In linear algebra, a symmetric n ×

In linear algebra, a symmetric n × n real matrix M is said to be positive definite if zTMz is positive for every non-zero column vector z of n real numbers. Here zT denotes the transpose of z.

More generally, an n × n Hermitian matrix M is said to be positive definite if z*Mz is real and positive for all non-zero complex vectors z. Here z* denotes the conjugate transpose of z.

The negative definite, positive semi-definite, and negative semi-definite matrices are defined in the same way, except that the expression zTMz or z*Mz is required to be always negative, non-negative, and non-positive, respectively.

Positive definite matrices are closely related to positive-definite symmetric bilinear forms (or sesquilinear forms in the complex case), and to inner products of vector spaces.[1]

Some authors use more general definitions of "positive definite" that include some non-symmetric real matrices, or non-Hermitian complex ones.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ในพีชคณิตเชิงเส้น สมมาตร n × n จริงเมทริกซ์ M บอกว่า เป็นบวกแน่นอนถ้า zTMz เป็นบวกสำหรับทุก z เวกเตอร์คอลัมน์ไม่ใช่ศูนย์ของจำนวนจริง n นี่ zT หมายถึงการสลับเปลี่ยนของ zโดยทั่วไป บอกว่า เป็น n × n เอร์มีเชียนเมตริกซ์ M เป็นบวกแน่นอนถ้า z * สนุกเป็นจริง และบวกสำหรับทั้งหมดไม่ใช่ศูนย์ซับซ้อนเวกเตอร์ z นี่ z * หมายถึงการสลับเปลี่ยน conjugate ของ zลบที่ชัดเจน การบวกเมทริกซ์แน่นอนกึ่งกึ่งชัดเจน ลบ และกำหนดไว้ในทางเดียวกัน ยกเว้นว่านิพจน์ zTMz หรือ z * สนุกจะต้องถูกเสมอ ไม่เป็นลบ และลบไม่ใช่ บวก ตามลำดับเมทริกซ์เชิงบวกชัดเจนที่สัมพันธ์ฟอร์ม bilinear สมมาตรที่เป็นบวกแน่นอน (หรือแบบฟอร์ม sesquilinear ในกรณีซับซ้อน), และผลิตภัณฑ์ภายในเวกเตอร์จอด [1]นักเขียนบางคนใช้ข้อกำหนดทั่วไปของ "บวกแน่นอน" ที่เมทริกซ์บางจริงไม่สมมาตร เอร์มีเชียนที่ไม่ใช่คนที่ซับซ้อน

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ในพีชคณิตเชิงเส้นสมมาตร n × n จริงเมทริกซ์ M กล่าวจะเป็นบวกแน่นอนถ้า zTMz เป็นบวกสำหรับทุกคนที่ไม่ใช่ศูนย์คอลัมน์เวกเตอร์ Z ตัวเลขจริง n นี่หมายถึง zT transpose ทาง z.

อื่น ๆ โดยทั่วไป n × n เทียนเมทริกซ์ M กล่าวจะเป็นบวกแน่นอนถ้า Z * Mz เป็นจริงและในเชิงบวกสำหรับไม่ใช่ศูนย์พาหะซับซ้อน Z นี่ Z * หมายถึง transpose ผันของ Z.

แน่นอนเมทริกซ์กึ่งแน่นอนกึ่งแน่นอนและลบในเชิงบวกเชิงลบจะมีการกำหนดในลักษณะเดียวกันยกเว้นว่าการแสดงออก zTMz หรือ Z * Mz จะต้องเป็นค่าลบเสมอไม่ใช่ ลบและไม่ใช่ในเชิงบวกตามลำดับ.

การฝึกอบรมที่ชัดเจนในเชิงบวกที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับบวกที่ชัดเจนในรูปแบบสมมาตรบิลิแนร์ (หรือรูปแบบ sesquilinear ในกรณีที่ซับซ้อน) และผลิตภัณฑ์ด้านในของเวกเตอร์พื้นที่. [1]

ผู้เขียนบางคนใช้คำจำกัดความที่กว้างขึ้นของ "บวกแน่นอน" ซึ่งรวมถึงบางส่วนการฝึกอบรมจริงที่ไม่สมมาตรหรือไม่เทียนคนที่ซับซ้อน

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ในพีชคณิตเชิงเส้น , เมตริกซ์สมมาตร n × n m จริงเป็นบวกแน่นอน ถ้า ztmz เป็นบวกสำหรับทุกคอลัมน์เวกเตอร์ Z N ไม่ใช่ศูนย์จริงตัวเลข ที่นี่ ZT แสดงทศนิยมไขว้ของ Zโดยทั่วไปเป็น n × n เมทริกซ์เอร์มีเชียน M เป็นบวกแน่นอนถ้า Z * MZ เป็นจริงและบวกทั้งหมดที่ไม่เป็นพาหะ ซี มาแสดงทศนิยมเมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุคของ z * Zลบแน่นอน บวกและลบ กึ่ง กึ่งชัดเจนแน่นอนเมทริกซ์จะถูกกำหนดในลักษณะเดียวกัน ยกเว้นว่า การแสดงออก ztmz หรือ Z * MZ จะต้องถูกลบก็ไม่ลบ และไม่บวก ตามลำดับแน่นอนแน่นอนเมตริกซ์ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับรูปแบบสมมาตรที่ใช้การบวกแน่นอน ( หรือ รูปแบบ sesquilinear ในกรณีที่ซับซ้อน ) และผลิตภัณฑ์ภายในช่องว่างของเวกเตอร์ [ 1 ]บางคนเขียนใช้คำนิยามทั่วไปของ " บวกแน่นอน " ที่มีบางส่วนไม่สมมาตรจริงหรือไม่ hermitian เมทริกซ์ที่ซับซ้อนที่