Regularity of Semigroups of Multiho

Regularity of Semigroups of Multihomomorphisms of (Zn,+)
W. Teparos and Y. Kemprasit
Abstract : An element a of a semigroup S is called regular if a = aba for some b ∈ S, and S is called a regular semigroup if every element of S is regular. For a group G, denote by MHom(G) the semigroup, under composition, of all multi- homomorphisms of G into itself. It is known that the elements of MHom(Zn,+) are precisely Ik,a where k,a ∈ Z and Ik,a(x) = ax + kZn for all x ∈ Z, and |MHom(Zn,+)| = X k|n k. Our purpose is to show that for k,a ∈ Z, Ik,a is a regular
element of the semigroup MHom(Zn,+) if and only if a and
(n,k) (n,k,a)
are relatively prime, and MHom(Zn,+) is a regular semigroup if and only if n is square-free.
Keywords : Multihomomorphism, regular semigroup 2000 Mathematics Subject Classification : 32A12, 20M17
1 Introduction
The cardinality of a set X is denoted by |X|. By a multifunction from a nonempty set X into a nonempty set Y , we mean a function f : X → P∗(Y ) where P(Y ) is the power set of Y and P∗(Y ) = P(Y ){∅}. For A ⊆ X, let f(A) = [ a∈A f(a). Continuity of multifunctions between two topological spaces were studied by Whyburn [6], Smithson [4] and Feichtinger [2]. Multihomomorphisms between groups were defined naturally in [5] as follows: A multifunction f from a group G into a group G0 is called a multihomomorphism if f(xy) = f(x)f(y)(= { st | s ∈ f(x) and t ∈ f(y) }) for all x,y ∈ G. Denote by MHom(G,G0) the set of all multi- homomorphisms from G into G0, and write MHom(G) for MHom(G,G). Clearly, MHom(G) is a semigroup under composition. For cyclic groups G and G0, the elements of MHom(G,G0) were characterized and |MHom(G,G0)| was determined in [5] and moreover, necessary and sufficient conditions for f ∈ MHom(G,G0) to be surjective, that is, [ x∈G f(x) = G0, were given in [3]. In [1], the authers provided remarkable necessary conditions for f
26 Thai J. Math.(Special Issue, 2006)/ W. Teparos and Y. Kemprasit
belonging to MHom(G,G0) when G0 is a subgroup of the additive group (R,+) and a subgroup of the multiplicative group (R∗,·) where R is the set of real numbers and R∗ = R{0}. Let Z be the set of integers, Z+ = {x ∈ Z|x > 0} and for n ∈ Z+, let (Zn,+) be the additive group of integers modulo n. The congruence class modulo n of x will be denoted by x. Then Zn = { x | x ∈ Z } = {0,1,...,n − 1} and |Zn| = n. For a1,a2,...,am ∈ Z, not all 0, the g.c.d. of a1,a2,...,am is denoted by (a1,a2,...,am). It is clearly seen that kZn = (k,n)Zn for all k ∈ Z and kZn + lZn = (k,l)Zn for all k,l ∈ Z, not both 0. If k,a ∈ Z, define the multifunction Ik,a from Zn into itself by
Ik,a(x) = ax + kZn for all x ∈ Z.
The following results are known.
Theorem 1.1. ([5]) MHom(Zn,+) = {Ik,a|k,a ∈ Z}.
Theorem 1.2. ([5]) The following statements hold. (i) If k,l ∈ Z+, k|n, l|n, a ∈ {0,1,...,k − 1}, b ∈ {0,1,...,l − 1} and Ik,a = Il,b, then k = l and a = b. (ii) MHom(Zn,+) = { Ik,a | k ∈ Z+,k|n and a ∈ {0,1,...,k − 1}}. (iii) |MHom(Zn,+)| = X k∈Z+ k|n k.
Note that in Theorem 1.2, (iii) is directly obtained from (i) and (ii). An element a of a semigroup S is called regular if a = aba for some b ∈ S. Denote by Reg(S) the set of all regular elements of S. If every element of S is regular, that is , Reg(S) = S, S is called a regular semigroup. Our purpose is to show that for k,a ∈ Z, Ik,a is a regular element of MHom(Zn,+) if and only if a and (n,k) (n,k,a) are relatively prime, and MHom(Zn,+) is a regular semigroup if and only if n is square-free. Recall that n is called square-free if for every a ∈ Z with a > 1, a2 - n. Hence n is square-free if and only if either n = 1 or n is a product of distinct primes.
2 The Regularity of MHom(Zn,+)
Throughout this section, let n be a positive integer. The following three lemmas are needed.
Lemma 2.1. If r,s,t ∈ Z, r 6= 0 and t 6= 0 are such that r | (s,
t (s,t)
), then r2 | t.
Proof. From the asumption, r | s and r|
t (s,t)
. Then r(s,t)|t. Hence r|s and r|t which implies that r|(s,t), and thus r2|r(s,t). But r(s,t)|t, so r2|t.
Regularity of Semigroups of Multihomomorphisms of (Zn,+) 27
Lemma 2.2. For k,l,a,b ∈ Z,
Ik,aIl,b =
( I(k,al),ab if k 6= 0, Ial,ab if k = 0.
Proof. For x ∈ Z,
Ik,aIl,b(x) = Ik,a(bx + lZn) = a(bx + lZn) + kZn = abx + alZn + kZn
=
(
abx + (k,al)Zn = I(k,al),ab(x) if k 6= 0, abx + alZn = Ial,ab(x) if k = 0,
so the lemma is proved.
Lemma 2.3. If k,l,a,b ∈ Z are such that Ik,a = Il,b, then kZn = lZn and (n,k)|(a − b).
Proof. We have that kZn = Ik,a(0) = Il,b(0) = lZn. Then Ik,a = Ik,b, so a+kZn = Ik,a(1) = Ik,b(1) = b + kZn. Hence a − b = kt for some t ∈ Z, thus n|(a − b − kt). Since (n,k)|n and (n,k)|kt, it follows that (n,k)|(a − b).
Theorem 2.4. For k,a ∈ Z, Ik,a is a regular element of the semigroup MHom(Zn,+) if and only if a and (n,k) (n,k,a) are relatively prime.
Proof. First, assume that Ik,a is a regular element of MHom(Zn,+). Then there are l,b ∈ Z such that Ik,a = Ik,aIl,bIk,a. By Lemma 2.2, Ik,aIl,bIk,a = Is,a2b for some s ∈ Z, and so by Lemma 2.3, (n,k)|(a2b − a). This implies that (n,k) (n,k,a) | a (n,k,a) (ab − 1). But (n,k) (n,k,a) and a (n,k,a) are relatively prime, thus (n,k) (n,k,a) |(ab − 1). Therefore ab + (n,k) (n,k,a) t = 1 for some t ∈ Z. Consequently, a and (nk) (n,k,a) are relatively prime. Conversely, assume that a and (n,k) (n,k,a) are relatively prime. Then there are b,c ∈ Z such that ab + (n,k) (n,k,a) c = 1. It follows that (a2b − a)x = (ab − 1)ax = µ (n,k) (n,k,a) cax ¶ = (n,k) µ a (n,k,a) cx ¶ ∈ (n,k)Zn = kZn for every x ∈ Z. Conse- quently, a2bx + kZn = ax + kZn for every x ∈ Z. By Lemma 2.2,
Ik,aIk,bIk,a =
(
I(k,a(k,bk)),a2b = Ik,a2b if k 6= 0, I0,a2b = Ik,a2b if k = 0.
