว้างที่สุดของคำ จากจุดเริ่มต้นของ polyphony ตะวันตกจน tonality ขยายวันนี้ และคลาสสิก และเป็นที่นิยม แฟชั่น คุณลักษณะเคลื่อนไหวดนตรี conjunct, consonance อะคูสติก ความสอดคล้องมีค่า macroharmony จำกัด (แนวคิดของสเกล มากขึ้น หรือน้อยลง), และ centricity (มีศูนย์โทนในแง่มาตรฐาน) สงสัยว่า theorists วิชาการ ผลประโยชน์หลักของผู้ถือหุ้นจะมีการนิยามเรขาคณิตเสียงนำระยะทางในการพัฒนาความเข้าใจลึกของปรากฏการณ์เหล่านี้ตามทฤษฎีของ Tymoczko คอร์ดจุด และเสียงนำ เคลื่อนย้ายจากจุดหนึ่งไปจุดอื่น แน่นอน เพลง theorists ใช้ abstraction ในคิด chords และสมดุลในระดับที่แตกต่าง Theorists บทคัดย่อการเสียงเกือบตลอดเวลา พวกเขามักจะละเว้นอ็อกเทฟเฉพาะของสนาม และข้ามกลับเฉพาะของคอร์ดเป็นบางครั้ง และพวกเขาไม่สนใจเสียง doublings โดยทั่วไป ผู้ถือหุ้นแสดงว่า ของ abstraction ระดับเหล่านี้ว่าตรงกับสิ่ง mathematicians เรียกการ "เทียบเท่าชั้น" ในพื้นที่คอร์ด ตัวอย่าง ข้อกำหนดมาตรฐานของ "ชุดสนามคลาส" ตรงกับเรียนเทียบเท่าสำหรับอ็อกเทฟ ("O"), ลำดับของเสียง ("P" สำหรับการเรียงสับเปลี่ยน), เสียง ("C" สำหรับภาวะเชิงการนับ) รวม: OPC "T" รับสอนอื่น ๆ เทียบเท่า (สำหรับเทียบเท่า translational เช่น chords เท่า OPTC มีคอร์ดชนิดเดียวกัน) และ "ไอ" (สำหรับเทียบเท่า inversional)เมื่อเป็นระดับเทียบเท่า หรือสถาบันของ ถูกกำหนดตามพื้นที่ จากจุดที่เหมือนกันกับชั้นเทียบเท่า กลายเป็น "ติดกาวเข้าด้วยกัน" พื้นที่จึงกลายเป็น "ผลหารพื้นที่" หรือ "orbifold" ตัวอย่าง ว่างคอร์ดสำหรับ trichords ภายใต้ OPC เทียบเท่ากลายเป็น ปริซึมเอียงหน้าด้านเท่าจะจมปลักกัน modulo บิดหนึ่งในสาม (Orbifold trichords) จุดคอร์ดใน temperament เท่ากับ twelve-tone มีลูกบอลสี เส้นที่เชื่อมต่อ chords กำลัง semitone เสียง-leadings วันออกเมนต์สี่วิ่งขึ้นของปริซึมนี้ หลักสิบและสิบสองวันรองล้อมรอบวันออกเมนต์ในหกคอลัมน์สลับสี่ chords ละจมปลักกันฟอร์ม torus บิด Trichords ระยะห่างสองด้านของปริซึม และ trichords เป็นหนึ่งหรือพร้อมกันบนขอบของปริซึม Transposition เท่ากับคอร์ดที่ขนานกับเส้นทแยงมุมของ unisons ในพื้นที่คอร์ด เมื่อคอร์ดการถึงหน้าสุดท้ายของ orbifold นี้จะปรากฏอีกครั้งกับหนึ่งในสามบิดหน้าสิ้นสุดตรงกันข้าม (รูป นี้จะแสดงขึ้นในการเคลื่อนไหวจากหลัก E ถึง F สำคัญ) กลับเท่ากับสะท้อนข้ามตรงกลางของปริซึม เปลี่ยนคอร์ดชนิดเท่ากับย้ายตามแนวระนาบที่ตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมของ unisons Chords ที่ย้ายนี้สะท้อนออกด้านของปริซึม และอื่น ๆ นอกจากนี้ แนวคิดเหล่านี้ ตามพวกเขาอยู่มากมายที่ต่อเนื่อง ทั่วไป เพื่อปรับแต่งระบบอื่น temperament