Consider Figure 1, we use the bold

Consider Figure 1, we use the bold graph to illustrate the subgraph H1 of
G1, H2 of G2 and H0 of G1 ✁✄
H1∼=f H2
G2 .Clearly, G1 and G2 are two non-Eulerian
connected graphs, but G1 ✁✄
H1∼=fH2
G2 is an Eulerian graph with an isomorphism f
between H1 and H2 defined by f(ui) = vi for every i ∈ {1, 2, 3, 4}. Note that all
odd vertices u1, u2 ∈ V (H1) and v1, v3 ∈ V (H2). We can see that even vertices
in the clones of the two original graphs is obtained from both odd (u3 and v3)
or both even vertices (u4 and v4) in the two original graphs and odd vertices in
clones is obtained from one odd and one even vertex (u1, v1 and u2, v2) in the two
original graphs.
A special case of Theorem 2.4 when the two original graphs are Eulerian is
stated in the following.
Corollary 2.5. The glued graph of two Eulerian graphs is also Eulerian if and
only if the clones of two original graphs are Eulerian.
Proof. Let two original graphs be Eulerian. For necessity, suppose that the
glued graph is Eulerian. By Theorem 2.4, we obtain that there is no odd vertex
in the clones of the two original graphs. And therefore, the clones are Eulerian.
Conversely, suppose that the clones are Eulerian. Since two original graphs have
only even vertices, Theorem 2.4 conclueds that the glued graph is Eulerian. ¥

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

พิจารณารูปที่ 1 เราใช้กราฟตัวหนาเพื่อแสดง subgraph H1 ของ✁✄ G1, H2 G2 และ H0 G1H1∼ = f H2G2 ชัดเจน G1 และ G2 เป็นสองไม่แบบออยเลอร์การเชื่อมต่อกราฟ แต่ G1 ✁✄H1∼ = fH2G2 เป็นกราฟแบบออยเลอร์การกับการ f isomorphismระหว่าง H1 และ H2 ที่กำหนด โดย f(ui) = vi สำหรับทุก i ∈ {1, 2, 3, 4 } โปรดทราบว่า ทั้งหมดจุดยอดคี่ u1, u2 ∈ V (H1) และ v1, v3 ∈ V (H2) เราสามารถดูที่จุดยอดในโคลนของกราฟเดิมสองได้รับมาจากทั้งคี่ (u3 และ v3)หรือทั้งสองอย่างแม้แต่จุดยอด (u4 และ v4 ในกราฟต้นฉบับ 2) และจุดยอดคี่ในโคลนได้รับหนึ่งที่แปลกและหนึ่งแม้ว่าจุดยอด (u1, v1 และ u2, v2) ในทั้งสองกราฟเดิมเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบท 2.4 เมื่อกราฟเดิมสอง แบบออยเลอร์ระบุในต่อไปนี้Corollary 2.5 กราฟกาวของกราฟแบบออยเลอร์สองเป็นแบบออยเลอร์ถ้า และเมื่อโคลนของกราฟทั้งสองฉบับเป็นแบบออยเลอร์หลักฐานการ ให้กราฟเดิมสองเป็นแบบออยเลอร์ สำหรับความจำเป็น สมมติว่ากาวกราฟแบบออยเลอร์ได้ โดยทฤษฎีบท 2.4 เราได้รับว่า มีจุดยอดคี่ไม่ในโคลนของกราฟเดิมสอง และดังนั้น โคลนมีแบบออยเลอร์ในทางกลับกัน สมมติว่า โคลนเป็นแบบออยเลอร์ เนื่องจากกราฟทั้งสองฉบับมีเพียง แต่จุดยอด conclueds 2.4 ทฤษฎีบทที่ว่ากาวกราฟแบบออยเลอร์ ¥

