otential theoryFrom Wikipedia, the

otential theory
From Wikipedia, the free encyclopedia
In mathematics and mathematical physics, potential theory is the study of harmonic functions.

The term "potential theory" was coined in 19th-century physics, when it was realized that the fundamental forces of nature could be modeled using potentials which satisfy Laplace's equation. Although more accurate theories - for example classical Electrostatics and Newtonian gravity - were developed later, the name "potential theory" remained.

There is considerable overlap between potential theory and the theory of the Laplace equation. To the extent that it is possible to draw a distinction between these two fields, the difference is more one of emphasis than subject matter and rests on the following distinction: potential theory focuses on the properties of the functions as opposed to the properties of the equation. For example, a result about the singularities of harmonic functions would be said to belong to potential theory whilst a result on how the solution depends on the boundary data would be said to belong to the theory of the Laplace equation. Of course, this is not a hard and fast distinction, and in practice there is considerable overlap between the two fields, with methods and results from one being used in the other.

Modern potential theory is also intimately connected with probability and the theory of Markov chains. In the continuous case, this is closely related to analytic theory. In the finite state space case, this connection can be introduced by introducing an electrical network on the state space, with resistance between points inversely proportional to transition probabilities and densities proportional to potentials. Even in the finite case, the analogue I-K of the Laplacian in potential theory has its own maximum principle, uniqueness principle, balance principle, and others.

Contents [hide]
1 Symmetry
2 Two dimensions
3 Local behavior
4 Inequalities
5 Spaces of harmonic functions
6 See also
7 References
Symmetry[edit]
A useful starting point and organizing principle in the study of harmonic functions is a consideration of the symmetries of the Laplace equation. Although it is not a symmetry in the usual sense of the term, we can start with the observation that the Laplace equation is linear. This means that the fundamental object of study in potential theory is a linear space of functions. This observation will prove especially important when we consider function space approaches to the subject in a later section.

As for symmetry in the usual sense of the term, we may start with the theorem that the symmetries of the n-dimensional Laplace equation are exactly the conformal symmetries of the n-dimensional Euclidean space. This fact has several implications. First of all, one can consider harmonic functions which transform under irreducible representations of the conformal group or of its subgroups (such as the group of rotations or translations). Proceeding in this fashion, one systematically obtains the solutions of the Laplace equation which arise from separation of variables such as spherical harmonic solutions and Fourier series. By taking linear superpositions of these solutions, one can produce large classes of harmonic functions which can be shown to be dense in the space of all harmonic functions under suitable topologies.

Second, one can use conformal symmetry to understand such classical tricks and techniques for generating harmonic functions as the Kelvin transform and the method of images.

Third, one can use conformal transforms to map harmonic functions in one domain to harmonic functions in another domain. The most common instance of such a construction is to relate harmonic functions on a disk to harmonic functions on a half-plane.

Fourth, one can use conformal symmetry to extend harmonic functions to harmonic functions on conformally flat Riemannian manifolds. Perhaps the simplest such extension is to consider a harmonic function defined on the whole of Rn (with the possible exception of a discrete set of singular points) as a harmonic function on the n-dimensional sphere. More complicated situations can also happen. For instance, one can obtain a higher-dimensional analog of Riemann surface theory by expressing a multi-valued harmonic function as a single-valued function on a branched cover of Rn or one can regard harmonic functions which are invariant under a discrete subgroup of the conformal group as functions on a multiply connected manifold or orbifold.

Two dimensions[edit]
From the fact that the group of conformal transforms is infinite-dimensional in two dimensions and finite-dimensional for more than two dimensions, one can surmise that potential theory in two dimensions is different from potential theory in other dimensions. This is correct and, in fact, when one realizes that any two-dimensional harmonic function is the real part of a complex analytic function, one sees that the subject of two-dimensional potential theory is substantially the same as that of complex analysis. For this reason, when speaking of potential theory, one focuses attention on theorems which hold in three or more dimensions. In this connection, a surprising fact is that many results and concepts originally discovered in complex analysis (such as Schwarz's theorem, Morera's theorem, the Weierstrass-Casorati theorem, Laurent series, and the classification of singularities as removable, poles and essential singularities) generalize to results on harmonic functions in any dimension. By considering which theorems of complex analysis are special cases of theorems of potential theory in any dimension, one can obtain a feel for exactly what is special about complex analysis in two dimensions and what is simply the two-dimensional instance of more general results.

Local behavior[edit]
An important topic in potential theory is the study of the local behavior of harmonic functions. Perhaps the most fundamental theorem about local behavior is the regularity theorem for Laplace's equation, which states that harmonic functions are analytic. There are results which describe the local structure of level sets of harmonic functions. There is Bôcher's theorem, which characterizes the behavior of isolated singularities of positive harmonic functions. As alluded to in the last section, one can classify the isolated singularities of harmonic functions as removable singularities, poles, and essential singularities.

Inequalities[edit]
A fruitful approach to the study of harmonic functions is the consideration of inequalities they satisfy. Perhaps the most basic such inequality, from which most other inequalities may be derived, is the maximum principle. Another important result is Liouville's theorem, which states the only bounded harmonic functions defined on the whole of Rn are, in fact, constant functions. In addition to these basic inequalities, one has Harnack's inequality, which states that positive harmonic functions on bounded domains are roughly constant.

One important use of these inequalities is to prove convergence of families of harmonic functions or sub-harmonic functions, see Harnack's theorem. These convergence theorems can often be used to prove existence of harmonic functions having particular properties.