เท่ากับ twelve-tone และ chords ของจำนวนเสียงTymoczko แสดงที่ช่องว่างคอร์ดต่าง ๆ ได้มาจากแต่ละชั้นเทียบเท่า หรือเทียบเท่าสถาบัน ของ มา "วัด" หรือวัดระยะทางจากหลักของพวกเขา ในพื้นที่คอร์ด Euclidean เพียงอย่างเดียว นี่คือความจริงสัญญาณที่ช่วยให้แนวคิดของระยะเสียงชั้นนำที่จะใช้มากหรือน้อยเช่นเดียวกับชุดระดับชั้น (เทียบเท่า OPC), คอร์ดชนิด (เทียบเท่า OPTC), และชุดชั้น (เทียบเท่าแสง) ผู้ถือหุ้นเพิ่มเติมแสดงให้เห็นว่า แนวคิด ของเสียงชั้นนำ และดำเนิน การนำเสียงน้อยที่สุด ใช้ไม่เพียง chords และก้าวหน้าคอร์ด แต่ เพียงดี เครื่องชั่งน้ำหนักและ modulations จริง ๆ Tymoczko จน ใช้วัดระยะทางนำเสียงเดียวทั้งคอร์ดความก้าวหน้า และเอ็มมีพื้นฐานเรขาคณิตสำหรับเข้าใจอะไรมากนักดนตรีรู้สึก: ว่า มีความคล้ายตนเองก้าวหน้าคอร์ดในสเกลขนาดเล็กและ modulations ในกลางไปขนาดใหญ่ชนิดหนึ่งผู้ถือหุ้นไปในการหารือเกี่ยวกับดนตรี atonal เครื่องตั้งสายฮาร์โมนี่ โครงสร้างของคอร์ดปกติ และ normative ก้าวหน้า ร่วม สมัยใช้เครื่องชั่งน้ำหนักตัวแปร และอื่น ๆ อีกมากมายเรื่องเรขาคณิตพื้นฐานของคอร์ดด้วยการวัดระยะห่างเสียงนำเป็นหลักรวมกัน นอกจากนี้ สามัญวาดบนตัวอย่างเริ่มต้น ด้วย counterpoint สองเสียงของยุคกลาง และสิ้นสุด มี tonality ขยาย Dmitri Shostakovitch บิลอีแวนส์ และ Steve Reich คลิปเสียงคลิปวิดีโอตัวอย่างเหล่านี้จะสามารถเข้าถึงในเว็บไซต์พร้อมหนังสือข้าง บันทึกเหล่านี้ออนไลน์และนำคะแนนช่วยเพิ่มประโยชน์ของหนังสือ ด้วยแป้นพิมพ์ทักษะที่ผู้อ่านจะได้ประโยชน์จากการเล่นตัวอย่าง ผู้อ่านไม่ มีทักษะดังกล่าวจะได้ประโยชน์จากการระวังฟังคลิปเสียงคลิปวิดีโอออนไลน์ขณะต่อนำคะแนนหนังสือเล่มนี้เป็นขั้นตอนต่อไปตามเส้นทางที่เริ่มเมื่อ Pythagoras ระบุช่วงดนตรี ด้วยอัตราส่วนตัวเลข ได้ผ่านขั้นตอนของการเพิ่มความซับซ้อนทางคณิตศาสตร์ Tonnetz Leonhard ออยเลอร์ และ Arthur ฟอน Oettingen และการดำเนินการนำเสียงของ Hugo Riemann และตอนนี้ได้นำไปสู่สิ่งที่ efflorescence atonal ชุดทฤษฎี ทฤษฎีกลุ่ม ทฤษฎีนีโอ-Riemannianและเรขาคณิต ที่ตั้ง theorists เช่น Babbitt มิลตัน ("บางแง่มุมของ Twelve-Tone องค์ประกอบ" คะแนน และ IMA นิตยสาร 12, 1955), อัลเลนฟอร์เต้ (โครงสร้างของ Atonal เพลง กดมหาวิทยาลัยเยล 1973) และการเรียนเน้นคณิตศาสตร์เชิงการจัดและกลุ่มทฤษฎีกับการแสดงแยกกันของสนาม Tymoczko (ชอบบางภาวะทันสมัยหรือนีโอ Riemannian theorists ดูด้านล่าง) จะเป็นขั้นตอนทางคณิตศาสตร์หลังใช้ช่วงกว้างของนามธรรมพีชคณิตและเรขาคณิตกับการแสดงอย่างต่อเนื่องของสนาม นอกจากนี้ ผู้ถือหุ้นแสดงว่า บางปรากฏการณ์กลางของ tonality เช่นที่ "ความซื่อสัตย์" ของวงกลมของ fifths ในสะท้อนให้เห็นถึงความสัมพันธ์ที่ได้รับในช่องว่างสูงมิติคอร์ด ไม่เพียงพอเข้าใจโดยไม่ต้องนำเสนออย่างต่อเนื่องของระยะห่าง ผมเชื่อว่า คนเดียวนี้ suffices สร้างทฤษฎีความสำคัญของหนังสือนักปราชญ์ร่วมสมัยหลักที่ได้เขียนหนังสือที่เสนอกรอบทางคณิตศาสตร์รวมกันในทฤษฎีดนตรี เป็น Tymoczko (ใช้รูปทรงเรขาคณิต) และ Guerino Mazzola (ใช้ทฤษฎีประเภท Topos ที่เพลง Birkhaüser, 2002) บางที Fred Lerdahl (พื้นที่ระดับสูงต่ำ กดมหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด 2001) นอกจากนี้ยังควรกล่าวถึงการ และมีผู้อื่น ฉันไม่มีพื้นหลังในทฤษฎีดนตรีเพื่ออนุญาตให้สาธารณชนผู้เขียนเหล่านี้ การเปรียบเทียบการพิพากษาในความสำคัญ เป็นผู้ถือหุ้น หรือวิธีกองชน หรือเหมาะสมกับวิธีแข่งขันกัน ความจริงที่ว่า Tymoczko วิเคราะห์นำรู้จักเหมือนกัน (เช่นพรีลูดจากแดนตริของวากเนอร์ Isolde) มากมายทำ theorists อื่น ๆ ควรทำให้การเปรียบเทียบชนิดนี้ง่ายขึ้น แต่มันอาจจะเป็นเร็ว ๆ นี้ที่เกือบ ทั้งหมดของบทความเกี่ยวกับทฤษฎีดนตรีเป็นที่เผยแพร่ในนิตยสารวิทยาศาสตร์วันนำเสนอแนวความคิดพื้นฐานของทฤษฎีดนตรีเรขาคณิต (ภาพรวม โดย Julian Hook "สำรวจดนตรี เนื้อที่" 313 วิทยาศาสตร์ 2006 "เรขาคณิตของ Chords ดนตรี Dmitri Tymoczko วิทยาศาสตร์ 313, 2006 ภาพรวม โดยราเชลบ่อฮอลล์ "ทฤษฎีเพลง Geometrical วิทยาศาสตร์ 320, 2008 Callender คลิฟตั้น เอียน ควินน์ และ Dmitri Tymoczko "ช่องเสียงนำเมจแบบทั่วไป วิทยาศาสตร์ 320, 2008)หนึ่งในสิ่งที่ผู้ถือหุ้นพยายามทำจะให้มุมมองที่เรียบง่ายของทฤษฎีดนตรี ตามหลักแทนที่เป็นรายการของกฎและข้อยกเว้น หนังสือเล่มนี้อย่างแน่นอนไม่นี้สำหรับฉัน เรื่องเดิมพบทึบน้อย เช่น sixths ที่เยอรมันและฝรั่งเศสจริง ๆ ทำงานอย่างไร หรือทำไมเปลี่ยนแปลงที่สำคัญบางอย่างทั่วไปอื่น ๆ หรือวิธีทดแทนโรงแรมไตรพอดี ตอนนี้ชัดเจนมากขึ้น ดังนั้น สำหรับฉัน รวมกันพยายาม Tymoczko ในบางส่วนได้เกิดขึ้นแล้วอีกสิ่งหนึ่งที่ผู้ถือหุ้นแตกต่างจากเขียนมากในทฤษฎีดนตรีที่ผมเห็น มาของความมุ่งมั่นต่อ occasiona

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ปก, 2011, ไอ 978-0-19-533667-2, 450 หน้ามีภาพประกอบดัชนีอ้างอิงและตัวอย่างออนไลน์, US $ 39.95; พร้อมใช้งานจากมหาวิทยาลัย Oxford กด 198 Madison Avenue, New York, New York 10016 สหรัฐอเมริกา; โทรศัพท์ ([phone]; http://www.oup.com; ตัวอย่างออนไลน์และการสนับสนุนวัสดุ:. http://www.oup.com/us/companion.websites/9780195336672/examples/?view=usa/ สอบทานโดยไมเคิล Gogins New York, New York, USA ผมเชื่อว่าเรขาคณิตดนตรี ( ต่อไปนี้จะประชุมผู้ถือหุ้น) เป็นหนังสือที่พื้นแตกในทฤษฎีดนตรี