Let ABC be the given triangle. So i

Let ABC be the given triangle. So it is required to inscribe a circle in triangle ABC.
Let the angles ABC and ACB have been cut in half by the straight-lines BD and CD (respectively) [Prop. 1.9], and let them meet one another at point D, and let DE,DF, and DG have been drawn from point D, perpendicular to the straight-lines AB, BC, and CA (respectively) [Prop. 1.12]. And since angle ABD is equal to CBD, and the rightangle BED is also equal to the right-angle BFD, EBD and FBD are thus two triangles having two angles equal to two angles, and one side equal to one side—the (one) subtending one of the equal angles (which is) common to the (triangles)—(namely), BD. Thus, they will also have remaining sides equal to the (corresponding) remaining sides [Prop. 1.26]. Thus, DE (is) equal to DF. So,for the same (reasons), DG is also equal to DF. Thus, the three straight-lines DE, DF, and DG are equal to one another. Thus, the circle drawn with center D, and radius one of E, F, or G, will also go through the remaining points, and will touch the straight-lines AB, BC, and CA, on account of the angles at E, F, and G being right-angles. For if it cuts (one of) them then it will be a (straight-line) drawn at right-angles to a diameter of the circle, from its extremity, falling inside the circle. The very thing was shown (to be) absurd [Prop. 3.16]. Thus, the circle drawn with center D, and radius one of E, F, or G, does not cut the straight-lines AB, BC, and CA. Thus, it will touch them and will be the circle inscribed in triangle ABC. Let it have been (so) inscribed, like FGE (in the figure). Thus, the circle EFG has been inscribed in the given triangle ABC. (Which is) the very thing it was required to do.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมกำหนดให้ ดังนั้นมันจะต้องจารึกวงกลมในรูปสามเหลี่ยม ABC
ให้มุม ACB และ ABC แล้วตัดครึ่งโดยเส้นตรง BD และซีดี (ตามลำดับ) [Prop. 1.9], และให้พวกเขาพบกันที่จุด D และปล่อยให้ DE, DF และกิจได้ออกจากจุด D ตั้งฉากกับเส้นตรง AB, BC, CA และ (ตามลำดับ) [Prop. 1.12] และเนื่องจากมุม ABD จะเท่ากับที่นี่ และ rightangle เตียงยังเท่ากับ BFD มุมขวา EBD และ FBD ดัง สองสามเหลี่ยมที่มีมุมเท่ากับสองมุม และด้านเท่ากันหนึ่งด้านหนึ่งสองตัว (หนึ่ง) subtending หนึ่งของมุมเท่ากัน (ซึ่งเป็น) ไป (triangles)—(namely), BD ดังนั้น พวกเขาจะมีด้านที่เหลือเท่ากับด้านที่เหลือ (สอด) [Prop 126] . ดังนั้น DE (คือ) มีค่าเท่ากับ DF ดังนั้น เหตุผลเดียว (), กิจได้ยังเท่ากับ DF ดังนั้น บรรทัดตรงที่สาม DE, DF และกิจได้เท่ากับคนอื่น วงกลมวาดกับศูนย์ D รัศมีหนึ่ง ของ E, F, G จะไปยังถึงจุดเหลือ และจะสัมผัสเส้นตรง AB, BC และ CA ในบัญชีมุมที่ E, F และ G มุม ขวา ถ้า มันตัด (หนึ่ง) ไปแล้วมันจะมี (เส้นตรง) ออกขวาทำมุมกับเส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลม จากส่วนปลายของ อยู่ภายในวงกลม สิ่งมากที่แสดง (ที่จะ) ไร้สาระ [Prop. 3.16] ดังนั้น วงกลมวาดกับศูนย์ D รัศมีหนึ่ง ของ E, F, G ไม่ตัดเส้นตรง AB, BC, CA และการ ดังนั้น จะสัมผัสได้ และจะมีวงกลมจารึกในสามเหลี่ยม ABC ให้มันได้แล้ว (ดังนั้น) จารึก เช่น FGE (ในรูป) ดังนั้น วง EFG ได้จารึกไว้ในกำหนดสามเหลี่ยม ABC (ซึ่งอยู่) ในสิ่งที่ถูกต้องไม่

