Proof. Recall that, for all i = 1,.

Proof. Recall that, for all i = 1,...,n − 1, i
n is the number of words of length n which
can be formed from a subset of i letters; 
n
i

is the number of ways of choosing i letters
from our alphabet. Hence the product 
n
i

i
n counts the words of length n containing at
most i different letters, but each word is counted more than once. Precisely, in the sum
(5), for every integer k, 1 ≤ k ≤ n − 1, each word containing exactly k letters is counted
one time for each i-subset containing these k letters. The number of these subsets is
equal to the number of ways in which we can pick i − k letters from the remaining n − k
letters of the alphabet, i.e., it is equal to 
n−k
i−k

. Therefore, in (5), each word with exactly
k letters is counted − n−1
i=k (−1)n−i

n−k
i−k

times in total. Hence the claim is proven once
we have shown that

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

หลักฐาน จำได้ว่าสำหรับทุก i = 1, ... , n - 1 ฉัน
n คือจำนวนคำยาว n
ซึ่งสามารถเกิดขึ้นได้จากการย่อยของฉันตัวอักษรนั้น ?
n
ฉัน? เป็นหลายวิธีในการเลือกตัวอักษรที่ฉันจากตัวอักษรของเรา ดังนั้นผลิตภัณฑ์? n ฉัน? ฉันn นับคำพูดของยาว n มีที่มากที่สุดฉันตัวอักษรที่แตกต่างกันแต่แต่ละคำจะถูกนับมากกว่าหนึ่งครั้ง แม่นยำในผลรวม(5) สำหรับจำนวนเต็ม k ทุก 1 ≤ k ≤ n - 1, แต่ละคำที่มีตัวอักษรว่า k นับครั้งเดียวสำหรับแต่ละแบบi-ย่อยที่มีตัวอักษร k เหล่านี้ จำนวนย่อยเหล่านี้จะเท่ากับจำนวนของวิธีที่เราสามารถเลือกฉัน - k จากตัวอักษรที่เหลือ n - k? ตัวอักษรของตัวอักษรคือมันจะมีค่าเท่ากับn-k I-k? ดังนั้นใน (5), คำที่มีว่าแต่ละตัวอักษรจะถูกนับk -? n-1 i = k (-1) n ฉัน? n-k I-k? ครั้งรวม ดังนั้นการเรียกร้องได้รับการพิสูจน์ครั้งหนึ่งที่เราได้แสดงให้เห็นว่า

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

พิสูจน์ จำได้ว่า ผม = 1 , . . . , n − 1 , ผม
n คือหมายเลขของคำที่มีความยาว n ซึ่ง
สามารถเกิดขึ้นจากเซตย่อยของตัวอักษร 
-
ผม

 คือจำนวนวิธีเลือกฉันตัวอักษร
จากตัวอักษรของเรา ผลิตภัณฑ์นี้ 
-
ผม

ผม 
n . คำที่มีความยาว n
ที่สุดที่ฉันแตกต่างกันจดหมาย แต่แต่ละคำนับได้มากกว่าหนึ่งครั้ง แน่นอน ในผลรวม
( 5 ) สำหรับทุกจำนวนเต็ม K ,1 ≤ K ≤ n − 1 แต่ละคำที่มีตัวอักษรตรง K นับ
เวลาหนึ่งสำหรับแต่ละ i-subset ที่มีตัวอักษร K เหล่านี้ จำนวนของส่วนย่อยเหล่านี้
เท่ากับจำนวนของวิธีการที่เราสามารถเลือกฉัน− K ตัวอักษรจากที่เหลือ N − K
ตัวอักษรของตัวอักษร เช่น มันเท่ากับ 
n −− K K
ผม 

ดังนั้น ใน ( 5 ) แต่ละคำทุกประการ
K ตัวอักษรนับ n − 1 − 
K ( − 1 ) = n −ผม

−− n k k


ผม  ครั้งในทั้งหมด ดังนั้นการเรียกร้องพิสูจน์เมื่อ
เราแสดงว่า