28 Thai J. Math.(Special Issue, 2006)/ W. Teparos and Y. Kemprasit
Thus for every x ∈ Z, Ik,aIk,bIk,a(x) = a2bx + kZn = ax + kZn = Ik,a(x), so Ik,aIk,bIk,a = Ik,a. Hence Ik,a is a regular element of MHom(Zn,+), as desired.
Corollary 2.5. Let QF be the set of all square-free positive integers. Then the following statements hold.
(i) Reg(MHom(Zn,+)) = { Ik,a | k ∈ Z+,k|n,a ∈ {0,1,...,k − 1} and (a, k (k,a)
) = 1}
= { Ik,a | k ∈ QF,k|n and a ∈ {0,1,...,k − 1}} ∪ { Ik,a | k ∈ Z+QF,k|n,a ∈ {0,1,...,k − 1} and (a, k (k,a)
) = 1}
(ii) |Reg(MHom(Zn,+))|
=
X
k∈QF k|n
k +
X
k∈Z+QF k|n
|{a ∈ {0,1,...,k − 1} | (a,
k (k,a)
) = 1}|
Proof. (i) The first equality follows from Theorem 1.2(ii) and Theorem 2.4 and the second equality is obtained from Lemma 2.1. (ii) is obtained from (i) and Theorem 1.2(i).
Theorem 2.6. The semigroup MHom(Zn,+) is regular if and only if n is square- free.
Proof. From Theorem 1.1 and Theorem 2.4, we have respectively that
MHom(Zn,+) = { Ik,a | k,a ∈ Z}
and
Reg(MHom(Zn,+)) = { Ik,a | k,a ∈ Z and (a,
(n,k) (n,k,a)
) = 1}
First, assume that n is not square-free. Then there exists an integer r > 1 such that r2|n. Then (r, (n,n) (n,n,r) ) = (r, n r ) = r > 1 which implies that In,r ∈ MHom(Zn,+)Reg(MHom(Zn,+)). This proves that if MHom(Zn,+) is a regular semigroup, then n is square-free. For the converse, assume that n is square-free. Then k is square-free for every k ∈ Z+ with k|n. Therefore we deduce from Corollary 2.5 (i) that
Reg(MHom(Zn,+)) = { Ik,a | k ∈ Z+,k|n and a ∈ {0,1,...,k − 1}}.
By Theorem 1.2(ii), we have Reg(MHom(Zn,+)) = MHom(Zn,+). Hence MHom(Zn,+) is a regular semigroup.
Regularity of Semigroups of Multihomomorphisms of (Zn,+) 29
The following corollary is obtained directly from Theorem 1.2(iii) and Theorem
2.6.
Corollary 2.7. For any prime p, MHom(Zp,+) is a regular semigroup of order 1 + p.
Example 2.8. By Theorem 1.2(iii) and Theorem 2.6, MHom(Z6,+) is a regular semigroup of order 1 + 2 + 3 + 6 = 12. By Corollary 2.5(ii),
|Reg(MHom(Z20,+))| = (1 + 2 + 5 + 10) + |{a ∈ {0,1,2,3} | (a,
4 (4,a)
) = 1}|
+ |{a ∈ {0,1,...,19} | (a,
20 (20,a)
) = 1}|
= 18 + (3 + 15) = 36
since for a ∈ {0,1,2,3}, (a,
4 (4,a)
) = 1 ⇔ a ∈ {0,1,3}
and
for a ∈ {0,1,...,19}, (a,
20 (20,a)
) = 1 ⇔ a ∈ {0,1,3,4,5,7,8,9,11,12,13,
15,16,17,19}.
By Theorem 1.2(iii), |MHom(Z20,+)Reg(MHom(Z20,+))| = (1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20) − 36 = 42 − 36 = 6.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ความสม่ำเสมอของ semigroups ของ multihomomorphisms ของ (สังกะสี)
กว้าง teparos และ y kemprasit
นามธรรม: องค์ประกอบของ semigroup s เรียกว่าปกติถ้า = aba ขบาง∈ s และ s เรียกว่ากึ่งกลุ่มปกติถ้าองค์ประกอบของ s ทุกปกติ สำหรับกลุ่มกรัม, แสดงโดย mhom (g) semigroup ภายใต้องค์ประกอบของทุก homomorphisms หลายของ g เป็นตัวเอง เป็นที่รู้จักกันว่าองค์ประกอบของ mhom (สังกะสี,) จะ ik อย่างแม่นยำโดยที่ k, ซี∈และ ik, (x) = ขวาน KZN ทั้งหมด x ∈ Z และ | mhom (สังกะสี) | = XK | n k จุดประสงค์ของเราคือการแสดงให้เห็นว่าการ k, ซี∈, ik, เป็นปกติ
องค์ประกอบของ semigroup mhom (สังกะสี) และถ้าหากและ
(n, k) (n, k, a)
เป็น ความสำคัญและ mhom (สังกะสี) เป็นกึ่งกลุ่มปกติถ้าหาก n คือตารางฟรี
คำหลัก:. multihomomorphism,semigroup 2000 เรื่องการจัดหมวดหมู่คณิตศาสตร์ปกติ: 32a12, 20m17
1
cardinality การแนะนำของชุด x จะแสดงไว้โดย | x | โดยมัลติฟังก์ชั่จากชุด nonempty x y เป็นชุด nonempty เราหมายถึงฟังก์ชัน f: x → p * (y) โดย p (y) เป็นชุดอำนาจของ y และ p * (y) = P (y) {∅} เพื่อ⊆ x ให้ f (a) = [∈ฉ (ก)ความต่อเนื่องของ multifunctions ระหว่างสองพื้นที่ทอพอโลยีการศึกษาโดย Whyburn [6], สมิท [4] และ Feichtinger [2] multihomomorphisms ระหว่างกลุ่มที่ถูกกำหนดไว้ตามธรรมชาติใน [5] ดังนี้ฉมัลติฟังก์ชั่จากกลุ่มกรัมเป็น g0 กลุ่มที่เรียกว่า multihomomorphism ถ้า f (เซ็กซี่) = f (x) f (y) (= {เซนต์ | s ∈ฉ (x) และเสื้อ∈ f (y)}) ทั้งหมด x, y ∈กรัม แสดงโดย mhom (กรัมg0) ชุดของทุก homomorphisms จากหลายกรัมเป็น g0 และเขียน mhom (กรัม) ต่​​อ mhom (g, g) อย่างชัดเจน mhom (g) เป็นกึ่งกลุ่มภายใต้องค์ประกอบ สำหรับกลุ่มวงจรกรัมและ g0 องค์ประกอบของ mhom (g, g0) มีลักษณะและ | mhom (g, g0) | ถูกกำหนดใน [5] และนอกจากนี้เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับฉ∈ mhom (g, g0) เพื่อ เป็น surjective, ที่อยู่, [x ∈ GF (x) = g0, ได้รับใน [3] ใน [1]authers ให้เงื่อนไขที่จำเป็นน่าทึ่งสำหรับฉ
26 เจไทย คณิตศาสตร์. (ฉบับพิเศษ, 2006) w / teparos และ y kemprasit
เป็น mhom (g, g0) เมื่อ g0 เป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มสารเติมแต่ง (r) และกลุ่มย่อยของกลุ่มการคูณ (r *, ·) ที่ r คือชุดของตัวเลขจริงและ r * = r {0} ปล่อยให้ซีเป็นชุดของจำนวนเต็ม, z = {x ∈ Z | x> 0} และ n ∈ซีให้ (สังกะสี,) จะเพิ่มกลุ่มของจำนวนเต็มแบบโมดูโล n n โมดูโลชั้นความสอดคล้องกันของ x จะถูกแทนด้วย x แล้ว Zn = {x | x ∈ Z} = {0,1, ... , n - 1} และ | สังกะสี | n = เพื่อ a1, a2, ... , ฉัน∈ z ไม่ใช่ทั้งหมด 0, g.c.d. ของ a1, a2, ... , am ถูกแทนด้วย (a1, a2, ... , am) จะเห็นอย่างชัดเจนว่า KZN = (k, n) สังกะสีเพื่อ k ทั้งหมด∈ Z และ LZN KZN = (k, ลิตร) สังกะสีสำหรับทุก k ลิตร∈ z ไม่ใช่ทั้งสอง 0 ถ้า k, ซี∈,กำหนด ik มัลติฟังก์ชั่จากสังกะสีเป็นตัวเองโดย
ik, (x) = ขวาน KZN ทั้งหมด x ∈ซี.
