Example 4.27. The Birthday Problem.

Example 4.27. The Birthday Problem. Suppose that there are n people together in a room. Each person announces the date of his/her birthday in turn. The question is: what is the probability of at least one match? If we let the event A represent {there is at least one match},then would like to know P(A), but as we will see ,it is more convenient to calculate P(A^C ).
For starters we will ignore leap years and assume that there are only 365 days in a year. Second, we will assume that births are equally distributed over the course of a year (which is not true due to all sorts of complications such as hospital delivery schedules). See http://en.wikipedia.org/wiki/Birthday_problem for more.
Let us next think about the sample space. There are 365 possibilities for the first person’s birthday.365 possibilities for the second .and so forth. The total number of possible birthday sequences is therefore#(S)=365n.
Now we will use the complementation trick we saw in Example 4.11.We realize that the only situation in which A does not occur is if there are no matches among all people in the room. That is , only when everybody’s birthday is different.so
P(A)=1-P(Ac)=1-(〖#(A〗^c))/(#(S))
Since the outcomes are equally likely. Let us then suppose that there are no matches. The first person has one of 365 possible birthdays. The second person must not match the first , thus , the second person has only 364 available birthdays from which to choose. Similarly , the third person has only 363 possible birthdays, and so forth , until we reach the nth person. Who has only 365-n+1 remaining possible days for a birthday. By the Multiplication Principle, we have # (Ac)=365 ∙364∙∙∙(365-n+1), and
P(A)= 1-(365 ∙364∙∙∙(365-n+1))/〖365〗^n =1-364/365∙363/365∙∙∙((365-n+1))/365
As a surprising consequence ,consider this : how many people does it take to be in the room so that the probability of at least one match is at least 0.50? Clearly , if there is only n=1 person in the room then the probability of a match is zero, and when there are n=366 people in the room
*******************************กราฟ*************************************
There is a 100% chance of a match (recall that we are ignoring leap yeas). So how many people does it take so that there is an equal chance of a match and no match?
When I have asked this question to students, the usual response is “somewhere around n=180 people” in the room. The reasoning seems to be that in order to get a 50% chance of a match, there should be 50% of the available days to be occupied. The number of students in a typical classroom is 25, so as a companion question I ask students to estimate the probability of a match when there are n=25 students in the room. Common estimates are a 1%, or 0.5%, or even 0.1% chance of a match. After they have given their estimates, we go around the room and each student announces their birthday. More often than not, we observe a match in the class ,to the students’ disbelief.
