AbstractThe simple pendulum is a pa

Abstract
The simple pendulum is a paradigm in the study of oscillations and other phenomena in physics and nonlinear
dynamics. This explains why it has deserved much attention, from many viewpoints, for a long time. Here, we attempt
to describe what we call a generalized perturbed pendulum, which comprises, in a single model, many known situations
related to pendula, including different forcing and nonlinear damping terms. Melnikov analysis is applied to this model,
with the result of general formulae for the appearance of chaotic motions that incorporate several particular cases.
In this sense, we give a unified view of the pendulum.

2002 Elsevier Science Ltd. All rights reserved.
1. Introduction
Since the time of Galileo [1], the pendulum has constituted a physical object, fascinating physicists and becoming one
of the paradigms in the study of physics and natural phenomena. In the framework of nonlinear dynamics, there is no
doubt that the pendulum is one of the objects that have deserved more attention in modelling all kind of phenomena
related to oscillations, bifurcations and chaos. Its paradigmatic importance in mathematics has been also pointed out
[2]. Its interest derives not only from its intrinsic value as a notable example to test and search for new phenomena, but
also from its wide range of applicability.
From the theoretical point of view, its study may be considered of fundamental interest, where new results appear
once in a while (for example, on the stability of pendula, following the theorem proved by Acheson [3–6]), and all
possible combinations of pendula, such as the double pendulum [7,8], coupled pendula or even networks of pendula are
used from very different perspectives and approaches [9–11]. One example of an interesting new result applied to this
system refers to the Wada property, which was thoroughly studied for the forced pendulum in [12,13], and has to do
with the unpredictability of the system, even when it has simple periodic attractors. On the other hand, very many
physical phenomena may be modelled as pendula. This is because many oscillatory problems may be reduced in some
way to the equations of the pendulum. One could argue that, as a kind of oscillatory unit, it may be found almost
everywhere where oscillations occur. Apart from the familiar cases which appear in mechanics, it has been used to
model a charged particle inside an electric field with applications to nuclear reactors and plasmas, and even as a
universal model for nonlinear resonance [14]. Other fields of application, for example, are the Josephson superconducting
unions [15–17], modelling of structural and electronic properties in condensed matter physics [18] and in celestial
mechanics, especially related to the stability of the solar system [19], just to mention a few examples. A good
source of examples mostly related to mechanical engineering and mechanics are found in the book by Moon [20].
Another reference, which is basically dedicated to many phenomena associated to pendula, including many application

