To understand NP Complete and NP Ha

To understand NP Complete and NP Hard classes, you need to have a basic understanding of a couple of things.

A decision problem is a problem that you can always answer either "yes" or "no". For example, "Do you have a brother?". You can always answer "yes" or "no" for such questions. Such problems are what we call decision problems.

A deterministic Turing machine is the machine that we are used to normally. A computer is a deterministic Turing machine. A non-deterministic Turing machine is a machine that comes with unlimited parallelism. For example, if you come to a fork on a road, you can either take the left road or the right road. That is how deterministic Turing machine operates. But since non-deterministic Turing machine has unlimited parallelism, it can take both the roads. Its similar to running multiple threads on a computer. Non-deterministic Turing machines cannot be realized in practice.

A decision problem is in class P, if we can solve the problem in polynomial time using a deterministic Turing machine. It means that we can solve the problem very quickly. It shall finish the problem in some time n^k, where k is some constant. For example, finding the max element in an array, checking whether a string is palindrome or not, checking whether a number is prime or not, and so on.

A decision problem is in class NP, if we can solve it in polynomial time using a non-deterministic Turing machine to get the answer "yes" to your problem. (The answer "no" is considered to be in co-NP class). That means that we cannot solve the problem in polynomial time using a deterministic Turing machine. But we can always check whether our solution is right in polynomial time. So if someone gives you an NP problem and the answer as "yes", we can check whether the answer is right or not in polynomial time. But keep in mind that we cannot find the answer in polynomial time (only check whether an answer is right).

A problem X is in NP-Complete if we can prove that it’s in NP and that we can reduce a known NP problem Y to X in polynomial time, i.e., we can quickly solve Y if we know how to quickly solve X. It means that if anyone finds out a polynomial time solution to any NP-Complete problem, then every NP problem can be solved in polynomial time. This shall prove that P = NP. Eg: 3-SAT (conjunction of 3-clause disjunctions), Minesweeper problem. Every NP problem can be reduced to 3-SAT problem (Cook’s Theorem)

A problem is in NP-Hard if and only if its “atleast as” hard as an NP problem. The formal definition is that a problem X is in NP-Hard if there is an NP-Complete problem Y such that Y can be reduced to X in polynomial time. But since any NP-Complete problem can be reduced to any other NP-Complete problem in polynomial time, all NP-Complete problems can be reduced to any NP-Hard problem in polynomial time. So if there is solution for one NP-Hard problem in polynomial time, there is a solution for all NP problems in polynomial time. NP-Complete problems are also NP hard. Also NP-Hard problems may not be in NP, meaning that they may not have solutions that can be verified in polynomial time. Eg: Halting problem (given a program P and input I, will it halt? It is not in NP), optimization version of TSP (we need to find an actual schedule; harder than decision version of TSP). NP-Hard problems may not be decision problem