ผลดังต่อไปนี้เป็นที่รู้จักกัน.
ทฤษฎีบท 1.1 ([5]) mhom (สังกะสี) =. {ik, | k, ซี∈}
ทฤษฎีบท 1.2 ([5]) งบดังต่อไปนี้ถือ (i) ถ้า k ลิตร∈ซี, k | n, ลิตร | n, ∈ {0,1, ... , k - 1}, b ∈ {0,1, ... , ลิตร - 1} และ ik, il = b, แล้ว k = ลิตร = b (ii) mhom (สังกะสี) = {ik, | k ∈ซี, k | n และ∈ {0,1, ... , k - 1}}(iii) | mhom (สังกะสี) | = XK ∈ zk |. n k
ทราบว่าในทฤษฎีบท 1.2 (iii) จะได้รับโดยตรงจาก (i) และ (ii) องค์ประกอบของ semigroup s เรียกว่าปกติถ้า = aba สำหรับบางข∈ s แสดงโดยเร็ก (s) ชุดขององค์ประกอบปกติของ s ถ้าองค์ประกอบของ s ทุกปกติท​​ี่เป็นเร็ก (s) = s, s เรียกว่ากึ่งกลุ่มปกติ จุดประสงค์ของเราคือการแสดงให้เห็นว่าการ k, ซี∈, ik,เป็นองค์ประกอบปกติของ mhom (สังกะสี) และถ้าหากและ (n, k) (n k,,) มีความสำคัญและ mhom (สังกะสี) เป็นกึ่งกลุ่มปกติถ้าหาก n คือตาราง ฟรี n จำที่เรียกว่าตารางฟรีถ้าสำหรับทุก∈ซีด้วย> 1 a2 - n ด้วยเหตุนี้ n คือตารางฟรีและถ้าหากทั้ง n = 1 หรือ n เป็นผลิตภัณฑ์ของจำนวนเฉพาะที่แตกต่าง.
2 ระเบียบของ mhom (สังกะสี)
ตลอดส่วนนี้ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก ต่อไปนี้สาม lemmas จำเป็น.
บทแทรก 2.1 ถ้า r, s, t ∈ Z, r 6 = 0 และที 6 = 0 เ​​ป็นเช่นที่ r | (s,
T (s, t)
) แล้ว r2 |. T
หลักฐาน จาก asumption, r | s และ r |
T (s, t)
แล้ว r (s, t) | เสื้อ จึง r | s และ r | เสื้อซึ่งหมายความว่า r | (s, t) และทำให้ r2 | r (s, t) แต่ r (s, t) | เสื้อดังนั้น r2 |. T
ความสม่ำเสมอของ semigroups ของ multihomomorphisms ของ (สังกะสี) 27
บทแทรก 2.2 เพื่อ k, ลิตร,b ∈ Z,
ik, ลำบาก, b =
(i (k อัล) ถ้า k ข 6 = 0 Ial, AB ถ้า k = 0.
หลักฐาน. สําหรับ x ∈ Z,
ik, ประชวรข ( x) = ik, (BX LZN) = (BX LZN) KZN = abx alzn KZN

= (
abx (k อัล) สังกะสี i = (k อัล), ข (x) ถ้า k 6 = 0 , abx alzn = Ial, AB (x) ถ้า k = 0
เพื่อแทรกพิสูจน์.
บทแทรก 2.3. ถ้า k, L, B, ∈ซีเป็นเช่นที่ ik, il = b, แล้ว KZN = LZN และ (n, k) |... (a - b)
หลักฐานที่เรามี KZN = ik, (0) = il, B (0) = LZN แล้ว ik,ik = b, ดังนั้น KZN = ik, (1) = ik ข (1) = b KZN จึง a - b = โฮเทลเมื่อ t บาง∈ซีจึง n | (a - b - โฮเทล) ตั้งแต่ (n, k) | n และ (n, k) | โฮเทลมันตามที่ (n, k) |. (a - b)
ทฤษฎีบท 2.4 เพื่อ k, a ∈ซี, ik, เป็นองค์ประกอบปกติของ semigroup mhom (สังกะสี) และถ้าหากและ (n, k) (n, k, a) มีความสำคัญ.
หลักฐาน ครั้งแรกคิด ik ที่เป็นองค์ประกอบปกติของ mhom (สังกะสี) แล้วมีต่อลิตรb ∈ซีดังกล่าวว่า ik, = ik, ลำบาก, Bik, โดยบทแทรก 2.2 ik, ลำบาก, Bik, = คือการ A2B s บาง∈ซีและอื่น ๆ โดยบทแทรก 2.3 (n, k) | (A2B -) นี้แสดงให้เห็นว่า (n, k) (n, k, a) | (n, k, a) (ข - 1) แต่ (n, k) (n, k, a) และ (n, k, a) มีความสำคัญจึง (n, k) (n, k, a) | (ข - 1) จึงเป็นข (n, k) (n, k, a) t = 1 สำหรับทีซีบาง∈ ดังนั้นและ (NK) (n, k, a) มีความสำคัญ ตรงกันข้ามสมมติว่าและ (n, k) (n, k, a) มีความสำคัญ แล้วมี b, c ∈ซีดังกล่าวว่าข (n, k) (n, k, a) c = 1 มันตามที่ (A2B -) y = (ข - 1) ขวาน = μ (n, k) (n, k, a) CAX ¶ = (n, k) μ (n k,,) CX ¶∈ (n, k) สังกะสี = KZN สำหรับทุก x ∈ซี conse-quently, a2bx KZN = ขวาน KZN สำหรับทุก x ∈ซี โดยบทแทรก 2.2
ik, aik, Bik, =
(
i (k, (k, bk)) A2B = ik, A2B ถ้า k 6 = 0, i0, A2B = ik, A2B ถ้า k = 0 .
28 เจไทย คณิตศาสตร์. (ฉบับพิเศษ, 2006) w / teparos และ y kemprasit
ดังนั้นสำหรับทุก x ∈ซี, ik, aik, Bik, (x) = a2bx KZN = ขวาน KZN = ik, (x) ดังนั้น ik, aik, Bik, = ik, จึง ik, เป็นองค์ประกอบปกติของ mhom (Zn), ตามที่ต้องการ.