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

บทคัดย่อกระบวนทัศน์ในการศึกษาการแกว่งและปรากฏการณ์อื่น ๆ ในสาขาฟิสิกส์ และไม่เชิงเส้นเป็นลูกตุ้มอย่างง่ายdynamics อธิบายทำไมมันมีสมควรได้รับความสนใจมาก จากหลายมุมมอง เป็นเวลานาน ที่นี่ เราพยายามเพื่ออธิบายสิ่งที่เราเรียกเป็นเมจแบบทั่วไป perturbed ลูกตุ้ม ซึ่งประกอบด้วย ในรูปแบบเดียว สถานการณ์รู้จักมากมายเกี่ยวข้องกับ pendula รวมทั้งการบังคับแตกต่างกันและเงื่อนไข damping ไม่เชิงเส้น วิเคราะห์ Melnikov ใช้กับรุ่นนี้ด้วยผลลัพธ์ของสูตรทั่วไปในลักษณะของการเคลื่อนไหววุ่นวายที่หลายกรณีโดยเฉพาะในความรู้สึกนี้ เราให้มุมมองรวมของลูกตุ้ม2002 Elsevier วิทยาศาสตร์ จำกัด สงวนลิขสิทธิ์ทั้งหมด1. บทนำตั้งแต่เวลากาลิเลโอ [1], ลูกตุ้มมีทะลักวัตถุทางกายภาพ สถาน physicists และกลายเป็นหนึ่งของ paradigms ในวิชาฟิสิกส์และปรากฏการณ์ธรรมชาติ ในกรอบของ dynamics ไม่เชิงเส้น มีไม่สงสัยว่า ลูกตุ้มที่เป็นวัตถุที่มีสมควรได้รับความสนใจเพิ่มมากขึ้นในการสร้างแบบจำลองชนิดทั้งหมดของปรากฏการณ์ อย่างใดอย่างหนึ่งเกี่ยวข้องกับแกว่ง bifurcations และความวุ่นวาย ความสำคัญของคณิตศาสตร์ paradigmatic ได้แล้วยังชี้ให้เห็น[2] ความสนใจมาไม่เพียงจากค่า intrinsic เป็นอย่างโดดเด่นเพื่อทดสอบ และค้นหาปรากฏการณ์ใหม่ แต่นอกจากนี้จากความหลากหลายของความเกี่ยวข้องของจากทฤษฎีมอง การศึกษาอาจถูกพิจารณาว่าน่าสนใจพื้นฐาน ที่ใหม่แล้วในขณะที่ (ตัวอย่าง ในความมั่นคงของ pendula ตามทฤษฎีบทที่พิสูจน์ โดย Acheson [3-6]), และทั้งหมดครั้งเดียวpendula ควบคู่เป็นชุดของ pendula เช่นลูกตุ้มคู่ [7,8], หรือแม้แต่เครือข่ายของ pendulaใช้จากมุมมองที่แตกต่างกันมากและวิธี [9-11] ตัวอย่างหนึ่งของผลลัพธ์ใหม่น่าสนใจกับตัวนี้ระบบที่อ้างอิงถึงคุณสมบัติ Wada ที่ถูกศึกษาอย่างละเอียดสำหรับลูกตุ้มบังคับใน [12,13], และมีการดำเนินการมี unpredictability ของระบบ แม้มี attractors อย่างเป็นครั้งคราว ในทางกลับกัน มากหลายปรากฏการณ์ทางกายภาพอาจจะ modelled เป็น pendula ทั้งนี้เนื่องจากปัญหาใน oscillatory อาจจะลดลงในบางวิธีสมการของลูกตุ้ม หนึ่งอาจโต้เถียงว่า เป็นชนิดของหน่วย oscillatory มันอาจพบเกือบทุกตำแหน่งที่เกิดการแกว่ง นอกจากกรณีคุ้นเคยซึ่งปรากฏในกลศาสตร์ มีการใช้การแบบจำลองอนุภาค charged ภายในมีสนามไฟฟ้ากับเตาปฏิกรณ์นิวเคลียร์และ plasmas และเป็นการรูปแบบสากลสำหรับการสั่นพ้องไม่เชิงเส้น [14] เขตข้อมูลของโปรแกรมประยุกต์ ตัวอย่าง มี Josephson superconductingสหภาพแรงงาน [15-17], แบบจำลองของโครงสร้าง และอิเล็กทรอนิกส์คุณสมบัติในเรื่องบีบฟิสิกส์ [18] และ ในท้องฟ้ากลศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่เกี่ยวข้องกับความมั่นคงของระบบพลังงานแสงอาทิตย์ [19], จะพูดถึงตัวอย่าง ดีแหล่งที่มาของตัวอย่างส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับวิศวกรรมเครื่องกล และกลศาสตร์พบในสมุด โดยพระจันทร์ [20]ข้อมูลอ้างอิงอื่น ซึ่งโดยทั่วไปจะทุ่มเทเพื่อหลายปรากฏการณ์ที่เกี่ยวข้องกับ pendula รวมถึงโปรแกรมประยุกต์จำนวนมาก

