1.4 Reducing Multiple Integrals to

1.4 Reducing Multiple Integrals to Single Integrals

It will be seen later that we can convert initial value problems and other
problems to integral equations. It is normal to outline the formula that will
reduce multiple integrals to single integrals. We will first show that the double
integral can be reduced to a single integral by using the formula:
0x 0x1 F (t)dtdx1 = 0x (x − t)F (t)dt. (1.123)

This can be easily proved by two ways. The first way is to set
G(x) = 0x (x − t)F (t)dt, (1.124)

where G(0) = 0. Differentiating both sides of (1.124) gives
G (x) = 0x F (t)dt, (1.125)

obtained by using the reduced Leibnitz rule. Now by integrating both sides
of the last equation from 0 to x yields
G(x) = 0x 0x1 F (t)dtdx1. (1.126)

Consequently, the right side of the two equations (1.124) and (1.126) are
equivalent. This completes the proof.
For the second method we will use the concept of integration by parts.
Recall that
udv = uv − vdu,


x1 (1.127)
u(x1) = F (t)dt,
0

then we find
x x1 x1 x x

F (t)dtdx = x F (t)dt − x F (x )dx
1 1 1 1 1
0 0 0 0
0
= x x F (t)dt − x x F (x )dx (1.128)

1 1 1
0 0
= 0x (x − t)F (t)dt,

obtained upon setting x1 = t.
The general formula that converts multiple integrals to a single integral is
given by
x x1 · · · xn−1 u(xn)dxndxn−1 · · ·dx1 = 1 x (x − t)n−1u(t)dt.

0 0 0 (n − 1)! 0
(1.129)
The conversion formula (1.129) is very useful and facilitates the calculation
works. Moreover, this formula will be used to convert initial value problems
to Volterra integral equations.

Corollary

As a result to (1.129) we can easily show the following corollary

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

1.4 ลดปริพันธ์หลายปริพันธ์เดียว

มันจะเห็นได้ว่าหลังจากที่เราสามารถแปลงปัญหาค่าเริ่มต้นและปัญหาอื่น ๆ ที่จะ
สมการหนึ่ง มันเป็นเรื่องปกติท​​ี่จะร่างสูตรที่จะช่วยลด
ปริพันธ์หลายปริพันธ์เดียว ครั้งแรกที่เราจะแสดงให้เห็นว่าสอง
หนึ่งจะลดลงหนึ่งเดียวโดยใช้สูตร:
0x 0x1 f (t) dtdx1 = 0 x (x - t) f (t) dt (1.123)

นี้สามารถพิสูจน์ได้อย่างง่ายดายโดยสองวิธี วิธีแรกคือการตั้งค่า
g (x) = 0 x (x - t) f (t) dt, (1.124)

ที่ g (0) = 0 ความแตกต่างของทั้งสองฝ่าย (1.124) ให้
g (x) = 0 x f (t) dt, (1.125)

ได้โดยใช้กฎที่ลดลง Leibnitz ขณะนี้โดยการบูรณาการทั้งสอง
ด้านของสมการล่าสุดจาก 0 ถึงอัตราผลตอบแทน x
g (x) = 0 x 0x1 f (t) dtdx1 (1.126)

ดังนั้นทางด้านขวามือของทั้งสองสมการ (1.124) และ (1.126) จะเทียบเท่า
นี้เสร็จสมบูรณ์หลักฐาน
สำหรับวิธีที่สองเราจะใช้แนวคิดของการรวมตัวกันโดยชิ้นส่วน

จำได้ว่า UDV = ยูวี - VDU,


x1 (1.127)
U (x1) = f (t) dt,
0

แล้วเราพบว่า x
x1 x1 xx

f (t) = dtdx XF (t) dt - XF (x​​) DX
1 1 1 1 1
0 0 0 0
0
= xxf (t) dt - xxf (x) DX (1.128)

1 1 1 0
0
= 0x (x - t) f (t) dt

ได้รับการตั้งค่า x1 t =
สูตรทั่วไปที่แปลงปริพันธ์หลายหนึ่งเดียวที่ไ​​ด้รับจาก

x x1 ··· xn-1 ท่าน (xn) dxndxn-1 ··· dx1 = 1 x (x - t) n-1u (t) dt

0 0 0 (n - 1)! 0
(1.129)
สูตรการแปลง (1.129) มีประโยชน์มากและอำนวยความสะดวกในการคำนวณผลงาน
ยิ่งไปกว่านั้นสูตรนี้จะถูกใช้ในการแปลงปัญหาค่าเริ่มต้น
ไป Volterra สมการหนึ่ง ควันหลง



เป็นผลมาถึง (1.129) เราได้อย่างง่ายดายสามารถแสดงข้อพิสูจน์ต่อไปนี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

1.4 ลดหลายปริพันธ์ปริพันธ์เดียว

มันจะสามารถดูได้ในภายหลังว่า เราสามารถแปลงปัญหาค่าเริ่มต้นและอื่น ๆ
ปัญหาเป็นสมการ เป็นเรื่องปกติที่เค้าสูตรที่จะ
ลดหลายปริพันธ์ปริพันธ์เดียว เราจะ first แสดงว่าพยัญชนะ
สามารถลดลงทฤษฎีบูรณาการเป็นทฤษฎีบูรณาการเดียว โดยใช้สูตร:
dtdx1 0 x 0x1 F (t) = 0 x (x − t) dt F (t) (1.123)