ควันหลง 2.5 QF ให้เป็นชุดของทุกจำนวนเต็มบวกตารางฟรี แล้วคำสั่งต่อไปถือ
(i) เร็ก (mhom (สังกะสี)) = {ik, |. k ∈ซี, k | n, ∈ {0,1, ... ,k - 1} และ (a, k (k, a)
) = 1}
= {ik, | k ∈ QF, k | n และ∈ {0,1, ... , k - 1}} ∪ {ik, | k ∈ Z QF, k | n, ∈ {0,1, ... , k - 1} และ (a, k (k, a)
) = 1}
(ii) | เร็ก (mhom (สังกะสี)) |
=
x
k ∈ QF k | n
k
x
k ∈ Z QF k | n
| {∈ {0,1, ... , k - 1} | (
k (k, a)
) = 1} |
หลักฐาน (i) ความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้ครั้งแรกจากทฤษฎีบท 1.2 (ii) และทฤษฎีบท 2.4 และความเสมอภาคที่สองจะได้รับจากบทแทรก 2.1(ii) ได้มาจาก (i) และทฤษฎีบท 1.2 (i).
ทฤษฎีบท 2.6 mhom semigroup (สังกะสี) เป็นปกติและถ้าหาก n คือตารางฟรี.
หลักฐาน จากทฤษฎีบท 1.1 และทฤษฎีบท 2.4 เรามีตามลำดับที่
mhom (สังกะสี) = {ik, | k, ซี∈}

และเร็ก (mhom (สังกะสี)) = {ik, | k, a ∈ และ z (
(n, k) (n, k, a)
) = 1}
แรกสมมติ n ที่ไม่สแควร์ฟรี แล้วมีอยู่จำนวนเต็ม r> 1 เช่นว่า r2 | n แล้ว (r,(n n) (n, n, r)) = (r ถิ่น) = r> 1 ซึ่งหมายความว่าใน r ∈ mhom (สังกะสี) เร็ก (mhom (สังกะสี)) นี้พิสูจน์ว่าถ้า mhom (สังกะสี) เป็นกึ่งกลุ่มปกติแล้ว n คือตารางฟรี การสนทนาสมมติ n ที่เป็นตารางฟรี แล้ว k เป็นตารางฟรีสำหรับทุก k ∈ซีด้วย k | n ดังนั้นเราจึงได้ข้อสรุปจากข้อพิสูจน์ 2.5 (i) ที่
เร็ก (mhom (สังกะสี)) = {ik, | k ∈ซี, k | n และ∈ {0,1, ... , k - 1}}
โดยทฤษฎีบท 12 (ii) เรามีเร็ก (mhom (สังกะสี)) = mhom (สังกะสี) จึง mhom (สังกะสี) เป็นกึ่งกลุ่มปกติ.
ความสม่ำเสมอของ semigroups ของ multihomomorphisms ของ (สังกะสี) 29
ข้อพิสูจน์ต่อไปนี้ได้โดยตรงจากทฤษฎีบท 1.2 (iii) และทฤษฎีบท 2.6
.
ควันหลง 2.7 สำหรับนายก p, mhom (ZP) เป็นกึ่งกลุ่มปกติของการสั่งซื้อ 1 พี.
ตัวอย่าง 2.8 โดยทฤษฎีบท 1.2 (iii) และทฤษฎีบท 2.6 mhom (Z6,) เป็นกึ่งกลุ่มปกติของการสั่งซื้อ 1 2 3 6 = 12 โดยข้อพิสูจน์ 2.5 (ii)
| เร็ก (mhom (z20)) | = (1 2 5 10) | {∈ {0,1,2,3} | (
4 (4)
) = 1} |
| {∈ {0,1, ... , 19} | (
20 (20)
) = 1} |
= 18 (3 15) = 36
ตั้งแต่เวลา ∈ {0,1,2,3}, (,
4 (4)
) = 1 ⇔∈ {0,1,3}

และสำหรับ∈ {0,1, ... , 19}, (
20 (20)
) = 1 ⇔∈ {0,1,3,4,5,7,8,9,11,12,13
15,16,17 , 19}.
โดยทฤษฎีบท 1.2 (iii),| mhom (z20) เร็ก (mhom (z20)) |. = (1 2 4 5 10 20) - 36 = 42-36 = 6

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ความ Semigroups ของ Multihomomorphisms ของ (Zn,)
W. Teparos และ Y. Kemprasit
นามธรรม: องค์การของ semigroup กับ S จะเรียกว่าปกติถ้าเป็น = aba สำหรับบาง∈ b S และ S คือ semigroup ปกติถ้าทุกองค์ประกอบของ S เป็นปกติ กลุ่ม G แสดง โดย MHom(G) semigroup ภายใต้ องค์ประกอบของมัลติ homomorphisms ทั้งหมดของ G ในตัวเอง เป็นที่รู้จักกันที่องค์ประกอบของ MHom (Zn ) จะแม่นยำ Ik เป็น k ∈ Z และ Ik,a(x) = ax kZn สำหรับทุก x ∈ Z และ |MHom (Zn,) | = X k|n k วัตถุประสงค์ของเราคือการ แสดงที่ k ∈ Z, Ik เป็นขาประจำ
องค์ประกอบของ semigroup MHom (Zn,) และเท่ากับ and
(n,k) (n, k เป็น)
จะค่อนข้างเฉพาะ MHom (Zn,) เป็น semigroup ปกติถ้าและเฉพาะถ้า n เป็นสแควร์-ฟรี.
คำสำคัญ: Multihomomorphism ปกติ semigroup 2000 Classification เรื่องคณิตศาสตร์: 32A12, 20M 17
แนะนำ 1
สามารถระบุโดยจำนวนนับของชุด X |X| ด้วยหลากหลายฟังก์ชั่นจากชุด nonempty X เป็น Y แบบชุด nonempty เราหมายความว่า มีฟังก์ชัน f: X → P∗ (Y) โดยที่ P (Y) คือ ชุดไฟของ Y และ P∗ (Y) = P (Y) {∅} สำหรับ⊆ X, f(A) ให้ = [a∈A f(a) ความต่อเนื่องของ multifunctions ระหว่างสองช่อง topological ถูกศึกษา โดย Whyburn [6], Smithson [4] และ Feichtinger [2] Multihomomorphisms ระหว่างกลุ่มได้ defined ธรรมชาติใน [5] ดังนี้: f เครื่องมัลติฟังก์ชั่นจากกลุ่ม G ในกลุ่ม G0 คือถ้า multihomomorphism f(xy) = f(x)f(y) (= {เซนต์ | s ∈ f(x) และ t ∈ f(y) }) สำหรับทุก x, y ∈ กรัมแสดง โดย MHom (GG0) ชุดของหลาย homomorphisms ทั้งหมดจาก G G0 และเขียน MHom(G) สำหรับ MHom(G,G) เห็นได้ชัด MHom(G) เป็น semigroup ภายใต้องค์ประกอบ มีลักษณะองค์ประกอบของ MHom(G,G0) สำหรับกลุ่มวัฏจักร G และ G0 และ |MHom (G, G0) | กำหนดใน [5] และยิ่งไปกว่านั้น ความจำเป็นและ sufficient เงื่อนไขสำหรับ f ∈ MHom(G,G0) จะ surjective คือ, [x∈G f(x) = G0 ได้รับใน [3] ใน [1], authers ที่มีเงื่อนไขจำเป็นที่โดดเด่นสำหรับ f
คณิตศาสตร์ J. ไทย 26(ฉบับพิเศษ 2006) / ปริมาณ Teparos และ Y. Kemprasit
ของ MHom(G,G0) เมื่อ G0 เป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มสามารถ (R), และกลุ่มย่อยของกลุ่มเชิงการคูณ (R∗, ·) ที่ R คือ ชุดของตัวเลขจำนวนจริงและ R∗ = R { 0 } ให้ Z เป็นชุดของจำนวนเต็ม Z = { x ∈ Z|x > 0 } สำหรับ n ∈ Z ให้ (Zn ) เป็นกลุ่มสามารถจำนวนเต็ม modulo n ชั้นลงตัว modulo n ของ x จะแทนได้ ด้วย x แล้ว Zn = { x | x ∈ Z } = {0,1,..., n − 1 } และ |Zn| = n สำหรับ a1, a2,..., ∈ Z กำลัง ไม่ 0, g.c.d. ของ a1, a2,..., ฉันเป็น denoted ด้วย (a1, a2,..., ฉัน) จึงชัดเจนเห็นว่า kZn = (k, n) Zn สำหรับ k ∈ Z kZn lZn = (k, l) Zn ทั้งหมด k, l ∈ Z, 0 ทั้งสองไม่ ถ้า k, Z ∈เป็น define Ik มัลติฟังก์ชั่น การจาก Zn เป็นตัว by
Ik,a(x) = ax kZn สำหรับทุก x ∈ z.