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

บทคัดย่อลูกตุ้มง่ายๆคือกระบวนทัศน์ในการศึกษาของแนบแน่นและปรากฏการณ์อื่น ๆ ในฟิสิกส์และไม่เชิงเส้นของการเปลี่ยนแปลง นี้จะอธิบายได้ว่าทำไมมันสมควรได้รับความสนใจมากจากมุมมองที่หลายคนเป็นเวลานาน ที่นี่เราพยายามที่จะอธิบายสิ่งที่เราเรียกลูกตุ้มทั่วไปตกอกตกใจซึ่งประกอบด้วยในรูปแบบเดียวกับสถานการณ์ที่เป็นที่รู้จักหลายคนที่เกี่ยวข้องกับการpendula รวมทั้งการบังคับที่แตกต่างกันและเงื่อนไขการทำให้หมาด ๆ ไม่เชิงเส้น การวิเคราะห์ Melnikov ถูกนำไปใช้รูปแบบนี้มีผลมาจากสูตรทั่วไปสำหรับการปรากฏตัวของการเคลื่อนไหววุ่นวายที่รวมหลายกรณีโดยเฉพาะอย่างยิ่ง. ในแง่นี้เราจะให้มุมมองแบบครบวงจรของลูกตุ้ม.? 2002 เอลส์วิทยาศาสตร์ Ltd. สงวนลิขสิทธิ์. 1 บทนำตั้งแต่เวลาของกาลิเลโอ [1], ลูกตุ้มได้ประกอบเป็นวัตถุทางกายภาพฟิสิกส์ที่น่าสนใจและกลายเป็นหนึ่งของกระบวนทัศน์ในการศึกษาของฟิสิกส์และปรากฏการณ์ธรรมชาติ ในกรอบของการเปลี่ยนแปลงเชิงไม่มีข้อสงสัยว่าลูกตุ้มเป็นหนึ่งในวัตถุที่สมควรได้รับความสนใจมากขึ้นในการสร้างแบบจำลองชนิดของปรากฏการณ์ทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับการแกว่ง, bifurcations และความสับสนวุ่นวาย ตัวอย่างสำคัญในคณิตศาสตร์ยังได้รับการชี้ให้เห็น[2] ที่น่าสนใจของมันเกิดขึ้นไม่เพียง แต่จากมูลค่าที่แท้จริงของมันเป็นตัวอย่างที่โดดเด่นในการทดสอบและค้นหาปรากฏการณ์ใหม่ แต่ยังมาจากหลากหลายของการบังคับใช้. จากจุดทฤษฎีในมุมมองของการศึกษาอาจได้รับการพิจารณาที่น่าสนใจพื้นฐานที่ผลลัพธ์ใหม่ปรากฏครั้งในขณะที่ (ตัวอย่างเช่นในความมั่นคงของ pendula ตามทฤษฎีบทพิสูจน์โดยเคสัน [3-6]) และทุกคนรวมกันเป็นไปได้ของpendula เช่นลูกตุ้มคู่ [7,8] ควบคู่ pendula หรือแม้กระทั่งเครือข่าย ของลูกตุ้มจะใช้จากมุมมองที่แตกต่างกันมากและวิธีการ[9-11] ตัวอย่างหนึ่งของผลใหม่ที่น่าสนใจนี้นำไปใช้กับระบบหมายถึงทรัพย์สินดะซึ่งได้รับการศึกษาอย่างละเอียดสำหรับลูกตุ้มบังคับใน [12,13] และจะทำอย่างไรกับความไม่แน่นอนของระบบแม้ในขณะที่มันมีattractors ระยะที่เรียบง่าย . ในทางกลับกันหลายคนมากปรากฏการณ์ทางกายภาพอาจจะจำลองเป็น pendula เพราะนี่คือปัญหาแกว่งหลายคนอาจจะลดลงในบางวิธีที่จะสมการของลูกตุ้ม หนึ่งได้ยืนยันว่าเป็นชนิดของหน่วยแกว่งก็อาจพบได้เกือบทุกที่ที่แนบแน่นเกิดขึ้น นอกเหนือจากกรณีที่คุ้นเคยที่ปรากฏในกลศาสตร์จะได้รับการใช้ในการสร้างแบบจำลองอนุภาคเรียกเก็บภายในสนามไฟฟ้ากับการใช้งานให้กับเครื่องปฏิกรณ์นิวเคลียร์และพลาสม่าและยังเป็นรูปแบบสากลสำหรับเสียงสะท้อนเชิงเส้น[14] สาขาอื่น ๆ ของโปรแกรมตัวอย่างเช่นเป็นตัวนำยิ่งยวด Josephson สหภาพแรงงาน [15-17], การสร้างแบบจำลองของคุณสมบัติโครงสร้างและอิเล็กทรอนิกส์ในวิชาฟิสิกส์เรื่องย่อ [18] และในท้องฟ้ากลศาสตร์ที่เกี่ยวข้องโดยเฉพาะอย่างยิ่งต่อความมั่นคงของระบบพลังงานแสงอาทิตย์[19] เพียงแค่พูดถึงไม่กี่ตัวอย่าง ดีแหล่งที่มาของตัวอย่างส่วนใหญ่ที่เกี่ยวข้องกับวิศวกรรมเครื่องกลและกลไกที่พบในหนังสือเล่มนี้โดยดวงจันทร์ [20]. อ้างอิงอื่นที่มีความมุ่งมั่นกับปรากฏการณ์พื้นจำนวนมากที่เกี่ยวข้องกับ pendula รวมทั้งการประยุกต์ใช้หลาย ๆ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