ตามที่ Dmitri Tymoczko "ในขณะที่ผู้ชมที่กำหนดไว้ของฉันประกอบด้วยคีตกวีและนักทฤษฎีดนตรีผมได้พยายามที่จะเขียนในลักษณะที่สามารถเข้าถึงได้ให้กับนักเรียนและทุ่มเทมือสมัครเล่น." ถ้าประสบการณ์ของตัวเองเป็นคู่มือใด ๆ ที่ประชุมผู้ถือหุ้นจะเป็นประโยชน์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการประพันธ์เพลง ใครเหมือนตัวเองใช้คอมพิวเตอร์ในการประกอบ อันที่จริงความคิดเห็นนี้ถูกเขียนขึ้นส่วนใหญ่มาจากมุมมองของนักแต่งเพลงอัลกอริทึม แต่เท่าที่ศึกษาตามอัธยาศัยของฉันในใบอนุญาตทฤษฎีดนตรีผมก็จะพยายามที่จะให้หนังสือเล่มบางบริบททางประวัติศาสตร์และทฤษฎี. ประชุมผู้ถือหุ้นสังเคราะห์ประมาณ 15 ปีของการทำงานโดยผู้เขียน (และบางทฤษฎีอื่น ๆ ) ต่อการพัฒนาความเข้าใจเรขาคณิตของหลาย ปรากฏการณ์ในเสียงชั้นนำโครงสร้างคอร์ดชยาทฤษฎีขนาดและการปรับ จุดเริ่มต้นคือการกำหนดคอร์ดแต่ละเป็นจุดเดียวในยุคลิดอย่างต่อเนื่อง "พื้นที่คอร์ด" ที่มีขนาดเป็นจำนวนมากของสนามเป็นคอร์ดมีเสียง นี้คิดที่เรียบง่ายจะเปิดออกจะมีผลอย่างมาก Tymoczko ตะล่อมระบุว่ามาตรการที่ใช้กันทั่วไปของระยะทางเสียงชั้นนำเห็นด้วยกับความยาวของระยะทางจากจุดคอร์ดหนึ่งไปยังจุดคอร์ดอีกในพื้นที่คอร์ด. ประชุมผู้ถือหุ้นเสนอเพลงที่ซึ่งเป็นโทนสีในความหมายที่กว้างที่สุดของคำว่าจากจุดเริ่มต้น ของเวสเทิร์จนพฤกษ์ tonality นานในวันนี้และในหลายรูปแบบที่แตกต่างกันคลาสสิกและเป็นที่นิยมมีการเคลื่อนไหวร่วมกันไพเราะ, สอดคล้องอะคูสติกสอดคล้องประสาน จำกัด macroharmony (คิดจากขนาดมากกว่าหรือน้อยกว่า) และ centricity (มีศูนย์วรรณยุกต์ ในความหมายมาตรฐาน) ฉันสงสัยว่าสำหรับทฤษฎีทางวิชาการที่น่าสนใจหลักของการประชุมผู้ถือหุ้นจะได้รับการใช้งานของความหมายทางเรขาคณิตของระยะเสียงที่นำไปสู่การพัฒนาความรู้ความเข้าใจในปรากฏการณ์เหล่านี้. ตามทฤษฎี Tymoczko ของคอร์ดเป็นจุดและเสียงชั้นนำ การเคลื่อนไหวจากจุดหนึ่งไปอีกจุดหนึ่ง แน่นอนทฤษฎีเพลงใช้ระดับที่แตกต่างกันของนามธรรมในการคิดเกี่ยวกับคอร์ดและเครื่องชั่งน้ำหนัก ทฤษฎีมักจะเป็นนามธรรมจากคำสั่งของเสียงที่พวกเขามักจะไม่สนใจโดยเฉพาะอย่างยิ่งคู่ของสนามและบางครั้งก็ไม่สนใจโดยเฉพาะอย่างยิ่งการผกผันของคอร์ด และพวกเขามักจะไม่สนใจเสียง doublings ประชุมผู้ถือหุ้นแสดงให้เห็นว่าแต่ละระดับเหล่านี้ของนามธรรมว่าสอดคล้องกับสิ่งที่นักคณิตศาสตร์เรียก "ชั้นความเท่าเทียมกัน" ในพื้นที่คอร์ด ยกตัวอย่างเช่นการกำหนดมาตรฐานของ "ชุดสนามคลาส" สอดคล้องกับการรวมชั้นสมมูลสำหรับคู่ ("O"), คำสั่งเสียง ("P" สำหรับการเปลี่ยนแปลง) และจำนวนของเสียง ("C" สำหรับ cardinality) : OPC เรียนเทียบเท่าอื่น ๆ "T" (สำหรับเท่าเทียมแปลคือ OPTC คอร์ดเทียบเท่าเป็นประเภทคอร์ดเดียวกัน) และ "ฉัน" (สำหรับเท่าเทียม inversional). เมื่อชั้นสมมูลหรือการรวมกันของการเรียนจะเรียกเก็บตามพื้นที่แล้ว ทุกจุดที่เหมือนกันด้วยความเคารพต่อชั้นสมมูลกลายเป็น "ติดกาวเข้าด้วยกัน." พื้นที่จึงกลายเป็น "พื้นที่ความฉลาด" หรือ "orbifold." ตัวอย่างเช่นพื้นที่คอร์ดสำหรับ trichords ภายใต้ความเท่าเทียม OPC กลายเป็นปริซึมเอียงที่ใบหน้าด้านเท่ากันหมด ถูกจับด้วยกันแบบโมดูโลบิดหนึ่งในสาม (orbifold สำหรับ trichords) จุดคอร์ดในสิบสองเสียงเท่ากันนิสัยเป็นลูกบอลสี สายเชื่อมต่อคอร์ดเป็นดนตรีเสียง leadings สี่เพิ่ม triads วิ่งขึ้นศูนย์กลางของปริซึมนี้; สิบสองที่สำคัญและสิบสอง triads เล็กน้อยล้อมรอบ triads ยิ่งในหกคอลัมน์สลับสี่คอร์ดแต่ละติดกาวกันในรูปแบบพรูบิด trichords สองสนามอยู่บนด้านข้างของปริซึมและหนึ่งในสนามหรือพร้อมเพรียง trichords อยู่บนขอบของปริซึม ขนย้ายเท่ากับย้ายคอร์ดขนานกับเส้นทแยงมุมของ unisons ในพื้นที่คอร์ด เมื่อคอร์ดถึงใบหน้าในตอนท้ายของ orbifold นี้มันปรากฏขึ้นอีกครั้งกับบิดหนึ่งในสามบนใบหน้าปลายตรงข้าม (ในรูปนี้จะแสดงให้เห็นในการเคลื่อนไหวจาก E ที่สำคัญในเอฟเมเจอร์) ผกผันเท่ากับสะท้อนให้เห็นถึงข้ามตรงกลางของปริซึม เปลี่ยนประเภทคอร์ดเท่ากับย้ายตามระนาบตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมของ unisons คอร์ดที่ย้ายแบบนี้สะท้อนออกด้านข้างของปริซึม เป็นต้น นอกจากนี้แนวคิดเหล่านี้ตามที่พวกเขาอยู่ในท่อร่วมไอดีอย่างต่อเนื่องพูดคุยกับระบบการปรับแต่งอื่น ๆ กว่าสิบสองโทนเท่ากันนิสัยและคอร์ดของจำนวนเสียงใด ๆ . Tymoczko แสดงให้เห็นว่าช่องว่างคอร์ดต่างๆที่ได้จากแต่ละชั้นสมมูลหรือการรวมกัน ของชั้นสมมูลสืบทอด "ตัวชี้วัด" หรือตัวชี้วัดของระยะทางจากพ่อแม่ของพวกเขาในพื้นที่คอร์ดยุคลิดอย่างหมดจด นี่คือความจริงสัญญาณที่ช่วยให้แนวคิดของระยะทางเสียงชั้นนำที่จะใช้ในมากหรือน้อยในลักษณะเดียวกันด้วยความเคารพต่อชุดสนามชั้น (ความเท่าเทียม OPC) ประเภทคอร์ด (เท่าเทียม OPTC) และการตั้งค่าคลาส (เท่าเทียม OPTIC ) ประชุมผู้ถือหุ้นต่อไปแสดงให้เห็นว่าแนวคิดของเสียงชั้นนำและการดำเนินงานเสียงชั้นนำน้อยใช้ไม่เพียง แต่จะคอร์ดและคอร์ด แต่เพียงเป็นอย่างดีเพื่อชั่งน้ำหนักและการปรับ อันที่จริง Tymoczko ระบุการใช้มาตรการเดียวกันของระยะทางเสียงชั้นนำทั้งชยาและการปรับให้รากฐานทางเรขาคณิตสำหรับการทำความเข้าใจสิ่งที่นักดนตรีหลายคนรู้สึกว่ามีชนิดของตัวเองความคล้ายคลึงกันระหว่างคอร์ดในขนาดเล็กและ การปรับในระดับปานกลางถึงมาก. ประชุมผู้ถือหุ้นไปในการหารือเกี่ยวกับท่วงทำนองเพลงสามัคคีสี, โครงสร้างของคอร์ดทั่วไปและกฎเกณฑ์ที่ใช้สมัยใหม่และร่วมสมัยของเครื่องชั่งที่แตกต่างกันและเรื่องอื่น