Spaces of harmonic functions[edit]
Since the Laplace equation is linear, the set of harmonic functions defined on a given domain is, in fact, a vector space. By defining suitable norms and/or inner products, one can exhibit sets of harmonic functions which form Hilbert or Banach spaces. In this fashion, one obtains such spaces as the Hardy space, Bloch space, and Bergman space.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ทฤษฎี otentialจากวิกิพีเดีย สารานุกรมฟรีในวิชาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ ทฤษฎีเป็นไปได้คือ การศึกษาของฟังก์ชันมีค่าคำว่า "ทฤษฎีเป็นไปได้" ถูกจังหวะในศตวรรษ เมื่อมันได้ตระหนักว่า กองกำลังพื้นฐานของธรรมชาติสามารถสร้างแบบจำลองโดยใช้ศักยภาพซึ่งเป็นไปตามสมการของลาปลาส แม้ว่าทฤษฎีถูกต้องมากขึ้น - Electrostatics เช่นคลาสสิกและทฤษฎีแรงโน้มถ่วง - ถูกพัฒนาในภายหลัง ยังคงชื่อ "เป็นทฤษฎี"มีเหลื่อมกันมากระหว่างทฤษฎีศักยภาพและทฤษฎีของสมการลาปลาส เท่าที่จำเป็นต้องวาดความแตกต่างระหว่างสองเขตข้อมูลเหล่านี้ ความแตกต่างที่เป็นหนึ่งของความสำคัญกว่าเรื่อง และอยู่บนความแตกต่างต่อไปนี้: ทฤษฎีศักยภาพเน้นคุณสมบัติของฟังก์ชันจำกัดคุณสมบัติของสมการ ตัวอย่าง ผลลัพธ์เกี่ยวกับ singularities ที่ฟังก์ชันมีค่าจะว่า ไปเป็นทฤษฎีที่อาจเกิดขึ้นในขณะที่ผลในวิธีการแก้ปัญหาขึ้นอยู่กับขอบเขตข้อมูลจะกล่าวว่า เป็นทฤษฎีของสมการลาปลาส แน่นอน ไม่แตกยาก และรวดเร็ว และในทางปฏิบัติ มีมากทับซ้อนระหว่างสองฟิลด์ ด้วยวิธีการและผลลัพธ์จากการใช้ในอื่น ๆจึงยังมีการเชื่อมโยงทฤษฎีสมัยใหม่เป็นไปได้กับความน่าเป็นและทฤษฎีของ Markov chains ในกรณีต่อเนื่อง นี้เป็นทฤษฎีที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับคู่ ในกรณีพื้นที่รัฐจำกัด สามารถนำการเชื่อมต่อนี้ โดยการแนะนำเครือข่ายการไฟฟ้าในพื้นที่รัฐ มีความต้านทานระหว่างจุด inversely สัดส่วนการเปลี่ยนแปลงกิจกรรมและความหนาแน่นกับศักยภาพ แม้ในกรณีจำกัด แบบอนาล็อกฉัน-K ของ Laplacian ในทางทฤษฎีอาจมีหลักการสูงสุดของตนเอง เอกลักษณ์หลัก หลักการดุล และอื่น ๆเนื้อหา [ซ่อน] สมมาตร 12 ขนาดลักษณะการทำงานท้องถิ่น 3ความเหลื่อมล้ำทาง 4ช่อง 5 ของฟังก์ชันมีค่า6 ดูอ้างอิง 7สมมาตร [แก้ไข]เป็นประโยชน์จุดเริ่มต้นและการจัดระเบียบหลักการในการศึกษาของฟังก์ชันมีค่าเป็นการพิจารณาของ symmetries ของสมการลาปลาส แม้ว่ามันจะไม่สมมาตรในแง่คำปกติ เราสามารถเริ่มต้น ด้วยการสังเกตว่าสมการลาปลาสเส้น ซึ่งหมายความ ว่า วัตถุพื้นฐานการศึกษาทฤษฎีศักยภาพพื้นที่ของฟังก์ชันเชิงเส้น การสังเกตนี้จะพิสูจน์สำคัญโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อเราพิจารณาฟังก์ชันพื้นที่แนวเรื่องในส่วนหลังส่วนสมมาตรความคำปกติ เราอาจเริ่มต้น ด้วยทฤษฎีบท symmetries ของสมการลาปลาส n มิติตรง symmetries conformal พื้นที่ Euclidean n มิติ ความจริงมีหลายนัย ครั้งแรกของทั้งหมด หนึ่งสามารถพิจารณาฟังก์ชันมีค่าที่แปลงใต้อย่างต่ำเป็นตัวแทน ของกลุ่ม conformal หรือเป็นกลุ่มย่อย (เช่นกลุ่มหมุนเวียนหรือแปล) ดำเนินการต่อในนี้ หนึ่งระบบได้รับการแก้สมการลาปลาสที่เกิดจากการแบ่งแยกตัวแปรเช่นทรงกลมโซลูชั่นที่มีค่าและอนุ โดยการ superpositions เส้นโซลูชั่นเหล่านี้ หนึ่งสามารถสร้างชั้นเรียนขนาดใหญ่ของฟังก์ชันมีค่าซึ่งสามารถแสดงเป็นหนาแน่นในพื้นที่ของฟังก์ชันมีค่าทั้งหมดภายใต้โทเหมาะสอง หนึ่งสามารถใช้สมมาตร conformal เข้าใจเทคนิคคลาสสิกและเทคนิคสำหรับการสร้างฟังก์ชันที่มีค่าแปลงเคลวินและภาพวิธีการดังกล่าวที่สาม หนึ่งสามารถใช้แปลง conformal ต้องมีค่าฟังก์ชันในโดเมนหนึ่งไปยังฟังก์ชันที่มีค่าในโดเมนอื่น อินสแตนซ์ที่พบมากที่สุดการก่อสร้างดังกล่าวจะเชื่อมโยงฟังก์ชันมีค่าบนดิสก์ให้ฟังก์ชันมีค่าครึ่งเครื่องสี่ หนึ่งสามารถใช้สมมาตร conformal ขยายฟังก์ชันมีค่าให้ฟังก์ชันมีค่าบนแบน conformally Riemannian manifolds บางทีง่ายที่สุดนามสกุลดังกล่าวได้พิจารณาฟังก์ชันมีค่าที่กำหนดไว้ในทั้งหมดของ Rn (มีข้อยกเว้นได้ของชุดเดี่ยว ๆ ของ singular จุด) เป็นฟังก์ชันมีค่าบนทรงกลม n มิติ นอกจากนี้ยังสามารถเกิดสถานการณ์ที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น เช่น หนึ่งสามารถขอรับแบบแอนะล็อกสูงกว่ามิติของ Riemann ผิวทฤษฎี โดยแสดงฟังก์ชันมีค่าหลายค่าเป็นฟังก์ชันค่าเดี่ยวบนใบปะหน้าแบบแยกสาขาของ Rn หรือหนึ่งสามารถพิจารณาฟังก์ชันมีค่าซึ่งเป็นบล็อกภายใต้กลุ่มย่อยของกลุ่ม conformal แยกกันเป็นฟังก์ชันใน multiply มากมายหรือ orbifoldสองมิติ [แก้ไข]จากข้อเท็จจริงว่า กลุ่มแปลง conformal อนันต์มิติสองมิติ และจำกัดมิติสำหรับมิติมากกว่าสอง หนึ่งสามารถคาดคะเน ทฤษฎีที่อาจเกิดขึ้นในสองมิติได้แตกต่างจากทฤษฎีศักยภาพในมิติอื่น นี้จะถูกต้อง แล้ว ในความเป็นจริง เมื่อหนึ่งตระหนักว่าฟังก์ชันมีค่าใด ๆ สองส่วนจริงของฟังก์ชันคู่ซับซ้อน หนึ่งเห็นว่า เรื่องของทฤษฎีสองอาจเป็นมากเหมือนกับการวิเคราะห์ที่ซับซ้อน ด้วยเหตุนี้ เมื่อพูดของทฤษฎีศักยภาพ หนึ่งเน้นความสนใจในทฤษฎีซึ่งในมิติที่สาม หรือมากกว่า ต่อ ความจริงที่น่าแปลกใจคือ ว่า หลายผลลัพธ์และแนวคิดเดิม ที่ค้นพบในการวิเคราะห์ที่ซับซ้อน (เช่นของ Schwarz ทฤษฎีบท ทฤษฎีบทของ Morera ทฤษฎีบท Weierstrass Casorati ชุด Laurent และประเภท singularities เป็นแบบถอดได้ หมุน และสำคัญ singularities) ทั่วไปเพื่อผลลัพธ์ในฟังก์ชันที่มีค่าในทุกมิติ โดยพิจารณาที่ทฤษฎีการวิเคราะห์ซับซ้อนเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีของทฤษฎีศักยภาพในมิติใด ๆ หนึ่งสามารถรับความรู้สึกว่ามีอะไรพิเศษเกี่ยวกับการวิเคราะห์ที่ซับซ้อนในสองมิติและเพียงอินสแตนซ์สองผลทั่วไปคืออะไรลักษณะเฉพาะ [แก้ไข]หัวข้อสำคัญในทางทฤษฎีอาจจะศึกษาลักษณะเฉพาะของฟังก์ชันมีค่า บางทีทฤษฎีส่วนใหญ่เกี่ยวกับพฤติกรรมภายในเป็นทฤษฎีบทความสำหรับสมการของลาปลาส ระบุมีค่าฟังก์ชันคู่ มีผลที่อธิบายโครงสร้างภายในของชุดของฟังก์ชันที่มีค่าระดับ มีทฤษฎีบทของ Bôcher ซึ่งระบุลักษณะการทำงานของ singularities แยกฟังก์ชันมีค่าเป็นบวก เป็น alluded ไปในส่วนสุดท้าย หนึ่งสามารถจัดประเภท singularities แยกฟังก์ชันมีค่า singularities ถอดได้ หมุน และ singularities ที่จำเป็นความเหลื่อมล้ำทาง [แก้ไข]วิธีการประสบกับการศึกษาของฟังก์ชันมีค่าเป็นการพิจารณาของพวกเขาตอบสนองความเหลื่อมล้ำทาง บางทีพื้นฐานสุดความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าว จากที่ส่วนใหญ่อื่น ๆ ความเหลื่อมล้ำทางอาจมา เป็นหลักสูงสุด ผลที่สำคัญอีกคือ ทฤษฎีบทของ Liouville ซึ่งระบุเฉพาะกี่มีค่าฟังก์ชันกำหนดในทั้งหมดของ Rn ในความเป็นจริง ค่าคงฟังก์ชัน นอกจากนี้พื้นฐานความเหลื่อมล้ำทาง หนึ่งได้อสมการของ Harnack ซึ่งระบุว่า ฟังก์ชันมีค่าเป็นบวกในโดเมนกี่คงประมาณหนึ่งใช้ความสำคัญของความเหลื่อมล้ำทางเหล่านี้คือการ พิสูจน์การบรรจบกันของครอบครัวของฟังก์ชันที่มีค่าหรือมีค่าย่อยฟังก์ชัน ดูทฤษฎีบทของ Harnack มักจะใช้ทฤษฎีนี้บรรจบกันเพื่อพิสูจน์การมีอยู่ของฟังก์ชันมีค่าที่มีคุณสมบัติเฉพาะช่องว่างของฟังก์ชันมีค่า [แก้ไข]เนื่องจากสมการลาปลาสเส้น ชุดของฟังก์ชันที่มีค่าที่กำหนดไว้ในโดเมนกำหนดได้ ในความเป็นจริง เป็นเวกเตอร์ โดยกำหนดบรรทัดฐานที่เหมาะสมและ/หรือผลิตภัณฑ์ภายใน หนึ่งสามารถแสดงชุดของฟังก์ชันที่มีค่าซึ่งเป็นช่องว่างของฮิลแบร์ทหรือ Banach ในแฟชั่นนี้ หนึ่งเหตุผลดังกล่าวพื้นที่จากพื้นที่ พื้นที่เม็ดเลือดขาว และ Bergman พื้นที่