Student are usually surprised to hear that, using the formula above, one needs only n=23 student to have a greater than 50% chance of at least one match. Figure 4.5.1 shows a graph of the birthday probabilities:

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

อย่าง 4.27 วันเกิดปัญหา สมมติว่า มี n คนเข้าด้วยกันในห้องพัก แต่ละคนประกาศวันที่ของวันเกิดเขา/เธอจะ คำถาม: น่าน้อยจับคู่คืออะไร ถ้าเราปล่อยให้เหตุการณ์แสดงถึง {มีน้อยตรง}, แล้ว อยากรู้ P(A) แต่เราจะเห็น จะสะดวกในการคำนวณ P(A^C)การเริ่ม เราจะละเว้นปีอธิกสุรทิน และสมมติว่า มีเพียง 365 วันในหนึ่งปี สอง เราจะสมมติว่า เกิดเท่า ๆ กันกระจายผ่านหลักสูตรของปี (ซึ่งไม่เป็นความจริงเนื่องจากทุกประเภทของภาวะแทรกซ้อนเช่นกำหนดการจัดส่งโรงพยาบาล) ดู http://en.wikipedia.org/wiki/Birthday_problem สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมให้เรานั้นคิดถึงพื้นที่ตัวอย่าง มีไป 365 สำหรับไป birthday.365 คนแรกสำหรับแบบที่สองและอื่น ๆ ออก จำนวนของลำดับวันเกิดได้จึง #(S) = 365nตอนนี้เราจะใช้ เทคนิค complementation ที่เราเห็นในตัวอย่าง 4.11.We ตระหนักถึงสถานการณ์เฉพาะซึ่ง A ไม่เกิดขึ้นว่าถ้ามีไม่ตรงกันทุกคนในห้อง นั่นคือ เฉพาะ เมื่อวันเกิดของทุกคนเป็น different.soP(A)=1-P(Ac)=1-(〖#(A〗^c))/(#(S))เนื่องจากผลลัพธ์จะเท่ากัน ให้เราแล้วสมมติว่า มีตรงกันไม่ คนแรกมี 365 วันเกิดที่เป็นไปได้อย่างใดอย่างหนึ่ง คนที่สองไม่ต้องแรก ดังนั้น คนที่สองได้เกิดว่าง 364 เท่าที่ ในทำนองเดียวกัน บุคคลที่สามมีเพียง 363 ได้เกิด และอื่น ๆ จนกว่าเราเข้าถึงคนที่ n ที่มีเพียง 365-n + 1 ที่เหลืออยู่ ไปวันวันเกิด โดยใช้หลักการคูณ เรามี# (Ac) = 365 ∙364∙∙∙(365-n+1) และ P(A) = 1-(365 ∙364∙∙∙(365-n+1))/〖365〗 ^ n =1-364/365∙363/365∙∙∙((365-n+1)) / 365เป็นสัจจะที่น่าแปลกใจ พิจารณานี้: คนใช้เวลาอยู่ในห้องนั้นน่าจับน้อยเป็นอย่างน้อย 0.50 ชัดเจน ถ้ามีเฉพาะ n = 1 คนในห้อง แล้วตรงนี้น่าเป็นศูนย์ และ เมื่อมี n = 366 คนในห้อง*******************************กราฟ*************************************มีโอกาส 100% ตรงกัน (เราจะละเว้น yeas กระโดดเรียกคืน) ดังนั้น คนใช้เวลาให้เป็นพอ ๆ กันตรงและไม่ตรงกันเมื่อได้ถามคำถามนี้กับนักเรียน มีการตอบสนองที่ปกติ "อยู่รอบ n = 180 คน" ในห้อง เหตุผลที่น่าจะ เป็นที่การได้ 50% ของการแข่งขัน ควรมี 50% วันว่างจะว่าง จำนวนนักเรียนในห้องเรียนปกติคือ 25 เพื่อเป็นคำถามเพื่อน ฉันให้นักเรียนประเมินความเป็นไปได้ของการแข่งขันเมื่อมี n = 25 นักเรียนในห้อง ประเมินทั่วไปเป็น 1% หรือ 0.5% หรือแม้แต่ 0.1% โอกาสของการแข่งขัน หลังจากที่พวกเขาได้รับการประเมิน เราไปรอบห้อง และนักเรียนประกาศวันเกิดของพวกเขา มากมักจะไม่เป็น เราสังเกตตรงกันในชั้นเรียน การ disbelief ของนักเรียน นักเรียนมักจะแปลกใจที่ได้ยินว่า ใช้สูตรข้างต้น หนึ่งต้อง n เท่านั้น =นักเรียน 23 ต้องการมากขึ้นกว่า 50% โอกาสของการแข่งขันน้อย รูป 4.5.1 แสดงกราฟของกิจกรรมวันเกิด:

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ตัวอย่าง 4.27 วันเกิดปัญหา สมมติว่ามี n คนร่วมกันในห้องพัก แต่ละคนประกาศวันที่ / วันเกิดของเธอของเขาในการเปิด คำถามคือสิ่งที่เป็นความน่าจะเป็นของอย่างน้อยหนึ่งแมตช์? ถ้าเราปล่อยให้เหตุการณ์เป็นตัวแทน {มีอย่างน้อยหนึ่งในการแข่งขัน} แล้วอยากจะรู้ว่า P (A) แต่ที่เราจะเห็นก็จะสะดวกมากขึ้นในการคำนวณ P (A ^ C).