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมที่กำหนด ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีการจารึกวงกลมในรูปสามเหลี่ยม
ให้มุม ABC และ ACB ได้รับการตัดในครึ่งโดยสายตรง BD และซีดี (ตามลำดับ) [ฉาก 1.9] และให้พวกเขาพบกันที่จุด D และให้ DE, DF และ DG ได้รับการดึงออกมาจากจุด D, ตั้งฉากกับเส้นตรง AB, BC และ CA (ตามลำดับ) [ฉาก 1.12] และตั้งแต่มุม ABD เท่ากับ CBD และ BED RightAngle ยังเท่ากับขวามุม BFD, EBD และ FBD จึงรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีสองมุมเท่ากับสองมุมและด้านหนึ่งเท่ากับหนึ่งด้าน (หนึ่ง) subtending หนึ่งในมุมที่เท่ากัน (ซึ่งเป็น) ทั่วไป (สามเหลี่ยม) - (คือ), BD ด้านดังนั้นพวกเขาจะยังมีเหลืออยู่เท่ากับ (ตรง) ที่เหลืออยู่ด้านข้าง [ฉาก 1.26] ดังนั้น, เดลาแวร์ (เป็น) เท่ากับ DF ดังนั้นสำหรับเดียวกัน (เหตุผล) DG ยังเท่ากับ DF ดังนั้นสามบรรทัดตรง DE, DF และ DG เท่ากันกับอีกคนหนึ่ง ดังนั้นวงกลมวาดกับศูนย์ D และรัศมีหนึ่ง E, F, G หรือยังจะไปถึงจุดที่เหลือและจะสัมผัสเส้นตรง AB, BC, และ CA ในบัญชีของมุมที่อี F และ G เป็นมุมขวา เพราะถ้ามันตัด (หนึ่ง) พวกเขาแล้วมันจะเป็น (เส้นตรง) วาดที่มุมขวาเส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลมจากปลายสุดของมันลดลงภายในวงกลม สิ่งที่ดีก็แสดงให้เห็น (จะ) ไร้สาระ [ฉาก 3.16] ดังนั้นวงกลมวาดกับศูนย์ D และรัศมีหนึ่ง E, F, G หรือไม่ตัดสายตรง AB, BC, และ CA ดังนั้นจึงจะสัมผัสพวกเขาและจะเป็นวงกลมถูกจารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยม ให้มันได้รับ (เพื่อ) จารึกไว้เช่น FGE (ในรูป) ดังนั้น EFG วงกลมได้รับการจารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมที่กำหนดเบื้องต้น (ซึ่งเป็น) สิ่งที่ดีมันก็จำเป็นต้องทำ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมที่กำหนด . ดังนั้นจึงต้องจารึกวงกลมรูปสามเหลี่ยม ABC .
ให้มุม ABC และ ACB ได้ถูกตัดเป็นสองท่อนโดยตรงบรรทัด BD และซีดี ( ตามลำดับ ) [ prop 1.9 ] , และให้พวกเขาได้พบกันที่จุด D และปล่อยให้ de DG DF และได้รับการวาดจากจุด D ตั้งฉากกับเส้นตรง AB , BC , CA ( ตามลำดับ ) [ prop 1.12 ]และเนื่องจากมุม ABD เท่ากับ CBD และ rightangle เตียงก็เท่ากับ bfd มุมขวา และ EBD FBD จึงเป็นสามเหลี่ยมมีสองมุม เท่ากับสองมุม และด้านหนึ่งเท่ากับหนึ่งด้าน ( 1 ) ลงมาหนึ่งของมุมที่เท่ากัน ( ซึ่งเป็น ) ทั่วไป ( สามเหลี่ยม ) - ( 1 ) , Bd ดังนั้น พวกเขายังจะมีที่เหลือด้านข้างเท่ากับ ( สอดคล้องกัน ) ที่เหลือด้านข้าง [ prop 1 .26 ] ดังนั้น เดอ ( ) เท่ากับเส้นใย ดังนั้น เหมือนกัน ( เหตุผล ) , DG ก็เท่ากับเส้นใย ดังนั้น , สามเส้นตรง de DF และ DG จะเท่ากับคนอื่น ดังนั้นวงกลมวาดรัศมีหนึ่งของศูนย์ D และ E , F หรือ G จะยังผ่านจุดที่เหลือ และ จะสัมผัสกับเส้นตรง AB , BC , CA ในบัญชีของมุมที่ E , F และ G เป็นมุมขวาถ้ามันตัด ( หนึ่ง ) พวกเขาก็จะเป็น ( วาดเส้น ) ที่มุมขวาเพื่อเส้นผ่าศูนย์กลางวงกลม จากส่วนปลาย อยู่ภายในวงกลม สิ่งแสดง ( จะ ) ไร้สาระ [ prop 3.16 ] ดังนั้นวงกลมวาดรัศมีหนึ่งของศูนย์ D และ E , F หรือ G ไม่ตัด เส้นตรง AB , BC , CA . ดังนั้นจะสัมผัสพวกเขาและจะเป็นวงกลมสลักในรูปสามเหลี่ยม ABC . ให้มันได้ ( ดังนั้น ) จารึกไว้ เหมือน fge ( ในรูป ) ดังนั้นวงกลม EFG ได้รับการจารึกไว้ในกำหนดรูปสามเหลี่ยม ABC . ( ซึ่งเป็น ) สิ่งที่มันต้องทำ .