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ทฤษฎี otential
จากวิกิพีเดียในวิชาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์คณิตศาสตร์ทฤษฎีที่อาจเกิดขึ้นคือการศึกษาของฟังก์ชั่นฮาร์มอนิ. คำว่า "ทฤษฎีศักยภาพ" ได้รับการประกาศเกียรติคุณในสาขาฟิสิกส์ในศตวรรษที่ 19 เมื่อมันถูกตระหนักว่าแรงพื้นฐานของธรรมชาติที่สามารถนำมาสร้างแบบจำลอง โดยใช้ศักยภาพที่พอใจสมเลซ แม้ว่าทฤษฎีที่ถูกต้องมากขึ้น - เช่นไฟฟ้าสถิตคลาสสิกและแรงโน้มถ่วงของนิวตัน - ได้รับการพัฒนาต่อมาชื่อ "ทฤษฎีศักยภาพ" ยังคงอยู่. มีการทับซ้อนกันมากระหว่างทฤษฎีศักยภาพและทฤษฎีของสมการ Laplace เป็น เท่าที่จะเป็นไปได้ที่จะดึงความแตกต่างระหว่างทั้งสองสาขาคือความแตกต่างมากขึ้นหนึ่งในความสำคัญกว่าเรื่องและวางอยู่บนความแตกต่างต่อไปนี้: ทฤษฎีศักยภาพมุ่งเน้นไปที่คุณสมบัติของการทำงานเมื่อเทียบกับคุณสมบัติของสมการ . ตัวอย่างเช่นผลเกี่ยวกับฟังก์ชั่นเอกฮาร์โมนิจะกล่าวได้ว่าเป็นทฤษฎีที่อาจเกิดขึ้นในขณะที่ผลเกี่ยวกับวิธีการแก้ปัญหาขึ้นอยู่กับข้อมูลเขตแดนจะกล่าวได้ว่าเป็นทฤษฎีของสมการ Laplace ของหลักสูตรนี้ไม่ได้เป็นความแตกต่างอย่างหนักและรวดเร็วและในทางปฏิบัติมีการทับซ้อนมากระหว่างทั้งสองเขตข้อมูลด้วยวิธีการและผลจากที่หนึ่งที่ใช้ในการอื่น ๆ . โมเดิร์นทฤษฎีที่อาจเกิดขึ้นนอกจากนี้ยังมีการเชื่อมต่ออย่างใกล้ชิดกับความน่าจะเป็นและทฤษฎีของมาร์คอฟ โซ่ ในกรณีที่ต่อเนื่องนี้จะต้องเกี่ยวข้องกับทฤษฎีการวิเคราะห์ ในกรณีที่สภาพพื้นที่ จำกัด การเชื่อมต่อนี้สามารถนำมาใช้โดยการแนะนำวงจรไฟฟ้าในพื้นที่ของรัฐที่มีความต้านทานระหว่างจุดแปรผกผันกับความน่าจะเป็นการเปลี่ยนแปลงและความหนาแน่นสัดส่วนกับศักยภาพ แม้ในกรณี จำกัด , อะนาล็อก IK ของ Laplacian ในทฤษฎีที่มีศักยภาพมีหลักการสูงสุดของตัวเองหลักการเอกลักษณ์หลักการสมดุลและอื่น ๆ . เนื้อหา [ซ่อน] 1 สมมาตร2 สองมิติที่3 พฤติกรรมท้องถิ่น4 อสมการ5 ช่องว่างของการทำงานที่ประสานกัน6 ดูเพิ่มเติม7 อ้างอิงสมมาตร[แก้ไข] จุดเริ่มต้นที่มีประโยชน์และหลักการจัดระเบียบในการศึกษาการทำงานสอดคล้องกันคือการพิจารณาของ symmetries ของสม Laplace แม้ว่าจะไม่สมมาตรในความหมายปกติของคำว่าเราสามารถเริ่มต้นด้วยการสังเกตว่าสมการเชิงเส้นเลซเป็น ซึ่งหมายความว่าวัตถุพื้นฐานของการศึกษาในทฤษฎีที่มีศักยภาพเป็นพื้นที่เชิงเส้นของฟังก์ชั่น ข้อสังเกตนี้จะพิสูจน์สิ่งสำคัญโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อเราพิจารณาพื้นที่ทำงานวิธีการเรื่องในส่วนต่อมา. ในฐานะที่เป็นสมมาตรในความหมายปกติของคำว่าเราอาจเริ่มต้นด้วยทฤษฎีบทที่สมมาตรของสม Laplace n มิติจะตรง symmetries มาตราส่วนของปริภูมิแบบยุคลิด n มิติ ความจริงเรื่องนี้มีหลายความหมาย ครั้งแรกของทุกคนสามารถพิจารณาการทำงานสอดคล้องกันซึ่งเปลี่ยนภายใต้การแสดงลดลงของกลุ่มมาตราส่วนหรือของกลุ่มย่อย (เช่นกลุ่มของการหมุนหรือแปล) การดำเนินการในรูปแบบนี้หนึ่งได้รับการแก้ปัญหาอย่างเป็นระบบของสมเลซซึ่งเกิดขึ้นจากการแยกตัวแปรเช่นการแก้ปัญหาการประสานทรงกลมและชุดฟูริเยร์ โดยการ superpositions เชิงเส้นของการแก้ปัญหาเหล่านี้เราสามารถผลิตชั้นเรียนขนาดใหญ่ของการทำงานสอดคล้องกันซึ่งสามารถแสดงให้เห็นว่ามีความหนาแน่นในพื้นที่ของการทำงานสอดคล้องกันทั้งหมดภายใต้โครงสร้างที่เหมาะสม. สองหนึ่งสามารถใช้สมมาตรมาตราส่วนที่จะเข้าใจเทคนิคคลาสสิกดังกล่าวและเทคนิคในการสร้าง ฟังก์ชั่นฮาร์โมนิเคลวินเป็นแปลงและวิธีการของภาพ. สามหนึ่งสามารถใช้มาตราส่วนแผนที่จะเปลี่ยนการทำงานสอดคล้องกันในโดเมนหนึ่งไปยังฟังก์ชั่นฮาร์โมนิในโดเมนอื่น ตัวอย่างที่พบบ่อยที่สุดของการก่อสร้างดังกล่าวคือการที่เกี่ยวข้องกับการทำงานสอดคล้องกันบนดิสก์ที่จะประสานงานในครึ่งเครื่องบิน. สี่หนึ่งสามารถใช้สมมาตรมาตราส่วนที่จะขยายการทำงานสอดคล้องกันกับการทำงานที่ประสานกันในแมนิโฟลรีมันแบน