สำหรับ starters เราจะไม่สนใจ กระโดดปีและคิดว่ามีเพียง 365 วันในหนึ่งปี ประการที่สองเราจะสมมติว่าเกิดมีการกระจายอย่างเท่าเทียมกันในช่วงเวลาของปี (ซึ่งไม่เป็นความจริงเนื่องจากการทุกประเภทของภาวะแทรกซ้อนเช่นตารางการส่งโรงพยาบาล) ดู http://en.wikipedia.org/wiki/Birthday_problem มาก.
ขอให้เราต่อไปคิดเกี่ยวกับพื้นที่ตัวอย่าง มีความเป็นไปได้สำหรับ 365 คนแรกของความเป็นไปได้สำหรับ birthday.365 .and สองอื่น ๆ มี จำนวนรวมของลำดับวันเกิดที่เป็นไปได้ดังนั้นจึงเป็น # (S) = 365n.
ตอนนี้เราจะใช้เคล็ดลับ complementation ที่เราเห็นในตัวอย่างที่ 4.11.We ตระหนักดีว่าสถานการณ์เดียวที่ใช้การไม่ได้เกิดขึ้นคือถ้ามีการแข่งขันที่ไม่มีในหมู่คนทุกคน ในห้อง. นั่นคือเฉพาะเมื่อวันเกิดของทุกคนเป็น different.so
P (A) = 1-P (Ac) = 1 - (# 〖 (A 〗 ^ c)) / (# (S))
เนื่องจากผลที่มีแนวโน้มที่เท่าเทียมกัน ขอให้เราแล้วคิดว่ามีการแข่งขันที่ไม่มี คนแรกที่มีหนึ่งใน 365 วันเกิดที่เป็นไปได้ คนที่สองจะต้องไม่ตรงกับครั้งแรกที่ทำให้คนที่สองมีเพียง 364 วันเกิดที่มีอยู่ที่จะเลือก ในทำนองเดียวกันบุคคลที่สามมีเพียง 363 วันเกิดที่เป็นไปได้และอื่น ๆ จนกว่าจะถึงคนที่ n ใครมีเพียง 365 1 + n วันเป็นไปได้ที่เหลือสำหรับวันเกิด โดยหลักการคูณเรามี # (Ac) = 365 ∙ 364 ∙∙∙ (365-1 + n) และ
P (A) = 1 (365 ∙ 364 ∙∙∙ (365-1 + n)) / 〖 365 〗 ^ n = 1-364 / 365 ∙ 363/365 ∙∙∙ ((365-1 + n)) / 365
เป็นผลที่น่าแปลกใจพิจารณานี้ว่าหลายคนที่ไม่ได้ใช้เวลาอยู่ในห้องเพื่อให้ น่าจะเป็นของอย่างน้อยหนึ่งในการแข่งขันเป็นอย่างน้อย 0.50? เห็นได้ชัดว่ามีเพียงคนเดียวที่ n = 1 ในห้องพักแล้วน่าจะเป็นของการแข่งขันเป็นศูนย์และเมื่อมีจำนวน 366 คนในห้องพัก
***************** ************** กราฟ *********************************** **
มีโอกาส 100% ของการแข่งขัน (จำว่าเราจะไม่สนใจ yeas ก้าวกระโดด) เป็น ดังนั้นวิธีที่หลาย ๆ คนที่ไม่ได้ใช้เพื่อให้มีโอกาสเท่าเทียมกันในการแข่งขันและการแข่งขันไม่?
เมื่อฉันได้ถามคำถามให้กับนักเรียนที่นี้การตอบสนองตามปกติคือ "บางรอบ n = 180 คน" ในห้องพัก เหตุผลน่าจะเป็นว่าในการที่จะได้รับโอกาส 50% ของการแข่งขันควรจะมี 50% ของจำนวนวันที่จะครอบครอง จำนวนนักเรียนในห้องเรียนทั่วไปคือ 25 เพื่อให้เป็นคำถามสหายผมขอให้นักเรียนที่จะประเมินความน่าจะเป็นของการแข่งขันเมื่อมีจำนวน 25 คนในห้องพัก ประมาณการสามัญเป็น 1% หรือ 0.5% หรือแม้กระทั่งโอกาสที่ 0.1% ของการแข่งขัน หลังจากที่พวกเขาได้ให้การประมาณการของพวกเขาที่เราจะไปรอบ ๆ ห้องและนักเรียนแต่ละคนประกาศเกิดของพวกเขา บ่อยกว่าไม่, เราสังเกตการแข่งขันในชั้นเรียนเพื่อให้การปฏิเสธศรัทธาของนักเรียน.
