The two equilateral triangles X+ →Y

The two equilateral triangles X+ →Y + →Z+ → and X+ ←Y + ←Z+ ← corresponding to the Fermat point F+ are congruent; so are X− →Y− →Z− → and X− ←Y− ←Z− ←. In fact, they are homothetic at the common midpoint of the segments X+ →Y + ←, Y + →Z+ ←, andZ + →X+ ←, and their sides are parallel to the corresponding cevians of the Fermat point. This is indeed a special case of the following proposition.
Proposition 4. For every point Q not on the side lines of triangle ABC, the triangle intercepted by the forward parallelians through Q→ and that by the backward parallelians through Q← are homothetic at (u(v + w):v(w + u):w(u + v)), with ratio 1:−1. Their corresponding sides are parallel to the cevians AQ, BQ, and CQrespectively.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าสอง X + →Y + →Z + → และ X + ←Y + ←Z + ←ตรงไปแฟร์มาจุด F + จะสอดคล้องกัน ดังนั้น ได้ X− →Y− →Z− → X− ←Y− ←Z− ← ในความเป็นจริง มี homothetic ที่จุดกึ่งกลางทั่วไปของกลุ่ม X + →Y + ← Y + →Z + ← andZ + →X + ← และข้างของพวกเขาขนานไปกับ cevians ที่สอดคล้องกันของจุดแฟร์มา นี่เป็นกรณีพิเศษของโจทย์ต่อไปนี้เรื่องที่ 4 สำหรับ Q ทุกจุดไม่บนบรรทัดด้านของสามเหลี่ยม ABC สามเหลี่ยมดัก โดย parallelians ส่งต่อผ่าน Q→ โดย parallelians ย้อนหลังผ่านทาง Q← เป็น homothetic ที่ (u(v + w):v(w + u):w(u + v)), มีอัตราส่วน 1:−1 ด้านความสอดคล้องมีขนาน cevians AQ, BQ และ CQrespectively

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ทั้งสองรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า X + Y + →→→ Z + และ X + Y + ←← Z + ←สอดคล้องกับแฟร์มาต์พอยน์ + จะสอดคล้องกัน; เพื่อให้มีแกน X → Y-Z- →→และ X-Y-←←← Z- ในความเป็นจริงพวกเขาจะ homothetic ที่จุดกึ่งกลางทั่วไปของกลุ่ม X + Y + →←, Y + Z + →←, andZ + X + →←และด้านข้างของพวกเขาจะขนานไปกับ cevians ที่สอดคล้องกันของจุดแฟร์มาต์ นี่เป็นกรณีพิเศษของเรื่องดังต่อไปนี้.
โจทย์ 4. ทุกจุด Q ไม่ได้อยู่บนเส้นด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม ABC, สามเหลี่ยมดักโดย parallelians ข้างหน้าผ่าน Q →และโดย parallelians ย้อนกลับผ่าน Q ←มี homothetic ที่ ( U (V + W): V (w + U): W (U + V)) มีอัตราส่วน 1: -1 ด้านที่สอดคล้องกันของพวกเขาจะขนานไปกับ cevians AQ, BQ และ CQrespectively