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

พิจารณารูปที่ 1 เราจะใช้รูปแบบของกราฟแสดงให้เห็นถึงความกล้าหาญของ H1 subgraph
G1, H2 ของ G2 และ H0 ของ G1 ✁✄
H1~ f = H2
G2 .Clearly, G1 และ G2 สองที่ไม่ Eulerian
เชื่อมต่อกราฟ แต่ G1 ✁✄
H1~ = FH2
G2 เป็นกราฟ Eulerian กับมอร์ฟฉ
ระหว่าง H1 และ H2 กำหนดโดย f (UI) = vi ทุกฉัน∈ {1, 2, 3, 4} โปรดทราบว่าทุก
จุดที่แปลก u1, u2 ∈ V (H1) และ v1, v3 ∈ V (H2) เราจะเห็นได้ว่าแม้จุด
ในโคลนของทั้งสองกราฟเดิมจะได้รับจากทั้งสองแปลก (u3 และ v3)
หรือทั้งสองแม้จุด (U4 และ v4) ในสองกราฟต้นฉบับและจุดที่แปลกใน
โคลนจะได้รับจากที่หนึ่งที่แปลกและเป็นหนึ่งใน แม้จุดสุดยอด (u1, u2 และ v1, v2) ในสอง
กราฟเดิม.
กรณีพิเศษของทฤษฎีบท 2.4 เมื่อทั้งสองกราฟต้นฉบับจะ Eulerian ถูก
ระบุไว้ในต่อไปนี้.
ควันหลง 2.5 กราฟติดกาวสองกราฟ Eulerian ยังเป็น Eulerian ถ้า
เฉพาะในกรณีที่โคลนของทั้งสองกราฟเดิมเป็น Eulerian.
หลักฐาน ให้สองกราฟเดิมเป็น Eulerian สำหรับความจำเป็นสมมติว่า
กราฟกาวเป็น Eulerian โดยทฤษฎีบท 2.4 เราได้รับว่าไม่มีจุดสุดยอดแปลก
ในโคลนของทั้งสองกราฟเดิม และดังนั้นจึงโคลนเป็น Eulerian.
ตรงกันข้ามสมมติว่าโคลนเป็น Eulerian ตั้งแต่สองกราฟเดิมมี
เพียงแม้จุดทฤษฎีบท 2.4 conclueds กราฟที่ติดกาวเป็น Eulerian ¥

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

พิจารณารูปที่ 1 เราใช้กราฟตัวหนาแสดงถึง subgraph H1 ของ G1
, H0 G1 และ G2 H2 ของของ✁✄ H1 H2

∼ = f G2 G1 และ G2 มี ชัดเจน ไม่ใช่กราฟออยเลอร์
2 เชื่อมต่อ แต่✁✄ G1
H1 ∼ = fh2
G2 เป็นกราฟออยเลอร์กับ ไอโซมอร์ฟิซึม f
ระหว่าง H1 H2 และกำหนดโดย F ( UI ) = 6 ทุกชั้น∈ { 1 , 2 , 3 , 4 } โปรดทราบว่าทุกจุด U1 U2
แปลก , ∈ V ( H1 ) และ V1 , V3 ∈ V ( H2 )เราจะเห็นได้ว่า แม้จุด
ในโคลนของสองกราฟต้นฉบับได้จากทั้งคี่ ( U3 v3
และ ) หรือทั้งสองถึงจุดยอด ( พีเอ็มทีแอร์ และความรู้ใน 2 จุดในกราฟต้นฉบับและแปลก
โคลนได้มาจากหนึ่งที่แปลกและแม้แต่จุดยอด ( U1 v1 และ v2 , U2 , ) ในกราฟต้นฉบับสอง
.
เป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบท 2.4 เมื่อสองต้นฉบับกราฟออยเลอร์เป็น

ไว้ในต่อไปนี้ควันหลง 2.5 กราฟสองกราฟ Eulerian ติดกาวยังออยเลอร์ถ้า
ถ้าโคลนของเดิมเป็นกราฟออยเลอร์ .
พิสูจน์ ให้กราฟ Eulerian เดิมเป็น . สำหรับความจำเป็น สมมติว่า
ติดกาวกราฟคือออยเลอร์ . โดยทฤษฎีบท 2.4 ที่เราได้รับที่ไม่มีจุดยอดคี่
ในโคลนของต้นฉบับสองกราฟ และดังนั้น โคลนออยเลอร์ .
ในทางกลับกันสมมติว่าโคลนออยเลอร์ . ตั้งแต่สองกราฟเดิมมี
เพียงแม้แต่จุด ทฤษฎี 2.4 conclueds ที่ติดกาวเป็นกราฟออยเลอร์ . ¥