ผลลัพธ์ต่อไปนี้ได้รู้จัก
1.1 ทฤษฎีบท MHom ([5]) (Zn,) = {Ik, a|k ∈ Z } .
ทฤษฎีบท 1.2 ([5]) คำสั่งต่อไปนี้ถือ (i) ถ้า k, l ∈ Z, k|n, l|n ∈ {0,1,..., k − 1 } b ∈ {0,1,..., l − 1 } และ Ik เป็น = Il บี แล้ว k = l และ = b. (ii) MHom (Zn,) = { Ik เป็น | k ∈ Z, k|n และ∈ {0,1,..., k − 1 } } (iii) |MHom (Zn,) | = X k∈Z k|n คุณ
หมายเหตุว่า ในทฤษฎีบท 1.2 (iii) ได้รับมาโดยตรงจาก (i) และ (ii) องค์เป็นของ semigroup S จะเรียกว่าปกติถ้าเป็น = aba สำหรับบาง b ∈ s ได้แสดงโดย Reg (S) ชุดขององค์ประกอบปกติทั้งหมดของ s ได้ ถ้าทุกองค์ประกอบของ S ปกติ คือ หมายเลขทะเบียน (S) = S, S คือ semigroup ปกติ วัตถุประสงค์ของเราคือการ แสดงที่ k เป็น∈ Z, Ikเป็นองค์ประกอบทั่วไปของ MHom (Zn,) และถ้าเป็น (n, k) และ (n, k ) จะค่อนข้างเฉพาะ MHom (Zn,) เป็น semigroup ปกติถ้าและเฉพาะถ้า n เป็นสแควร์ฟรี เรียกคืนเรียก n ว่าสแควร์ฟรีถ้าสำหรับทุก∈ Z ด้วย > 1, a2 - n Hence ตอนเหนือคือ ถ้าสแควร์ฟรีและรับใด n = 1 หรือ n เป็นผลิตภัณฑ์ของโรงแรมไพรม์มา
2 ความ MHom(Zn,)
ตลอดส่วนนี้ ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก Lemmas สามต่อไปนี้เป็นการ
2.1 จับมือ ถ้า r, s, t ∈ Z, r 6 = 0 และ t 6 = 0 ดังกล่าวที่ r | (s,
t (s, t)
), r2 แล้ว | ต.
พิสูจน์ จาก asumption, r | s และ r|
t (s, t)
แล้ว r (s, t) |t. Hence r|s และ r|t ซึ่งหมายถึงการที่ r|(s, t), และ r2|r(s,t) ดังนั้น แต่ r (s, t) |t, r2|t เพื่อให้
ความของ Semigroups ของ Multihomomorphisms ของ (Zn,) 27
จับมือ 2.2 สำหรับ k, l, a∈ b Z,
Ik, aIl, b =
(ฉัน (k, al), ab ถ้า k 6 = 0, Ial, ab ถ้า k = 0.
พิสูจน์ สำหรับ x ∈ Z,
Ik,aIl,b(x) = Ik (bx lZn) = kZn (bx lZn) = abx alZn kZn
=
(
abx (k, al) Zn = I(k,al),ab(x) ถ้า k 6 = 0, abx alZn = Ial,ab(x) ถ้า k = 0,
เพื่อพิสูจน์การจับมือกัน
2.3 การจับมือ ถ้า k, l, a, b ∈ Z เป็นเช่นว่า Ik การ = Il บี แล้ว kZn = lZn และ (n, k) |(− b) .
พิสูจน์ เรามีที่ kZn = Ik,a(0) = Il,b(0) = lZn แล้ว Ikการ = Ik บี ดังนั้น kZn เป็น = Ik,a(1) = Ik,b(1) = b kZn ดังนั้น− b = kt สำหรับบาง∈ t Z, n| ดังนั้น(เป็น− b − kt) เนื่องจาก (n, k) |n (n, k) และ |kt เป็นไปตามนั้น (k n ) |(− b) .
ทฤษฎีบท 2.4 สำหรับ k ∈ Z, Ik เป็นองค์ประกอบทั่วไปของ semigroup MHom (Zn,) และถ้าเป็น (n, k) และ (n, k การ) ได้ค่อนข้างนายก
พิสูจน์ ครั้งแรก สมมติว่า Ik เป็นองค์ประกอบทั่วไปของ MHom (Zn,) มี l∈ b Z เช่นว่า Ik การ = Ik, aIl, bIk การ โดยจับมือ 2.2, Ik, aIl, bIk =เป็น a2b สำหรับบาง∈ s Z และอื่น ๆ โดยการจับมือ 2.3, (n, k) |(a2b −การ) หมายความว่า (k n ) (n, k การ) | มี (n, k การ) (ab − 1) (N, k) แต่ (n, k การ) และ (n, k การ) ค่อนข้างสำคัญ (n, k) (n, k การ) |(ab − 1) ดังนั้น ab (n, k) (n, k การ) t = 1 สำหรับ∈บางที Z ดังนั้น เป็น (nk) และ (n, k การ) จะค่อนข้างเฉพาะ ในทางกลับกัน สมมุติว่าเป็น (n, k) และ (n, k การ) เป็นนายกรัฐมนตรีค่อนข้าง แล้วมี b, c ∈ Z กล่าวว่า ab (n, k) (n, k การ) c = 1 เป็นไปตามที่ (a2b −เป็น) x ax = (ab − 1) เขต (n, k) = (n, k ) cax ถัด = (n, k) เขตเป็น (n, k ) ∈ถัด cx (n, k) Zn = kZn สำหรับทุก x ∈ z. Conse - quently, a2bx kZn = ax kZn สำหรับทุก x ∈ Z โดยจับมือ 2.2,
Ik, aIk, bIk เป็น =
(
I(k,a(k,bk)), a2b = Ik, a2b ถ้า k 6 = 0, I0, a2b = Ik, a2b ถ้า k = 0.
ไทย 28 J. คณิตศาสตร์(ฉบับพิเศษ 2006) / ปริมาณ Teparos และ Y. Kemprasit
ดังนี้สำหรับทุก x ∈ Z, Ik,aIk,bIk,a(x) = a2bx kZn ax kZn = = Ik,a(x), Ik นั้น aIk, bIk เป็น = Ik อ.จึง Ik เป็นองค์ประกอบทั่วไปของ MHom (Zn,), เป็นที่ต้อง
Corollary 2.5 ให้ QF เป็นชุดของจำนวนเต็มบวกที่สแควร์ฟรีทั้งหมด แล้วต่อไปนี้งบ hold.