นักศึกษามักจะประหลาดใจที่ได้ยินว่าใช้สูตรข้างต้นหนึ่งต้องเพียง n = 23 นักเรียนจะมีโอกาสมากขึ้นกว่า 50% อย่างน้อย หนึ่งในการแข่งขัน รูปที่ 4.5.1 แสดงกราฟของความน่าจะเป็นวันเกิดที่:

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ตัวอย่าง 4.27 . เกิดปัญหา สมมติว่ามี N คนห้องเดียวกัน แต่ละคนประกาศวันที่ของเขา / เธอในวันเกิด ในการเปิด คำถาม : อะไรคือความเป็นไปได้อย่างน้อยหนึ่งตรง ถ้าเราปล่อยให้เหตุการณ์แทน { } มีอย่างน้อยหนึ่งคู่ แล้วอยากทราบว่า P ( A ) แต่ที่เราเห็น มันสะดวกกว่าที่จะคำนวณ P ( c

)เริ่มแรกเราจะไม่สนใจกระโดดปีและสมมติว่ามีเพียง 365 วันในหนึ่งปี ประการที่สอง เราจะสมมติว่า เกิดเป็นอย่างเท่าเทียมกันกระจายผ่านหลักสูตรของปี ( ซึ่งไม่เป็นความจริง เนื่องจากทุกประเภทของภาวะแทรกซ้อน เช่น กำหนดการส่งโรงพยาบาล ) ดู http://en.wikipedia.org/wiki/birthday_problem เพิ่มเติม .
เราถัดไปคิดเกี่ยวกับตัวอย่างพื้นที่มี 365 ความเป็นไปได้สำหรับคนแรกของ birthday.365 โอกาสที่สอง และอื่น ๆ จำนวนของลำดับวันเกิดที่สุดจึง# ( s ) = 365n .
ตอนนี้เราจะใช้เอนไซม์กลที่เราเห็นในตัวอย่าง 4.11.we ตระหนักว่าสถานการณ์เท่านั้น ซึ่งจะไม่เกิดขึ้นถ้าไม่มีการแข่งขันในหมู่คนทั้งหมดในห้อง นั่นคือเมื่อวันเกิดของทุกคนจะแตกต่างกัน ดังนั้น
P ( A ) = 1-p ( AC ) = 1 - ( 〖# ( 〗
c ) / ( # ( s )
ตั้งแต่ผลมีแนวโน้มที่เท่าเทียมกัน ให้เราสมมติว่ามีไม่ตรงกัน คนแรกมี 365 วันเป็นไปได้ คนที่สอง จะต้องไม่ตรงกับครั้งแรก ดังนั้น คนที่ 2 ได้แค่ 364 ของวันเกิดที่ต้องเลือก ในทํานองเดียวกันคนที่สามที่ได้เพียง 363 เป็นไปได้วันเกิดและอื่น ๆจนกว่าเราจะไปถึงครั้งที่ร้อยคน ใครมีเหลือเพียง 1 วัน 365-n เป็นไปได้สำหรับวันเกิด โดยกฎการคูณ เรามี# ( AC ) = 365 ∙ 364 ∙∙∙ ( 365-n 1 ) ,
p ( A ) = 1 - ( 365 ∙ 364 ∙∙∙ ( 365-n 1 ) ) / 〖 365 〗
n = 1-364 / 365 ∙ 363 / 365 ∙∙∙ ( ( 365-n 1 ) / 365
ผลที่ตามมา , น่าแปลกใจพิจารณานี้ :