conformally บางทีอาจจะเป็นส่วนต่อขยายดังกล่าวที่ง่ายที่สุดคือการพิจารณาการทำงานที่สอดคล้องกันในการกำหนดทั้ง Rn (มีข้อยกเว้นของการตั้งค่าที่ไม่ต่อเนื่องของจุดเอกพจน์) เป็นฟังก์ชั่นฮาร์โมนิในรูปทรงกลม n มิติ สถานการณ์ที่ซับซ้อนมากขึ้นนอกจากนี้ยังสามารถเกิดขึ้นได้ ยกตัวอย่างเช่นหนึ่งสามารถขอรับแบบอะนาล็อกที่สูงขึ้นมิติของทฤษฎีผิว Riemann โดยแสดงการทำงานที่ประสานกันหลายค่าเป็นหน้าที่ valued เดียวบนปกกิ่งของ Rn หรือหนึ่งสามารถถือว่าการทำงานสอดคล้องกันซึ่งเป็นค่าคงที่ภายใต้กลุ่มย่อยที่ไม่ต่อเนื่องของ กลุ่มมาตราส่วนเป็นฟังก์ชั่นในท่อเชื่อมต่อคูณหรือ orbifold. สองมิติ [แก้ไข] จากความจริงที่ว่ากลุ่มของมาตราส่วนแปลงเป็นอนันต์มิติในสองมิติและแน่นอนมิติมานานกว่าสองมิติหนึ่งสามารถคาดการณ์ทฤษฎีที่ว่ามีศักยภาพในการ สองมิติจะแตกต่างจากทฤษฎีที่อาจเกิดขึ้นในมิติอื่น ๆ นี้ถูกต้องและในความเป็นจริงเมื่อหนึ่งตระหนักว่ามีฟังก์ชั่นฮาร์โมนิสองมิติเป็นส่วนที่แท้จริงของฟังก์ชั่นการวิเคราะห์ที่ซับซ้อนหนึ่งเห็นว่าเรื่องของทฤษฎีศักยภาพสองมิติเป็นอย่างมากเช่นเดียวกับที่ของการวิเคราะห์ที่ซับซ้อน ด้วยเหตุนี้เมื่อพูดถึงทฤษฎีศักยภาพหนึ่งมุ่งเน้นความสนใจในทฤษฎีที่ถืออยู่ในสามมิติหรือมากกว่า ในการเชื่อมต่อนี้เป็นความจริงที่น่าแปลกใจคือผลมากและแนวความคิดการค้นพบครั้งแรกในการวิเคราะห์ที่ซับซ้อน (เช่นทฤษฎีบท Schwarz ของทฤษฎีบท Morera ของทฤษฎีบท Weierstrass-Casorati ชุดองค์และประเภทของเอกเป็นที่ถอดออกได้, เสาและเอกที่จำเป็น) คุย เพื่อผลในการทำงานที่ประสานกันในมิติใด ๆ โดยพิจารณาซึ่งทฤษฎีของการวิเคราะห์ที่ซับซ้อนกรณีพิเศษของทฤษฎีบทของทฤษฎีที่อาจเกิดขึ้นในมิติใด ๆ หนึ่งสามารถรับความรู้สึกสำหรับสิ่งที่เป็นพิเศษเกี่ยวกับการวิเคราะห์ที่ซับซ้อนในสองมิติและสิ่งที่เป็นเพียงตัวอย่างสองมิติผลทั่วไปมากขึ้น. ท้องถิ่น พฤติกรรม [แก้ไข] เป็นหัวข้อสำคัญในทฤษฎีที่อาจเกิดขึ้นคือการศึกษาพฤติกรรมของท้องถิ่นของฟังก์ชั่นที่สอดคล้องกัน บางทีทฤษฎีบทพื้นฐานที่สุดเกี่ยวกับพฤติกรรมของท้องถิ่นเป็นทฤษฎีบทสม่ำเสมอสำหรับสมการเลซซึ่งระบุว่าการทำงานสอดคล้องกันมีการวิเคราะห์ มีผลที่อธิบายโครงสร้างของท้องถิ่นชุดระดับของฟังก์ชั่นที่มีฮาร์โมนิ มีทฤษฎีบทBôcherซึ่งลักษณะการทำงานของเอกที่แยกจากการทำงานสอดคล้องกันในเชิงบวก ในฐานะที่พาดพิงถึงในส่วนสุดท้ายหนึ่งสามารถจำแนกแยกเอกของฟังก์ชั่นฮาร์โมนิเป็นเอกที่ถอดออกได้, เสาและเอกที่สำคัญ. อสมการ [แก้ไข] วิธีการมีผลการศึกษาของการทำงานสอดคล้องกันคือการพิจารณาของความไม่เท่าเทียมกันที่พวกเขาตอบสนองความ บางทีอาจจะเป็นความไม่เท่าเทียมกันเช่นขั้นพื้นฐานที่สุดซึ่งมาจากความไม่เท่าเทียมกันมากที่สุดอื่น ๆ อาจจะมาเป็นหลักการสูงสุด อีกประการหนึ่งที่สำคัญคือผล Liouville ทฤษฎีบทซึ่งระบุการทำงานสอดคล้องกันเพียงในขอบเขตที่กำหนดไว้ทั้ง Rn ที่มีในความเป็นจริงการทำงานอย่างต่อเนื่อง นอกเหนือไปจากความไม่เท่าเทียมกันพื้นฐานเหล่านี้หนึ่งมีความไม่เท่าเทียมกันแนคซึ่งระบุว่าการทำงานสอดคล้องกันในเชิงบวกต่อโดเมน จำกัด ประมาณคง. หนึ่งในการใช้งานที่สำคัญของความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้คือการพิสูจน์การบรรจบกันของครอบครัวของฟังก์ชั่นฮาร์โมนิหรือฟังก์ชั่นย่อยประสานให้ดูทฤษฎีบทแนคของ ทฤษฎีบทการลู่เหล่านี้มักจะสามารถนำมาใช้เพื่อพิสูจน์การดำรงอยู่ของฟังก์ชั่นที่มีคุณสมบัติสอดคล้องกันโดยเฉพาะอย่างยิ่ง. Spaces ของฟังก์ชั่นฮาร์โมนิ [แก้ไข] ตั้งแต่สม Laplace เป็นเส้นตรงชุดของฟังก์ชั่นฮาร์โมนิที่กำหนดไว้ในโดเมนที่กำหนดคือในความเป็นจริงพื้นที่เวกเตอร์ โดยการกำหนดบรรทัดฐานที่เหมาะสมและ / หรือผลิตภัณฑ์ด้านหนึ่งสามารถแสดงชุดทำงานสอดคล้องกันซึ่งรูปแบบฮิลแบร์ตหรือช่องว่างนาค แบบนี้คนหนึ่งได้พื้นที่เช่นพื้นที่ฮาร์ดีพื้นที่โบลชและพื้นที่เบิร์กแมน