(i) Reg (MHom (Zn,)) = { Ik การ | k ∈ Z, k|n ∈ {0,1,...,k − 1 } และ ( k (k การ)
) = 1 }
= { Ik การ | k ∈ QF, k|n และ∈ {0,1,..., k − 1 } } ∪ { Ik การ | k ∈ Z QF,k|n,a ∈ {0,1,..., k − 1 } และ ( k (k การ)
) = 1}
(ii) |หมายเลขทะเบียน (MHom (Zn,)) |
=
X
k∈QF k|n
k
X
k∈Z QF k|n
|{∈ {0,1,..., k − 1 } | (a,
k (k การ)
) = 1 } |
พิสูจน์ (i ความเสมอภาค first)ตามทฤษฎีบท 1.2(ii) และ 2.4 ทฤษฎีบท และความเสมอภาคที่สองได้รับมาจาก 2.1 จับมือ (ii) ได้รับมาจาก (i) และทฤษฎีบท 1.2 (i) .
ทฤษฎีบท 2.6 Semigroup MHom (Zn,) คือปกติถ้าและเฉพาะถ้า n สแควร์ฟรี.
พิสูจน์ 1.1 ทฤษฎีบทและทฤษฎีบท 2.4 เราได้ลำดับที่
MHom (Zn,) = { Ik เป็น | k, Z ∈เป็น}
และ
Reg (MHom (Zn,)) = { Ik เป็น | k, Z ∈เป็น และ (a,
(n,k) (n, k )
) = 1 }
แรก สมมติว่า n ไม่สแควร์ฟรี แล้วมีจำนวนเต็ม r > 1 เช่น r2|n ที่ จาก นั้น (r (n, n) (n, n, r)) = (r, n r) = r > 1 ซึ่งหมายถึงว่าใน r ∈ MHom(Zn,) Reg (MHom (Zn,)) นี้พิสูจน์ให้เห็นว่า ถ้า MHom(Zn,) semigroup ปกติ แล้ว n เป็นสแควร์ฟรี สำหรับคอนเวิร์ส สมมติว่า n คือสแควร์ฟรี แล้วเคสแควร์ฟรีสำหรับทุก∈ k Z กับ k|n ดังนั้น เราเดาจาก 2.5 Corollary (i) ที่
Reg (MHom (Zn,)) = { Ik การ | k ∈ Z, k|n และ∈ {0,1,..., k − 1 } }
โดยทฤษฎีบท 12(ii) เรามีทะเบียนการค้า (MHom (Zn,)) = MHom (Zn,) ดังนั้น MHom (Zn,) ได้เป็นปกติ semigroup
ความของ Semigroups ของ Multihomomorphisms ของ (Zn,) 29
corollary ต่อไปนี้ได้รับมาโดยตรงจากทฤษฎีบท 1.2(iii) และทฤษฎีบท
2.6.
Corollary 2.7 สำหรับใด ๆ เฉพาะ p, MHom (Zp,) เป็น semigroup ปกติของพีสั่ง 1
2.8 ตัวอย่าง โดยทฤษฎีบท 1.2(iii) และทฤษฎีบท 2.6, MHom (Z6 ) เป็น semigroup ทั่วไปของลำดับ 1 2 3 6 = 12 โดย Corollary 2.5 (ii),
|หมายเลขทะเบียน (MHom (Z20,)) | = (1 2 5 10) |{∈ { 0,1,2,3 } | (a,
4 (4 เป็น)
) = 1 } |
|{∈ {0,1,... 19 } | (a,
20 (20 เป็น)
) = 1 } |
= 18 (3 15) = 36
ตั้งแต่สำหรับ∈ { 0,1,2,3 }, (a,
4 (4 เป็น)
) = 1 ⇔∈ { 0,1,3 }
และ
สำหรับ∈ {0,1,... 19 }, (a,
20 (20 เป็น)
) = 1 ⇔∈เป็น { 0,1,3,4,5,7,8,9,11,12,13,
15, 16, 17, 19 }
โดยทฤษฎีบท 1.2(iii) |MHom (Z20,) Reg (MHom (Z20,)) | (1 2 4 5 10 20) =−− 36 = 42 36 = 6.

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ปริมาณการ semigroups ของ multihomomorphisms ของ( zn )
W . teparos และ Y kemprasit
ซึ่งจะช่วยเป็นนามธรรมส่วนที่เป็นของ S semigroup ที่เรียกว่าตามปกติหาก=รหัส ABA สำหรับ B ∈ S บางส่วนและจะเรียกว่า semigroup เป็นประจำหากทุกองค์ประกอบของ S เป็นปกติ. สำหรับกลุ่ม G รุปแบบโดย mhom ( g ) semigroup ที่อยู่ ภายใต้ การเขียนเรียงความของหลาย homomorphisms ทั้งหมดของ G ในตัวของมันเอง เป็นที่ทราบกันดีว่าองค์ประกอบของ mhom ( zn)เป็นมาตรฐาน IK ได้อย่างแม่นยำ,สถานที่ซึ่ง K , A ∈ Z และมาตรฐาน IK ,( X )= AX kzn สำหรับทั้งหมด X ∈ Z ,และ| mhom ( zn ,)|= x K | N , K . วัตถุประสงค์ของเราคือการแสดงให้เห็นว่าสำหรับ K , A ∈ Z , IK ,ที่เป็นปกติ
ส่วนของ semigroup mhom ( zn ,)หากและเฉพาะในกรณีที่และ
( N , K )( N , K , A )
มีความดีเยี่ยมและ mhom ( zn ,)เป็นปกติ semigroup หากและเฉพาะในกรณี n มีขนาดพื้นที่แบบไม่เสียค่าบริการ.