นี้สามารถจะได้พิสูจน์ โดยสองวิธีการ first เป็นทางการ ตั้ง
G(x) = 0 x (x − t) dt F (t), (1.124)

ที่ G(0) = 0 ให้ทั้งสองฝ่าย (1.124) Differentiating
G (x) = 0 x dt F (t), (1.125)

ได้ โดยใช้กฎ Leibnitz ลดลง ตอนนี้ โดยรวมทั้งสองด้าน
ของสมการสุดท้าย 0 x ทำให้
G(x) = dtdx1 0 x 0x1 F (t) (1.126)

ดังนั้น ด้านขวาของสมการสอง (1.124) และ (1.126)
เทียบเท่านั้น เสร็จสิ้นการพิสูจน์
สำหรับวิธีที่สอง เราจะใช้แนวคิดของการรวมส่วน
นึกที่
udv = uv − vdu,


x 1 (1.127)
u(x1) = F (t) dt,
0

แล้วเรา find
x x 1 x 1 x x

dtdx F (t) = dt F (t) x − x F (x) dx
1 1 1 1 1
0 0 0 0
0
= x x F (t) dt − x x F (x) dx (1.128)

1 1 1
0 0
0 x (t x −) = F (t) dt,

รับตามค่า x 1 =ต.
สูตรทั่วไปที่แปลงปริพันธ์หลายทฤษฎีบูรณาการเดียว
กำหนดโดย
x x 1 ··· xn−1 u (xn) dxndxn−1 · ·dx1 · = 1 x (x − t) n−1u (t) dt

0 0 0 (n − 1) 0
(1.129)
สูตรแปลง (1.129) มีประโยชน์มาก และอำนวยความสะดวกในการคำนวณ
ทำงาน นอกจากนี้ สูตรนี้จะใช้การแปลงปัญหาค่าเริ่มต้น
การ Volterra เป็นสมการ

Corollary

ดัง ไป (1.129) เราสามารถได้แสดง corollary ต่อไปนี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

1.4 การลดหลาย integrals Single integrals

มันจะได้เห็นใน ภายหลัง ว่าเราจะสามารถแปลงปัญหาค่าเริ่มต้นและอื่นๆ
ปัญหาที่จะสมในตัว เป็นเรื่องปกติที่จะช่วยกำหนดกรอบสูตรที่จะ
ลด integrals integrals เดียวหลายคนที่ต้องการ เราจะ first แสดงให้เห็นว่าคู่
ในตัวสามารถลดลงได้ในตัวเดียวโดยใช้สูตร
0 x 0 x 1 F ( T ) dtdx 1 = 0 x ( X - T ), F ( T )วันที่ปรับปรุงล่าสุด ( 1.123 )

แห่งนี้จะสามารถทำได้อย่างง่ายดายพิสูจน์ได้จากสองวิธี. วิธี first คือการตั้งค่า DT
G ( X )= 0 x ( X - T ), F ( T )( 1.124 )

ที่ G ( 0 )= 0 differentiating ทั้งสองด้านของ( 1.124 )ช่วยให้ DT
G ( X )= 0 x F ( T )( 1.125 )

ได้รับโดยใช้กฎข้อที่ไลบ - นิทซลดลง ในตอนนี้โดยการรวมทั้งสองด้าน
ของสมการสุดท้ายจาก 0 ถึง x อัตราผลตอบแทน
G ( X )= 0 x 0 x 1 F ( T ) dtdx1 . ( 1.126 )

ดังนั้นจึงมีผลทำให้ผลทางด้านขวาของสองสม( 1.124 )และ( 1.126 )มี
เทียบเท่า นี้เสร็จสมบูรณ์จะปรากฏหลักฐานการได้
สำหรับวิธีที่สองที่เราจะใช้แนวความคิดของการบูรณาการโดยชิ้นส่วน

udv ระลึกว่า= UV - vdu ,


x 1 ( 1.127 )
U ( x 1 )= F ( T ) DT ,
0

จากนั้นเรา find
X / X 1 x 1 X / X

F ( T ) dtdx = x F ( T ) DT - X F ( X ), DX
1111100

000
= X / X F ( T ) DT - X / X F ( X ),( 1.128 )

11100

= 0 x ( X - T ), F ( T ) DT

ได้รับเมื่อการตั้งค่า X 1 = T .
โดยทั่วไปหลายสูตรที่จะแปลง integrals ในที่เดียวในตัวมี

โดย X / X 1 ??? xn - 1 U ( xn ) dxndxn - 1 ?? DX 1 = 1 x ( X - T ), N - 1 U ( T )วันที่ปรับปรุงล่าสุด

000 ( N - 1 )! 0
( 1.129 )
สูตรการแปลง( 1.129 )มีประโยชน์เป็นอย่างมากและจะช่วยเพิ่มความสะดวกในการคำนวณที่
ทำงาน ยิ่งไปกว่านั้นสูตรนี้จะถูกใช้ในการแปลงปัญหาค่าเริ่มต้น
เพื่อสม Volterra ในตัว



ควบคุม"มะดี"เป็นผลให้( 1.129 )เราสามารถแสดงควบคุม"มะดี"ต่อไปนี้ได้อย่างง่ายดาย