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

otential ทฤษฎี
จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ในวิชาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ ทฤษฎีศักยภาพการศึกษาการทำงานที่ประสานกัน .

คำว่า " ทฤษฎี " ที่อาจเกิดขึ้นได้รับการประกาศเกียรติคุณในฟิสิกส์ในศตวรรษที่ 19 เมื่อมันรู้ว่าพลังพื้นฐานของธรรมชาติอาจเป็นแบบใช้ศักยภาพซึ่งเป็นไปตามสมการลาปลาซ .แม้ว่าทฤษฎี - ถูกต้องมากขึ้นตัวอย่างเช่นคลาสสิกและไฟฟ้าสถิตนิวตันแรงโน้มถ่วง - ถูกพัฒนาต่อมาชื่อ " ศักยภาพทฤษฎี " ยังคง

มันทับซ้อนกันมากระหว่างทฤษฎีศักยภาพและทฤษฎีของลาปลาซสมการ ในขอบเขตที่เป็นไปได้ในการวาดความแตกต่างระหว่างทั้งสองเขตความแตกต่างเป็นหนึ่งในความสำคัญมากกว่าเนื้อหาขึ้นอยู่กับความแตกต่างดังต่อไปนี้ : ทฤษฎีศักยภาพเน้นคุณสมบัติของฟังก์ชั่นเมื่อเทียบกับคุณสมบัติของสมการ ตัวอย่างเช่นผลเกี่ยวกับซิงกูลาริตี้ของการทำงานที่ประสานกันจะบอกว่าเป็นของทฤษฎีศักยภาพในขณะที่ผลเกี่ยวกับวิธีการแก้ปัญหาขึ้นอยู่กับข้อมูลขอบเขตจะบอกว่าอยู่ในทฤษฎีของลาปลาซสมการ ของหลักสูตรนี้ไม่แตกต่างอย่างหนักและรวดเร็วในการปฏิบัติ มีเหลื่อมกันมากระหว่างสองเขตด้วยวิธีการและผลลัพธ์จากการใช้ในอื่น ๆ .