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เข้าใจเรียน NP สมบูรณ์และฮาร์ดดิสก์ NP คุณจำเป็นต้องมีความเข้าใจพื้นฐานของสองสิ่งปัญหาในการตัดสินใจเป็นปัญหาที่คุณสามารถจะตอบ "ใช่" หรือ "ไม่" ตัวอย่าง "มีพี่น้องไหม" คุณเสมอสามารถตอบ "ใช่" หรือ "ไม่มี" สำหรับคำถามดังกล่าว ปัญหาดังกล่าวเป็นสิ่งที่เราเรียกปัญหาตัดสินใจเครื่องจักรทัวริง deterministic คือ เครื่องที่เราใช้ปกติ คอมพิวเตอร์คือ เครื่องจักรทัวริง deterministic เครื่องจักรทัวริงไม่ใช่ deterministic เป็นเครื่องที่มาพร้อมกับ parallelism จำกัด ตัวอย่าง ถ้าคุณมาส้อมบนถนน คุณสามารถใช้ทางซ้ายหรือทางขวา นั่นคือการทำงานของเครื่องจักรทัวริงวิธี deterministic แต่เนื่อง จากมีเครื่องจักรทัวริงไม่ใช่ deterministic parallelism จำกัด มันสามารถใช้ทั้งถนนได้ มันคล้ายกับการรันเธรดหลายในคอมพิวเตอร์ เครื่องจักรทัวริงไม่ใช่ deterministic ไม่เป็นจริงในทางปฏิบัติปัญหาในการตัดสินใจอยู่ในระดับ P ถ้าเราสามารถแก้ปัญหาได้ในเวลาพหุนามโดยใช้เครื่องจักรทัวริง deterministic หมายความ ว่า เราสามารถแก้ปัญหาได้อย่างรวดเร็ว มันจะจบปัญหาในบางเวลา n ^ k, k อยู่บางคง ตัวอย่าง ค้นหาองค์ประกอบสูงสุดในอาร์เรย์ ตรวจสอบสายว่า palindrome หรือ ไม่ การตรวจสอบว่า ได้เป็นนายก หรือ ไม่ และอื่น ๆปัญหาตัดสินใจอยู่ในระดับเอ็นพี ถ้าเราสามารถแก้ได้ในเวลาพหุนามโดยใช้เครื่องจักรทัวริงไม่ใช่ deterministic เพื่อรับคำตอบ "ใช่" จะ (คำตอบ "ไม่" ถือว่าอยู่ในระดับบริษัท NP) ซึ่งหมายความ ว่า เราไม่สามารถแก้ไขปัญหาได้ในเวลาพหุนามโดยใช้เครื่องจักรทัวริง deterministic แต่เราสามารถตรวจสอบว่าแก้ปัญหาของเราในเวลาพหุนาม ดังนั้น ถ้ามีคนให้คุณ NP มีปัญหาและคำตอบเป็น "ใช่" เราสามารถตรวจสอบ ว่าคำตอบถูกต้อง หรือไม่ ในเวลาพหุนาม แต่พึงระลึกว่า เราไม่สามารถหาคำตอบในเวลาพหุนาม (เพียงตรวจสอบว่า คำตอบถูก)ปัญหา X เป็น NP สมบูรณ์ถ้าเราสามารถพิสูจน์ได้ว่า NP และว่า เราสามารถลดปัญหา NP รู้จัก Y กับ X ในเวลาโพลิโนเมีย เช่น เราสามารถอย่างรวดเร็วแก้ Y ถ้าเรารู้วิธีการแก้ไขอย่างรวดเร็ว X หมายความ ว่า ถ้าใครพบการแก้ไขปัญหาทำ NP เวลาโพลิโนเมีย แล้ว NP ทุกปัญหาสามารถแก้ไขได้ในเวลาโพลิโนเมีย นี้จะพิสูจน์ว่า P = NP เช่น: 3-SAT (ร่วมของ disjunctions 3 ส่วน) ปัญหาเกม Minesweeper สามารถลดปัญหา NP ทุกปัญหา 3 SAT (ทฤษฎีบทของอาหาร)ปัญหาเป็น NP ยาก และเมื่อนั้น "อย่างน้อยเป็น" ยากเป็นปัญหา NP ข้อกำหนดเป็นปัญหา X ว่ายาก NP ถ้ามีการทำ NP ปัญหา Y ที่ Y จะลดลงไป X ในเวลาพหุนามดังกล่าว แต่เนื่องจากสามารถลดปัญหาทำ NP ใด ๆ อื่น ๆ ทำ NP ปัญหาในเวลาโพลิโนเมีย ปัญหา NP เสร็จสมบูรณ์ทั้งหมดสามารถลดปัญหาใด ๆ NP หนักในเวลาพหุนาม ดังนั้น ถ้ามีทางออกสำหรับปัญหาหนึ่ง NP หนักในเวลาโพลิโนเมีย ได้การแก้ปัญหา NP ทั้งหมดในเวลาพหุนาม NP เสร็จปัญหาก็ยาก NP ยัง NP-ปัญหาไม่ได้ในเอ็นพี หมายความ ว่า พวกเขาอาจไม่มีโซลูชั่นที่สามารถตรวจสอบได้ในเวลาพหุนาม เช่น: ยุติการทำงานของปัญหา (ให้โปรแกรม P และป้อน จะได้หยุด ไม่มี NP), รุ่นเพิ่มประสิทธิภาพช้อนชา (เราต้องการค้นหาการจัดกำหนดการจริง หนักกว่ารุ่นตัดสินใจช้อนชา) NP-ปัญหาอาจเป็นปัญหาการตัดสินใจ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เพื่อให้เข้าใจถึงปัญหาที่สมบูรณ์และ NP เรียนยากที่คุณจะต้องมีความเข้าใจพื้นฐานของสองสิ่ง. ปัญหาการตัดสินใจเป็นปัญหาที่คุณสามารถตอบทั้ง "ใช่" หรือ "ไม่" ยกตัวอย่างเช่น "คุณมีพี่ชายหรือไม่?" คุณสามารถตอบว่า "ใช่" หรือ "ไม่" สำหรับคำถามดังกล่าว ปัญหาดังกล่าวเป็นสิ่งที่เราเรียกการตัดสินใจแก้ปัญหา. เครื่องทัวริงกำหนดเป็นเครื่องที่เราจะใช้ในการตามปกติ คอมพิวเตอร์เป็นเครื่องกำหนดทัวริง เครื่องทัวริงที่ไม่ได้กำหนดเป็นเครื่องที่มาพร้อมกับความเท่าเทียมไม่ จำกัด ตัวอย่างเช่นถ้าคุณมาถึงทางแยกบนถนนคุณสามารถใช้ถนนทางซ้ายหรือขวาถนน นั่นคือวิธีที่กำหนดเครื่องทัวริงดำเนิน แต่เนื่องจากเครื่องทัวริงที่ไม่ได้กำหนดขึ้นมีความเท่าเทียมไม่ จำกัด ก็สามารถใช้เวลาทั้งถนน มันคล้ายกับการทำงานหลายหัวข้อในคอมพิวเตอร์ เครื่องทัวริงไม่กำหนดไม่สามารถรู้ในการปฏิบัติ. ปัญหาการตัดสินใจอยู่ในชั้นเรียน P ถ้าเราสามารถแก้ปัญหาในเวลาพหุนามโดยใช้กำหนดเครื่องทัวริง มันหมายความว่าเราสามารถแก้ปัญหาได้อย่างรวดเร็ว มันจะจบปัญหาในบางครั้ง n ^ k ที่ k เป็นค่าคงที่ ยกตัวอย่างเช่นการหาองค์ประกอบสูงสุดในอาร์เรย์การตรวจสอบไม่ว่าจะเป็นสตริงเป็น palindrome หรือไม่ตรวจสอบว่าตัวเลขเป็นนายกหรือไม่และอื่น ๆ . ปัญหาการตัดสินใจอยู่ในชั้นเรียน NP ถ้าเราสามารถแก้ปัญหาได้ในเวลาพหุนามโดยใช้ เครื่องทัวริงที่ไม่ได้กำหนดจะได้คำตอบว่า "ใช่" กับปัญหาของคุณ (คำตอบ "ไม่" จะถือเป็นร่วม NP ชั้น) นั่นหมายความว่าเราไม่สามารถแก้ปัญหาในเวลาพหุนามโดยใช้กำหนดเครื่องทัวริง แต่เรามักจะสามารถตรวจสอบว่าแก้ปัญหาของเราถูกต้องในเวลาพหุนาม ดังนั้นถ้ามีคนช่วยให้คุณมีปัญหา NP และคำตอบว่า "ใช่" เราสามารถตรวจสอบว่าคำตอบที่ถูกต้องหรือไม่ในเวลาพหุนาม แต่เก็บไว้ในใจว่าเราไม่สามารถหาคำตอบในเวลาพหุนาม (เฉพาะตรวจสอบว่าคำตอบที่ถูกต้อง). ปัญหา X คือในรุ่น NP-สมบูรณ์ถ้าเราสามารถพิสูจน์ได้ว่ามันอยู่ใน NP และที่เราสามารถลดรู้จักกันปัญหา NP Y เพื่อ X ในเวลาพหุนามคือเราได้อย่างรวดเร็วสามารถแก้ Y ถ้าเรารู้วิธีการอย่างรวดเร็วแก้เอ็กซ์ก็หมายความว่าถ้าใครรู้วิธีแก้ปัญหาเวลาพหุนามใด ๆ ปัญหา NP-สมบูรณ์แล้วทุกปัญหา NP สามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม นี้จะพิสูจน์ให้เห็นว่า P = NP เช่น: 3-SAT (ร่วมของ disjunctions 3 ข้อ) ปัญหาเรือกวาดทุ่นระเบิด ทุกปัญหา NP จะลดลงถึง 3 ปัญหาคือ SAT (ทฤษฎีบทของแม่ครัว) ปัญหาคือในรุ่น NP-ยากและถ้าหากมัน "อย่างน้อยเป็น" ยากเป็นปัญหา NP ความหมายอย่างเป็นทางการว่าปัญหา X อยู่ใน NP-ฮาร์ดหากมีปัญหา NP-Y สมบูรณ์เช่นที่ Y จะลดลง X ในเวลาพหุนาม แต่เนื่องจากปัญหาใด ๆ NP-สมบูรณ์สามารถจะลดลงไปอื่น ๆ ปัญหา NP-สมบูรณ์ในเวลาพหุนามทุกปัญหา NP-สมบูรณ์สามารถลดปัญหาใด ๆ NP-อย่างหนักในเวลาพหุนาม ดังนั้นหากมีทางออกสำหรับปัญหาหนึ่ง NP-อย่างหนักในเวลาพหุนามมีทางออกสำหรับทุกปัญหา NP ในเวลาพหุนาม ปัญหา NP-สมบูรณ์นอกจากนี้ยังมีปัญหาอย่างหนัก ยังมีปัญหา NP-ฮาร์ดอาจจะไม่ได้อยู่ใน NP หมายความว่าพวกเขาอาจจะไม่ได้แก้ปัญหาที่สามารถตรวจสอบได้ในเวลาพหุนาม เช่นปัญหาลังเล (รับโปรแกรม P และใส่ผมก็จะหยุดมันไม่ได้อยู่ใน NP?) รุ่นเพิ่มประสิทธิภาพของการ TSP (เราต้องไปหาตารางเวลาที่เกิดขึ้นจริง; หนักกว่ารุ่นที่การตัดสินใจของ TSP) ปัญหา NP-ฮาร์ดอาจไม่เป็นปัญหาในการตัดสินใจ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เข้าใจ NP สมบูรณ์และ NP เรียนหนัก คุณต้องมีความเข้าใจพื้นฐานของสิ่งที่สอง

ปัญหาการตัดสินใจ เป็นปัญหาที่คุณสามารถตอบได้แค่ " ใช่ " หรือ " ไม่ใช่ " ตัวอย่างเช่น " คุณมีพี่ชาย ? คุณสามารถตอบ " ใช่ " หรือ " ไม่ใช่ " สำหรับคำถามดังกล่าว ปัญหาคือสิ่งที่เราเรียก

ปัญหาการตัดสินใจตามกําหนดเครื่องจักรทัวริงเป็นเครื่องที่เราใช้ตามปกติ คอมพิวเตอร์เป็นเครื่องจักรทัวริงเชิงกำหนด . ไม่ใช่เครื่องจักรทัวริงเชิงกำหนดเป็นเครื่องที่มากับความไม่ จำกัด ตัวอย่างเช่น ถ้าคุณมาถึงทางแยกในถนน , คุณสามารถใช้ถนนด้านซ้าย หรือ ขวาถนน . นั่นคือวิธีที่เครื่องจักรทัวริงเชิงกำหนดงานแต่ไม่ใช่ deterministic เครื่องจักรทัวริงมีความไม่ จำกัด มันสามารถใช้ทั้งถนน คล้ายกับวิ่งหลายกระทู้บนคอมพิวเตอร์ ไม่ใช่ deterministic เครื่องจักรทัวริงไม่สามารถตระหนักในการปฏิบัติ

ปัญหาการตัดสินใจ อยู่ในชั้นหนังสือ ถ้าเราสามารถแก้ปัญหาได้ในเวลาพหุนามโดยใช้เครื่องจักรทัวริงเชิงกำหนด . มันหมายถึงว่าเราสามารถแก้ปัญหาได้อย่างรวดเร็วมากมันก็จะจบ ปัญหาในบางเวลา n
K ที่ k เป็นค่าคงที่ ตัวอย่างเช่น การค้นหาองค์ประกอบสูงสุดในอาร์เรย์ การตรวจสอบว่าสตริงที่เป็นพาลินโดรมหรือไม่ ตรวจสอบว่ามีจำนวนเป็นนายกรัฐมนตรีหรือไม่ และอื่น ๆ .