คีย์เวิร์ด: multihomomorphism ,classification semigroup 2000 คณิตศาสตร์เรื่องปกติ 32 cardinality แนะนำ
20 ม. 17
1 ที่ 12 ของ X ตั้งค่าเป็นที่มีผู้อุทิศให้โดย| x |. โดยมัลติฟังก์ชั่นจาก nonempty ที่ตั้งค่า X ใน nonempty ที่ตั้งค่า y เราหมายถึงฟังก์ชันที่ f x “→” p∗ ( y )ที่ P ( y )เป็นชุดไฟของ Y และ p∗ ( Y )= P ( Y ){∅} สำหรับ⊆ x ปล่อยให้ F ( A )=[ a∈a F ( A )ความต่อเนื่องของ multifunctions ระหว่างสองเว้นวรรค"เป็นศึกษาโดย whyburn smithson [ 6 ][ 4 ]และ[ 2 ] feichtinger multihomomorphisms ระหว่างกลุ่มคน defined อย่างเป็นธรรมชาติใน[ 5 ]มีดังนี้ที่มัลติฟังก์ชั่น F จากที่กลุ่ม G ในกลุ่ม G 0 เรียกว่าที่ multihomomorphism หาก F ( XY )= F ( X ), F ( y )(={ St |∈ F ( X )และ T ∈ F ( Y )})สำหรับทั้งหมด X , Y ∈ G .แสดงว่าโดย mhom ( G ,ตั้งค่า G 0 )ของหลาย homomorphisms ทั้งหมดจาก G ใน G 0 และเขียน mhom ( g )สำหรับ mhom ( G G ) ได้อย่างชัดเจน mhom ( g )เป็น semigroup ภายใต้ การเขียน สำหรับกลุ่มวน G G 0 และองค์ประกอบของ mhom ( G G 0 )มีลักษณะและ| mhom ( G G 0 )|ตั้งใจไว้แล้วว่าใน[ 5 ]และยิ่งกว่านั้นเงื่อนไขที่จำเป็นและ sufficient สำหรับ F ∈ mhom ( G G 0 )เป็น surjective ที่[ x∈g F ( X )= G 0 ได้ใน[ 3 ] ใน[ 1 ]authers ที่จัดให้บริการความโดดเด่นที่จำเป็นสำหรับ สภาพ F
ซึ่งจะช่วยไทย 26 ก.ศป.คณิตศาสตร์.(พิเศษปัญหา, 2006 )/ W teparos และ Y kemprasit
ซึ่งจะช่วยเป็นของ mhom ( G , G 0 )เมื่อ G 0 เป็นกลุ่มของสารกลุ่ม( r ,)และกลุ่มของ multiplicative กลุ่ม( r∗ ,)ที่ R เป็นที่ตั้งของจริงหมายเลขและ r∗ = R :{ 0 } ปล่อยให้ Z เป็นชุดของ integers Z ={ x ∈ Z | x > 0 }และสำหรับ n ∈ Z ให้( zn)เป็นกลุ่มสารของโมเมนตัมมอนิเตอร์โมเสก integers n โมเมนตัมมอนิเตอร์โมเสก Class congruence N X จะเป็นที่มีผู้อุทิศให้ด้วย x จากนั้น zn ={ x | x ∈ Z }={ 0,1 , N - 1 }และ zn ||= n สำหรับ A 1 , 2 , am ∈ Z ไม่ได้ทั้งหมด 0 g.c.d. ของ A 1 , 2 , AM ที่มีผู้อุทิศให้ด้วย( A 1 , 2 , am ) เป็นโรงแรมที่เห็นได้ชัดว่า kzn =( K N ) zn สำหรับ lzn K ∈ Z และ kzn ทั้งหมด=( K L ) zn สำหรับ K ทั้งหมด l ∈ Z ไม่ได้ทั้ง 0 หาก K ∈ z , Aมาตรฐาน IK define มัลติฟังก์ชั่นจาก zn ไปไว้ในตัวเองด้วย
IK ( X ) kzn = AX สำหรับ x ∈ Z .
ผลลัพธ์ต่อไปนี้ซึ่งเป็นที่รู้กันดีว่ามี.
บทพิสูจน์ 1.1 . ([ 5 ]) mhom ( zn )={ IK K |ที่∈ Z , a }
บทพิสูจน์ 1.2 ([ 5 ])ถ้อยคำต่อไปนี้ได้ ( i )หาก K L ∈ Z | K n | l n ∈{ 0,1 , K - 1 }∈{ 0,1 , L - 1 }และมาตรฐาน IK =, IL ที่ B แล้ว L K =และ= B . ( ii ) mhom ( zn )={ IK K |ที่∈ Z | K n และ∈{ 0,1 , K - 1 }}( iii )| mhom ( zn )|= K n | x k∈z K .
บันทึกไว้ด้วยว่าในบทพิสูจน์ 1.2 ( iii )ได้รับมาจาก( i )และ( ii )โดยตรง ส่วนที่เป็นของที่ semigroup S จะเรียกว่าเป็นประจำหาก=รหัส ABA สำหรับบางคน B ∈ S .รุปแบบโดย REG ‐( S )ที่ตั้งของทั้งหมดเป็นประจำส่วนของ S .หากทุกส่วนของ S เป็นประจำ,ที่อยู่, REG ( S )=% s , s เรียกว่าที่ปกติ semigroup . ตามวัตถุประสงค์ของเราคือการแสดงให้เห็นว่าสำหรับ K IK ∈ z , Aเป็นองค์ประกอบเป็นประจำใน mhom ( zn )หากและเฉพาะในกรณีที่และ( N , K )( N , K )จะเป็นนายกรัฐมนตรีและ mhom ( zn )เป็น semigroup เป็นประจำหากและเท่านั้นหากจะมีตารางแบบไม่เสียค่าบริการ การเรียกคืนที่ n คือเรียกว่า Square - แบบไม่เสียค่าบริการหากสำหรับ Z ให้∈ทุกครั้งด้วยที่> 12 - N ดังนั้นจึงจะมีตารางโดยไม่เสียค่าบริการหากและเท่านั้นหากทั้ง N = 1 หรือ n เป็น ผลิตภัณฑ์ ที่โดดเด่นของกำจัดขนได้ดีแม้เส้น. N 2 อย่างที่สุดของ mhom ( zn )
ตลอดทั่วทั้งพื้นที่ส่วนนี้ปล่อยให้ N เป็นจำนวนเต็มบวก สาม lemmas ต่อไปนี้มีความจำเป็น..
lemma 2.1 หาก r t % s ∈ Z R 6 = 0 และ T 6 = 0 มี R |( S ว่า
T ( S T )
)จากนั้น R 2 | T .
การตรวจสอบความถูกต้อง จาก asumption | R และ r t |
( T )
จากนั้น R ( S T ) t |. ดังนั้น R |และ T | R ซึ่งหมายถึง| R ที่( S T )และ R 2 | R ( S T ) แต่ R ( S T ) t |ดังนั้น R 2 T |
สม่ำเสมอของ semigroups ของ multihomomorphisms ของ( zn ) 27
lemma 2.2 . สำหรับ K L ที่B ∈ Z
IK ออดแอด B =
( I ( K AL ) AB หาก K 6 = 0 เช่นเดียวกับ AB หาก K = 0 .
การพิสูจน์. สำหรับ X ∈ Z ,
IK ,ออดแอด, B ( X )=มาตรฐาน IK ,( BX lzn )=( BX lzn ) kzn = ABX alzn kzn
=
(
ABX ( K , AL ) zn = I ( K , AL ), AB ( X )หาก K 6 = 0 , ABX alzn =เช่นเดียวกับ, AB ( X )หาก K = 0 ,
ดังนั้น lemma พิสูจน์ได้.
lemma 2.3 . หาก K L A , B ∈ Z เป็นเช่นที่มาตรฐาน IK =, IL ที่ B จากนั้น kzn = lzn และ( N , K )|( - b ). N หลักฐาน เรามีที่มาตรฐาน IK kzn =( 0 )= IL B ( 0 )= lzn. มาตรฐาน IK แล้ว=มาตรฐาน IK B ดังนั้น kzn ที่=มาตรฐาน IK ( 1 )=มาตรฐาน IK B ( 1 )= B kzn. ดังนั้น kt - B =สำหรับ T ∈ Z บางอย่างจึง n |(นอต - B - ) ตั้งแต่ที่( N , K )| n และ( N , K )| kt เป็นดังนี้( N , K )|( - b ). N บทพิสูจน์ 2.4 ที่ สำหรับ K มาตรฐาน IK ∈ z , A เป็นองค์ประกอบเป็นประจำใน semigroup mhom ( zn )หากและเฉพาะในกรณีที่และ( N , K )( N , K )จะเป็นนายกรัฐมนตรี.