ทันสมัยศักยภาพทฤษฎียังเกี่ยวกับความน่าจะเป็นและทฤษฎีของมาร์คอฟโซ่ ในคดีต่อไป ซึ่งจะเกี่ยวข้องกับทฤษฎีวิเคราะห์ ในวิธีปริภูมิสถานะคดี การเชื่อมต่อนี้สามารถแนะนำโดยอาศัยเครือข่ายไฟฟ้าขึ้นอยู่กับสภาพพื้นที่ที่มีความต้านทานระหว่างจุดแปรผกผันกับการเปลี่ยนความหนาแน่นความน่าจะเป็นและตามศักยภาพ แม้ในกรณีจำกัด , i-k อนาล็อกของ Laplacian ในทฤษฎีศักยภาพสูงสุดของตนเอง มีหลักการ หลักการ หลักการ ความสมดุล และผู้อื่นไม่ .

เนื้อหา [ ซ่อน ]
1 สมมาตร
2
3
2 มิติท้องถิ่นพฤติกรรม 4 อสมการ
5 เป็นของฮาร์มอนิกฟังก์ชัน
6 ดู

7 อ้างอิงสมมาตร [ แก้ไข ]
เป็นจุดเริ่มต้นและหลักการในการจัด การศึกษา การทำงานที่ประสานกันเป็นปัจจัยของสมมาตรของลาปลาซสมการ ถึงแม้ว่ามันไม่สมมาตรในความหมายเดิมของคำที่เราสามารถเริ่มต้นด้วยการสังเกตว่าลาปลาซสมการเชิงเส้นหมายความว่าวัตถุพื้นฐานของการศึกษาในทฤษฎีศักยภาพคือปริภูมิเชิงเส้นของฟังก์ชัน การสังเกตนี้จะพิสูจน์ที่สำคัญโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อเราพิจารณาพื้นที่อเนกประสงค์แนวเรื่องในส่วนทีหลัง

สำหรับสมมาตรในความหมายเดิมของคำเราอาจเริ่มต้นด้วยทฤษฎีบทที่สมมาตรของสมการลาปลาซ n-dimensional ตรงมาตราส่วนสมมาตรของพื้นที่ใช้ n-dimensional . ข้อเท็จจริงนี้มีผลกระทบหลาย แรกของทั้งหมด , หนึ่งสามารถพิจารณาฟังก์ชันฮาร์มอนิก ซึ่งเป็นตัวแทนของกลุ่มแปลงภายใต้ลดมาตราส่วนหรือของกลุ่ม ( เช่น กลุ่มของการหมุนหรือการแปล )ดำเนินการในแฟชั่นนี้ หนึ่งสามารถได้รับผลเฉลยของสมการลาปลาซ ซึ่งเกิดขึ้นจากการแยกตัวแปร เช่น โซลูชั่นและ Bessel Fourier Series โดยการเชิงเส้น superpositions ของโซลูชั่นเหล่านี้หนึ่งสามารถผลิตชั้นเรียนขนาดใหญ่ของการทำงานที่ประสานกันซึ่งสามารถแสดงเป็นหนาแน่นในพื้นที่ของทุกฟังก์ชันฮาร์มอนิก ภายใต้โครงสร้างที่เหมาะสม .

ที่สอง , หนึ่งสามารถใช้มาตราส่วนสมมาตรที่จะเข้าใจเคล็ดลับและเทคนิคสำหรับการสร้างคลาสสิก เช่น การทำงานที่ประสานกันเป็นเคลวินแปลงและวิธีการของภาพ

สาม หนึ่งสามารถใช้มาตราส่วนแผนที่แปลงเพื่อการทำงานที่ประสานกันในการทำงานที่ประสานกันของโดเมนโดเมนหนึ่งไปยังอีกตัวอย่างที่พบมากที่สุดเช่นการก่อสร้างที่เกี่ยวข้องกับการทำงานที่ประสานกันบนดิสก์เพื่อการทำงานที่ประสานกันอยู่บนเครื่องบินครึ่ง

4 , หนึ่งสามารถใช้มาตราส่วนสมมาตร เพื่อขยายการทำงานที่ประสานกันเพื่อการทำงานที่ประสานกันอยู่บน conformally แบนแบบรีมัน manifolds .บางทีเรื่องที่ง่ายที่สุดคือการพิจารณาฟังก์ชันฮาร์มอนิกไว้บนทั้งหมดของ Rn ( กับข้อยกเว้นที่เป็นไปได้ของชุดต่อเนื่องของจุดเอกพจน์ ) เป็นฟังก์ชันฮาร์มอนิกส์บนทรงกลม n-dimensional . สถานการณ์ที่ซับซ้อนมากขึ้น นอกจากนี้ยังสามารถเกิดขึ้นได้ สำหรับอินสแตนซ์หนึ่งสามารถได้รับขนาดสูงอนาล็อกของทฤษฎีผิวรีมันน์โดยการแสดงหลายฟังก์ชันค่าฮาร์มอนิกเป็นฟังก์ชันค่าเดียวในแขนงครอบคลุมของ RN หรือหนึ่งสามารถพิจารณาการทำงานที่ประสานกันซึ่งเป็นค่าคงที่ในกลุ่มย่อยที่ไม่ต่อเนื่องของกลุ่มมาตราส่วนเป็นฟังก์ชันบนคูณอเนก หรือเชื่อมต่อ orbifold