การตัดสินใจปัญหาในชั้นเรียนคือ ถ้าเราสามารถแก้ปัญหาได้ในเวลาพหุนามโดยใช้เครื่องจักรทัวริงเชิงกำหนดไม่รับตอบ " ใช่ " ปัญหาของคุณ( คำตอบ " ไม่ " ถือว่าเป็น CO NP ระดับ ) นั่นหมายความว่า เราไม่สามารถแก้ปัญหาได้ในเวลาพหุนามโดยใช้เครื่องจักรทัวริงเชิงกำหนด . แต่เราสามารถตรวจสอบว่าโซลูชั่นของเราอยู่ในพหุนามเวลา ดังนั้นถ้ามีคนช่วยให้คุณมีปัญหาเอ็นพีและคำตอบเป็น " ใช่ " เราสามารถตรวจสอบว่าคำตอบคือ ใช่ หรือ ไม่ใช่พหุนามเวลาแต่ระลึกไว้เสมอว่า เราไม่สามารถหาคำตอบได้ในเวลาพหุนาม ( เพียงตรวจสอบว่าคำตอบคือใช่ ) .

x ในปัญหา NP สมบูรณ์ถ้าเราสามารถพิสูจน์ได้ว่ามันอยู่ใน NP และเราสามารถลดปัญหารู้จัก NP Y กับ X ในเวลาพหุนาม คือ เราสามารถแก้ใ ถ้าเรารู้วิธีการอย่างรวดเร็วแก้ปัญหา X . มันหมายความว่า ถ้าใครพบพหุนามเวลาแก้ปัญหาใดปัญหา NP สมบูรณ์ ,แล้วทุกปัญหาจะสามารถแก้ไขได้ใน NP พหุนามเวลา นี้จะพิสูจน์ได้ว่า P = NP เช่น 3-sat ( คำเชื่อมประโยค 3 - ปัญหาของ disjunctions ) เรือกวาดทุ่นระเบิด ปัญหาทุกปัญหา สามารถลดปัญหา 3-sat ( ทฤษฎีบทของพ่อครัว )

ปัญหาอยู่ใน NP ยาก ถ้าและเพียงถ้าอย่างน้อย " เป็น " ยากเป็นปัญหา NPนิยามอย่างเป็นทางการมีปัญหา X อยู่ใน NP ได้ยากหากมีปัญหา NP สมบูรณ์เช่นที่ Y Y จะลดลง x ในพหุนามเวลา แต่เนื่องจากปัญหา NP สมบูรณ์สามารถลดใด ๆอื่น ๆปัญหา NP สมบูรณ์โดยใช้เวลาทั้งหมดที่สามารถลดปัญหา NP สมบูรณ์ใด ๆยาก ปัญหา NP พหุนามเวลา ดังนั้นหากมีโซลูชั่นสำหรับ NP ยากปัญหาพหุนามเวลามีวิธีแก้ปัญหาสำหรับปัญหา NP ในพหุนามเวลา ปัญหา NP สมบูรณ์ยังมีปัญหาหนัก นอกจากนี้ ปัญหา NP ที่ยากอาจจะไม่ได้อยู่ใน NP ซึ่งหมายความว่าพวกเขาอาจจะไม่ได้มีโซลูชั่นที่สามารถตรวจสอบได้ในเวลาพหุนาม . EG : ศึกมายากลหยุดโลก ( ให้โปรแกรม P และใส่ฉัน จะหยุด ? มันไม่ได้อยู่ใน NP ) เพิ่มประสิทธิภาพรุ่นของช้อนชา ( เราต้องการที่จะหาตารางจริงยากกว่าการตัดสินใจรุ่นของช้อนชา ) คือ ปัญหาหนัก อาจจะไม่ใช่ปัญหา การตัดสินใจ