นามธรรม
ลูกตุ้มอย่างง่ายคือ กระบวนทัศน์ในการศึกษาการสั่นและปรากฏการณ์อื่น ๆในฟิสิกส์พลศาสตร์แบบไม่เชิงเส้นและ

นี้อธิบายว่าทำไมมันได้รับความสนใจมาก จากมุมมองหลายนาน ที่นี่เราพยายามที่จะอธิบายสิ่งที่เราเรียกว่า
นัย วนเวียน ลูกตุ้ม ซึ่งประกอบด้วย ในแต่ละรุ่น หลายสถานการณ์ที่เกี่ยวข้องกับเพนดูลารู้จัก
,รวมทั้งที่แตกต่างกันบังคับและแบบไม่เชิงเส้นเงื่อนไข การวิเคราะห์ melnikov ที่ใช้กับรุ่นนี้
กับผลของสูตรทั่วไปสำหรับลักษณะของการเคลื่อนไหวกรณีวุ่นวายที่รวมเฉพาะหลาย .
ในความหมายนี้ เราได้ให้มุมมองรวมของลูกตุ้ม

2002 Elsevier Science จำกัด สงวนลิขสิทธิ์ .
1 บทนำ
ตั้งแต่ยุคของกาลิเลโอ [ 1 ]ลูกตุ้มมีบัญญัติวัตถุทางกายภาพ นักฟิสิกส์ที่น่าสนใจและเป็นหนึ่ง
ของกระบวนทัศน์ในการศึกษาฟิสิกส์และปรากฏการณ์ทางธรรมชาติ ในกรอบของพลศาสตร์ไม่เชิงเส้น , ไม่มี
สงสัยว่า ลูกตุ้มเป็นหนึ่งในวัตถุที่สมควรได้รับความสนใจมากขึ้นในการชนิดทั้งหมดของปรากฏการณ์
ที่เกี่ยวข้องกับการสั่น bifurcations และความโกลาหลความสำคัญ paradigmatic คณิตศาสตร์ยังได้ชี้ให้เห็น
[ 2 ] ดอกเบี้ยเกิดขึ้นไม่เฉพาะจากมูลค่าที่แท้จริงของมันเป็นตัวเด่น เพื่อทดสอบ และค้นหาปรากฏการณ์ใหม่ แต่ยังมาจากหลากหลาย

ทฤษฎีการบังคับใช้ จากจุดของมุมมองของการศึกษาอาจจะพิจารณาผลประโยชน์พื้นฐานที่ผลลัพธ์ใหม่ปรากฏ
นานๆ ( เช่น