การตรวจสอบความถูกต้อง เป็นครั้งแรกที่จะต้องเป็นผู้รับผิดชอบมาตรฐาน IK เป็นองค์ประกอบเป็นประจำใน mhom ( zn ) จากนั้นจึงมี Lมาตรฐาน IK ที่= B ∈ z ที่มาตรฐาน IK ออดแอด bik ที่. โดย lemma 2.2 IK ออดแอด bik =เป็นที่ 2 B สำหรับ S ∈ Z บางส่วนและดังนั้นโดย lemma 2.3 ( N , K )| NAME ( 2 b - a ) โรงแรมแห่งนี้มีนัยว่า( N , K )( N , K )|( N , K )( AB - 1 ) แต่( N , K )( N , K )และ( N , K )ที่มีนายกรัฐมนตรีเป็นอย่างมากดังนั้น( N , K )( N , K )| NAME ( AB - 1 ) T AB ดังนั้น( N , K )( N , K )= 1 สำหรับบาง∈ Z .ดังนั้นจึงมีผลทำให้ผลและ( NK )( N , K )จะเป็นนายกรัฐมนตรี ในทางกลับกันโพรเซสเซอร์ถือว่าและ( N , K )( N , K )จะเป็นนายกรัฐมนตรี จากนั้นก็มี B Z C ∈ AB ( N , K )ว่า( N , K ) C = 1 เป็นสิ่งสำคัญที่(ที่ 2 b - ) X =( AB - 1 ) AX =μ( N , K )( N , K , A ) cax ขบเขี้ยวเคี้ยวฟัน( N , K )μ( N , K , A ) Cx ขบเขี้ยวเคี้ยวฟัน∈( N , K ) zn = kzn สำหรับทุก x ∈ Z . conse - quently ,ที่ 2 BX kzn = AX kzn สำหรับทุก x ∈ Z .โดย lemma 2.2 ,
IK , aik , bik , A =
(
I ( K , A ( K , BK ),ที่ 2 B =มาตรฐาน IK ,ที่ 2 b หาก K 6 = 0 , i0 ,ที่ 2 B =มาตรฐาน IK ,ที่ 2 B หาก K = 0 .
28 .ศป.ไทยคณิตศาสตร์.(พิเศษปัญหา, 2006 )/ W teparos และ Y kemprasit
ดังนั้นสำหรับทุก x ∈ Z , IK , aik , bik ,( X )= 2 BX kzn = AX kzn =มาตรฐาน IK ,( X ),และมาตรฐาน IK , aik , bik , A =มาตรฐาน IK ,ที่. มาตรฐาน IK ดังนั้นจึงเป็นองค์ประกอบเป็นประจำใน mhom ( zn )ตามที่ต้องการ.
ควบคุม"มะดี" 2.5 ปล่อยให้ qf ถูกตั้งค่าของ integers Square - แบบไม่เสียค่าบริการในเชิงบวกทั้งหมด แล้วถ้อยคำต่อไปนี้ค้างไว้. N ( i ) REG ‐( mhom ( zn ))={มาตรฐาน IK Z K ∈||ที่กม. N ∈{ 0,1 ,ที่K - 1 }และ( A , K ( K , A )
)= 1 }
={ IK ,ที่| K ∈ qf , K | n และ∈ {0,1, ..., K - 1 }}{∪ IK ,ที่| K ∈ Z qf , K | N ,ที่∈ {0,1, ..., K - 1 }และ( A , K ( K , A )
)= 1 }
( ii )| REG ‐( mhom ( zn ,))|
=

x k∈qf K K | n


x k∈z qf K | n
|{ที่∈ {0,1, ..., K - 1 }|( A ,
K ( K , A )
)= 1 }|
พิสูจน์. ( i )มีความเท่าเทียมกัน first ดังนี้จากบทพิสูจน์ 1.2 ( ii )และบทพิสูจน์ 2.4 และความเท่าเทียมกันที่สองที่ได้รับจาก lemma 2.1( ii )ได้รับมาจาก( i )และบทพิสูจน์ 1.2 ( i ). N บทพิสูจน์ 2.6 semigroup mhom ( zn )เป็นปกติหากและเท่านั้นหาก n มี Square - แบบไม่เสียค่าบริการ.
การตรวจสอบความถูกต้อง จากบทพิสูจน์บทพิสูจน์ 1.1 และ 2.4 ,เรามีตามลำดับที่
mhom ( zn ,)={ IK ,ที่| K , A ∈ Z , time , long }

และ REG ‐( mhom ( zn ,))={มาตรฐาน IK ,ที่| K , A ∈ Z และ( A ,
( N , K )( N , K , A )
)= 1 }
ครั้งแรก,สันนิษฐานว่า n ไม่ Square - แบบไม่เสียค่าบริการ จากนั้นมี|จำนวนเต็ม R > 1 ที่ R 2 ที่ n จากนั้น( R( N N )( N n R ))=( r n R )= R > 1 ซึ่งหมายถึงว่าใน R ∈ mhom ( zn ) REG ‐( mhom ( zn )). โรงแรมแห่งนี้สามารถพิสูจน์ได้ว่าหาก mhom ( zn )เป็น semigroup เป็นประจำแล้ว n มีขนาดพื้นที่แบบไม่เสียค่าบริการ สำหรับสนทนาที่จะต้องเป็นผู้รับผิดชอบที่ n คือ Square - แบบไม่เสียค่าบริการ จากนั้น K เป็นตารางแบบไม่เสียค่าบริการสำหรับ Z K ∈ทุกครั้งด้วย| K n ดังนั้นเราจึงไม่ค่อยควบคุม"มะดี" 2.5 ( i )ซึ่ง
REG ‐( mhom ( zn ,))={ IK ,ที่| K ∈ Z , K | n และ∈ {0,1, ..., K - 1 }}
โดยบทพิสูจน์ 1 .2 ( ii )เรามี REG ‐( mhom ( zn ))= mhom ( zn ) ดังนั้น mhom ( zn )เป็น semigroup เป็นประจำ.
สม่ำเสมอของ semigroups ของ multihomomorphisms ของ( zn ) 29
ควบคุม"มะดี"ต่อไปนี้เป็นได้รับโดยตรงจากบทพิสูจน์ 1.2 ( iii )และบทพิสูจน์
2.6 .
ควบคุม"มะดี" 2.7 . สำหรับที่ดีเยี่ยม P mhom ( ZP ของ Intel )เป็น semigroup เป็นประจำในการสั่งซื้อ 1 P .
ตัวอย่างเช่น 2.8 โดยบทพิสูจน์ 1.2 ( iii )และบทพิสูจน์ 2.6 mhom ( Z 6)เป็น semigroup เป็นประจำในการสั่งซื้อ 1236 = 12 . การควบคุม"มะดี" 2.5 ( ii ),
_ NAME | REG ‐( mhom ( z20 ,))|=( 125 , 10 )|{ที่∈ 0,1,2,3 {}|( A ,
4 ( 4 , A )
)= 1 }|
|{ที่∈ {0,1, ..., 19 }|( A ,
20 ( 20 ,)
)= 1 }|
= 18 ( 315 )= 36
เนื่องจากเป็น∈{ 0,1,2,3 },( A ,
4 ( 4 ,)
)= 1 ⇔ที่∈{ 0,1,3 }

และสำหรับ∈ {0,1, ..., 19 },(,
20 ( 20 ,)
)= 1 ⇔ที่∈{ 0,1,3,4,5,7,8,9,11,12,13 ,
15,16,17,19 }
โดยบทพิสูจน์ 1.2 ( iii )| mhom ( Z 20 ) REG ‐( mhom ( Z 20 ))|=( 12451020 ) - 36 = 42 - 36 = 6 .