ๆ อีกมากมายโดยใช้รูปทรงเรขาคณิตพื้นฐานของพื้นที่คอร์ดกับ การวัดระยะทางของเสียงชั้นนำหลักการรวมกัน นอกจากนี้การประชุมผู้ถือหุ้นดึงตัวอย่างเริ่มต้นด้วยความแตกต่างสองเสียงของยุคกลางและลงท้ายด้วย tonality ขยายของ Dmitri Shostakovitch บิลอีแวนส์และสตีฟรีค คลิปเสียงของตัวอย่างเหล่านี้จะสามารถเข้าถึงได้ให้กับประชาชนบนเว็บไซต์ที่มาพร้อมกับหนังสือที่ระบุไว้ข้างต้น เหล่านี้บันทึกออนไลน์และตัดตอนคะแนนช่วยเพิ่มประโยชน์ของหนังสือเล่มนี้ ผู้อ่านที่มีทักษะแป้นพิมพ์จะได้รับประโยชน์จากการเล่นผ่านตัวอย่าง ผู้อ่านไม่มีทักษะดังกล่าวจะได้รับประโยชน์จากการฟังอย่างระมัดระวังเพื่อคลิปเสียงออนไลน์ในขณะที่ต่อไปนี้ตัดตอนคะแนน. หนังสือเล่มนี้เป็นขั้นตอนต่อไปตามเส้นทางที่เริ่มต้นขึ้นเมื่อพีธากอรัสระบุช่วงเวลาที่ดนตรีมีอัตราส่วนตัวเลขได้ผ่านขั้นตอนของความซับซ้อนทางคณิตศาสตร์ที่เพิ่มขึ้นด้วย Tonnetz ของ Leonhard ออยเลอร์และอาเธอร์ฟอน Oettingen และการดำเนินงานเสียงชั้นนำของฮิวโก้รีมันน์และตอนนี้กำลังนำไปสู่บางสิ่งบางอย่างของการออกดอกของทฤษฎีเซตท่วงทำนองทฤษฎีกลุ่มทฤษฎีนีโอรีมันและรูปทรงเรขาคณิต ในกรณีที่นักทฤษฎีชุดเช่นมิลตันหน้าเลือด ("บางแง่มุมขององค์ประกอบสิบสองโทน" คะแนนและ IMA นิตยสาร 12, 1955) อัลเลน Forte (โครงสร้างของท่วงทำนองเพลง, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเยล 1973) และมุ่งเน้นโรงเรียนของพวกเขาใน combinatorics และ ทฤษฎีกลุ่มนำไปใช้กับการแสดงที่ไม่ต่อเนื่องของสนาม, Tymoczko (เช่นบางทฤษฎีการเปลี่ยนแปลงหรือนีโอรีมันร่วมสมัยดูด้านล่าง) จะใช้เวลาขั้นตอนทางคณิตศาสตร์กลับไปใช้ช่วงกว้างของพีชคณิตนามธรรมและรูปทรงเรขาคณิตมาประยุกต์ใช้กับการแสดงอย่างต่อเนื่องของสนาม นอกจากนี้ประชุมผู้ถือหุ้นแสดงให้เห็นว่าบางส่วนของปรากฏการณ์กลางของ tonality เช่น "ความสัตย์ซื่อ" ของวงกลมของเศษในสะท้อนให้เห็นถึงความสัมพันธ์ที่ได้รับในพื้นที่คอร์ดสูงมิติไม่สามารถเข้าใจได้อย่างเพียงพอโดยไม่ต้องเป็นตัวแทนอย่างต่อเนื่องของสนาม ผมเชื่อว่านี่คนเดียวพอเพียงที่จะสร้างทฤษฎีความสำคัญของหนังสือเล่มนี้. นักวิชาการร่วมสมัยหลักที่ได้เขียนหนังสือเสนอกรอบการทำงานทางคณิตศาสตร์สำหรับการรวมทฤษฎีดนตรีเป็น Tymoczko (โดยใช้รูปทรงเรขาคณิต) และ Guerino Mazzola (โดยใช้ทฤษฎีประเภทใน Topos ดนตรี Birkhauser , 2002) บางทีอาจจะเป็นเฟร็ด Lerdahl (วรรณยุกต์ลาดอวกาศสำนักพิมพ์มหาวิทยาลัย, 2001) นอกจากนี้ยังควรจะกล่าวถึง และมีคนอื่น ๆ ฉันไม่ได้มีพื้นหลังในทฤษฎีดนตรีเพื่อให้ฉันไปทั่วถึงเปรียบเทียบผู้เขียนเหล่านี้หรือที่จะทำให้การตัดสินใจขั้นสุดท้ายในการประชุมผู้ถือหุ้นว่ามีความสำคัญเป็นหรือว่ากองขึ้นกับหรือเหมาะกับการร่วมกันด้วยวิธีการแข่งขัน