[ แก้ไข ]
2 มิติจากการที่กลุ่มของมาตราส่วนแปลงเป็นอนันต์มิติสองมิติมีมิติและมากกว่าสองมิติ หนึ่งสามารถสันนิษฐานว่าทฤษฎีศักยภาพใน 2 มิติที่แตกต่างจากทฤษฎีศักยภาพในมิติอื่น ๆ นี้จะถูกต้อง และในความเป็นจริง เมื่อตระหนักว่าฟังก์ชันใด ๆที่ประสานกันสองมิติเป็นส่วนที่แท้จริงของฟังก์ชันวิเคราะห์เชิงซ้อน ,หนึ่งเห็นว่า เรื่องของทฤษฎีศักยภาพสองมิติเป็นอย่างมากเช่นเดียวกับการวิเคราะห์เชิงซ้อน ด้วยเหตุผลนี้ เมื่อพูดถึงทฤษฎีศักยภาพหนึ่งเน้นความสนใจในทฤษฎีบทที่ค้างในสามหรือมากกว่าขนาด ในการเชื่อมต่อนี้ ข้อเท็จจริงที่น่าประหลาดใจก็คือว่าหลายผลลัพธ์ และแนวคิดการค้นพบครั้งแรกในการวิเคราะห์เชิงซ้อน ( เช่น ทฤษฎีบท ชวาร์ซ ,ทฤษฎีบท morera , ไวแยร์สตราสส์ casorati ทฤษฎีบท , ลอเรนท์ชุดและการจำแนกเอกเหมือนถอดเสาและจำเป็นเอกพจน์ ) อนุมานเพื่อผลลัพธ์ในการทำงานที่ประสานกันในมิติใด ๆ . โดยพิจารณาที่ทฤษฎีบทของการวิเคราะห์ที่ซับซ้อนเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทของทฤษฎีศักยภาพในทุกมิติหนึ่งสามารถได้รับความรู้สึกสำหรับสิ่งที่พิเศษเกี่ยวกับการวิเคราะห์เชิงซ้อนแบบ 2 มิติ และสิ่งที่เป็นเพียงตัวอย่างสองมิติของผลการค้นหาทั่วไปมากขึ้น พฤติกรรมท้องถิ่น [

]
แก้ไขหัวข้อสำคัญในทฤษฎีศักยภาพคือการศึกษาพฤติกรรมภายในของฟังก์ชันฮาร์มอนิ บางทีพื้นฐานที่สุดทฤษฎีบทเกี่ยวกับพฤติกรรมท้องถิ่นเป็นทฤษฎีบทความสม่ำเสมอสำหรับสมการลาปลาสได้ซึ่งระบุว่า การทำงานที่ประสานกันเป็นวิเคราะห์ ซึ่งมีการอธิบายโครงสร้างท้องถิ่นระดับชุดของฟังก์ชันฮาร์มอนิ มีทฤษฎีบทของ B เป็นการแชร์ ซึ่ง characterizes พฤติกรรมซิงกูลาริตี้แยกการทำงานที่ประสานกันเป็นบวก เป็น alluded เพื่อในส่วนสุดท้าย หนึ่งสามารถจำแนกแยกเอกพจน์ของการทำงานที่ประสานกันอย่างเอกที่ถอดออกได้หมุนและที่สำคัญเอก

[ ]
ฉบับแก้ไขมีผลวิธีการศึกษาของฮาร์มอนิกฟังก์ชันคือการพิจารณาอสมการที่พวกเขาพอใจ บางทีความไม่เท่าเทียมกัน เช่น พื้นฐานที่สุด ซึ่งคนอื่นมากที่สุดอาจจะได้รับเป็นหลักสูงสุด อื่นที่สำคัญ ผลคือ liouville ทฤษฎีบทของซึ่งระบุเพียงจำกัดฮาร์ฟังก์ชันที่นิยามบนทั้งหมดของ Rn เป็น , ในความเป็นจริง , คงที่ฟังก์ชัน นอกจากอสมการพื้นฐานเหล่านี้ มี harnack ความไม่เท่าเทียมกัน ซึ่งระบุว่า การทำงานที่ประสานกันบวกจำกัดโดเมนมีประมาณคงที่

สำคัญใช้อสมการนี้คือการพิสูจน์การลู่เข้าของครอบครัวของฟังก์ชันย่อยหรือฟังก์ชันฮาร์มอนิ ,ดู harnack ทฤษฎีบทของ ทฤษฎีบทการลู่เข้าเหล่านี้มักจะสามารถใช้เพื่อพิสูจน์การมีอยู่ของฮาร์โมนิคฟังก์ชันที่มีคุณสมบัติเฉพาะ

เป็นของฮาร์มอนิกฟังก์ชัน [ แก้ไข ]
ตั้งแต่ลาปลาซสมการเชิงเส้น , ชุดของฮาร์มอนิกฟังก์ชันที่นิยามบนระบุโดเมนคือ , ในความเป็นจริง , เวกเตอร์พื้นที่ โดยกำหนดเกณฑ์ที่เหมาะสมและ / หรือภายในผลิตภัณฑ์หนึ่งสามารถแสดงชุดรูปแบบฮาร์มอนิกหน้าที่ที่แท้จริง หรือสำรวจพื้นที่ ในแฟชั่นนี้ คนหนึ่งได้ เช่น เป็นเหมือนพื้นที่ ฮาร์ดี้ บล๊อคพื้นที่และยังพื้นที่