ความจริงที่ว่าวิเคราะห์ Tymoczko หลายเดียวกันเนื้อหาที่รู้จักกันดี (เช่นโหมโรงจากวากเนอร์อุโมงค์ลม) เช่นเดียวกับทฤษฎีอื่น ๆ ควรจะทำให้ชนิดของการเปรียบเทียบนี้ได้ง่ายขึ้น แต่มันอาจจะเป็นที่น่าสังเกตว่าเกือบทั้งหมดของบทความในทฤษฎีดนตรีเป็นเช่นที่ได้รับการตีพิมพ์ในวันที่นิตยสารวิทยาศาสตร์นำเสนอความคิดพื้นฐานของทฤษฎีดนตรีเรขาคณิต (ภาพรวมโดยจูเลียนตะขอ "การสำรวจอวกาศดนตรี" วิทยาศาสตร์ 313, 2006 "รูปทรงเรขาคณิตของคอร์ดดนตรี" Dmitri Tymoczko วิทยาศาสตร์ 313, 2006 ภาพรวมโดยราเชลเวลส์ฮอลล์ "เพลงเรขาคณิตทฤษฎี" วิทยาศาสตร์ 320, 2008; คลิฟตัน Callender เอียนควินน์และดิมิทรี Tymoczko "ทั่วไปเสียงชั้นนำ Spaces "วิทยาศาสตร์ 320, 2008). หนึ่งในสิ่งที่ประชุมผู้ถือหุ้นที่มีการพยายามที่จะทำคือการให้มุมมองที่เรียบง่ายของทฤษฎีดนตรีบนพื้นฐานของหลักการมากกว่ารายชื่อของกฎระเบียบและข้อยกเว้น หนังสือเล่มนี้อย่างแน่นอนไม่นี้สำหรับฉัน เรื่องผมเดิมพบมากขึ้นหรือทึบแสงน้อยเช่นวิธีเหล่านั้น sixths เยอรมันและฝรั่งเศสจริงๆทำงานหรือทำไมการเปลี่ยนแปลงที่สำคัญบางอย่างที่พบได้บ่อยกว่าคนอื่น ๆ หรือวิธีการแทน Tritone พอดีในตอนนี้ห่างไกลที่ชัดเจน ดังนั้นสำหรับฉันการผสมผสาน Tymoczko เป็นความพยายามที่มีอยู่ในบางส่วนได้รับการประสบความสำเร็จ. สิ่งที่แตกต่างจากการเขียนประชุมผู้ถือหุ้นมากในทฤษฎีดนตรีที่ฉันได้เห็นก็คือความใฝ่ฝันที่มีต่อและ occasiona

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ปกแข็ง , 2011 , ISBN 978-0-19-533667-2 450 หน้า มีภาพประกอบ , ดัชนี , การอ้างอิงบรรณานุกรม และตัวอย่างออนไลน์ , US $ 39.95 ; พร้อมใช้งานจากมหาวิทยาลัยออกฟอร์ดกด 198 Madison Avenue , New York , New York 10016 สหรัฐอเมริกา ; โทรศัพท์ ( 1 ) 212-726-6000 ; http://www.oup.com ; ตัวอย่างออนไลน์และสนับสนุนวัสดุ http://www.oup.com/us/companion.websites/9780195336672/examples/ ? มุมมอง = USA

/ตรวจสอบโดยไมเคิล gogins
นิวยอร์ก นิวยอร์ก สหรัฐอเมริกา

ผมเชื่อว่าลักษณะทางเรขาคณิตของเพลง ( ซึ่งผู้ถือหุ้น ) เป็นกฎในหนังสือทฤษฎีดนตรี ตามดิมิทรี ทีม็ ซ์โก , " ในขณะที่ฉันระบุผู้ชมประกอบด้วยคีตกวีและทฤษฎีดนตรี , ฉันได้พยายามที่จะเขียนในลักษณะที่สามารถเข้าถึงได้ให้กับนักเรียน และโดยเฉพาะมือสมัครเล่น ถ้าประสบการณ์ของตัวเองใด ๆคู่มือผู้ถือหุ้นจะเป็นประโยชน์โดยเฉพาะอย่างยิ่งกับคีตกวีที่เหมือนตัวเองใช้คอมพิวเตอร์ในองค์ประกอบ จริงๆ บทความนี้ถูกเขียนเป็นหลักจากมุมมองของนักแต่งเพลงขั้นตอนวิธี แต่เท่าที่ตามอัธยาศัยในใบอนุญาตทฤษฎีดนตรี ผมก็พยายามจะให้จองทางประวัติศาสตร์และบริบทเชิงทฤษฎี .

ประชุมสังเคราะห์ประมาณ 15 ปีของการทำงาน โดยผู้เขียน ( และทฤษฎีอื่น ๆ ) ที่มีต่อการพัฒนาความรู้ทางเรขาคณิตของปรากฏการณ์หลายในนำเสียง , โครงสร้าง , คอร์ดก้าวหน้า แนวคิด ทฤษฎี และการปรับสเกลคอร์ด จุดเริ่มต้นของการกำหนดแต่ละคอร์ดเป็นจุดเดียวในคุณภาพอย่างต่อเนื่อง " คอร์ดพื้นที่ " ที่มีหลายมิติมืดเป็นคอร์ด มีเสียงคิดง่าย ๆนี้กลับกลายเป็นอย่างมาก มีผล ทำให้ ทีม็ ซ์โกแย้งว่า มักใช้มาตรการนำเสียงทางไกลเห็นด้วยกับความยาวของระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังจุดอื่นในคอร์ดคอร์ดคอร์ดพื้นที่

ประชุมเสนอว่าเพลงที่ใช้ในความหมายกว้างของระยะจากจุดเริ่มต้นของตะวันตก จนขยายไปหลายเสียง tonality ของวันนี้และในรูปแบบคลาสสิกและเป็นที่นิยมที่แตกต่างกันหลายลักษณะที่รวมกันไพเราะเคลื่อนไหวเสียง Consonance ความสอดคล้องประสานกัน จำกัด macroharmony ( ความคิดของขนาดมากกว่าหรือน้อยกว่า ) , และ Centricity ( มีศูนย์วรรณยุกต์ในแง่มาตรฐาน ) ผมสงสัยว่า นักวิชาการความสนใจหลักของผู้ถือหุ้นจะถูกใช้ในความหมายทางเรขาคณิตของนำเสียงทางไกลเพื่อพัฒนาความเข้าใจที่ลึกของปรากฏการณ์เหล่านี้

ตามทฤษฎี ทีม็ ซ์โก , คอร์ดจุด และนำเสียงจะเคลื่อนที่จากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง . แน่นอน ครูเพลงใช้หลายระดับนามธรรมในคิดเกี่ยวกับคอร์ดและเครื่องชั่งนักทฤษฎีมักจะนามธรรมจากคำสั่งเสียง พวกเขามักจะเพิกเฉยต่อเสียงใดเสียงหนึ่ง และบางครั้งแม้แต่ละเว้นการเฉพาะของคอร์ด และเขามักจะเพิกเฉยต่อเสียง doublings . เป็นการแสดงให้เห็นว่า แต่ละเหล่านี้ระดับนามธรรมว่าสอดคล้องกับสิ่งที่นักคณิตศาสตร์เรียก " ชั้นสมมูลคอร์ด " ในพื้นที่ ตัวอย่างเช่นนิยามมาตรฐานของ " สนามเรียนชุด " สอดคล้องกับการรวมค่าเรียนใหม่ ( " o " ) , ( " P " คำสั่งเสียงสำหรับการเปลี่ยนแปลง ) และจำนวนเสียง ( " C " สำหรับภาวะเชิงการนับ ) : OPC . คลาสที่สมมูลกัน " T " ( แปลเทียบเคียง เช่น optc เทียบเท่าคอร์ดประเภทคอร์ดเดียวกัน ) และ " ฉัน " (
inversional เทียบเท่า )เมื่อชั้นสมมูลหรือการรวมกันของชั้น จะถูกกำหนดตามพื้นที่แล้วทุกจุดที่เหมือนกันกับการเคารพชั้นสมมูลกลายเป็น " ติดกาวเข้าด้วยกัน . " พื้นที่จึงกลายเป็นหาร " พื้นที่ " หรือ " orbifold ตัวอย่างเช่น