In mathematics the p-adic number sy

In mathematics the p-adic number system for any prime number p extends the ordinary arithmetic of the rational numbers in a way different from the extension of the rational number system to the real and complex number systems. The extension is achieved by an alternative interpretation of the concept of "closeness" or absolute value. In particular, p-adic numbers have the interesting property that they are said to be close when their difference is divisible by a high power of p – the higher the power the closer they are. This property enables p-adic numbers to encode congruence information in a way that turns out to have powerful applications in number theory including, for example, in the famous proof of Fermat's Last Theorem by Andrew Wiles.[1]

p-adic numbers were first described by Kurt Hensel in 1897,[2] though with hindsight some of Kummer's earlier work can be interpreted as implicitly using p-adic numbers.[3] The p-adic numbers were motivated primarily by an attempt to bring the ideas and techniques of power series methods into number theory. Their influence now extends far beyond this. For example, the field of p-adic analysis essentially provides an alternative form of calculus.

More formally, for a given prime p, the field Qp of p-adic numbers is a completion of the rational numbers. The field Qp is also given a topology derived from a metric, which is itself derived from the p-adic order, an alternative valuation on the rational numbers. This metric space is complete in the sense that every Cauchy sequence converges to a point in Qp. This is what allows the development of calculus on Qp, and it is the interaction of this analytic and algebraic structure which gives the p-adic number systems their power and utility.

The p in p-adic is a variable and may be replaced with a prime (yielding, for instance, "the 2-adic numbers") or another placeholder variable (for expressions such as "the ℓ-adic numbers"). The "adic" of "p-adic" comes from the ending found in words such as dyadic or triadic, and the p means a prime number.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ในคณิตศาสตร์ ระบบเลข p adic สำหรับจำนวนเฉพาะ p ใด ๆ ขยายเลขคณิตธรรมดาจำนวนตรรกยะในแบบที่แตกต่างจากส่วนขยายของระบบจำนวนตรรกยะกับระบบจริงและจำนวนเชิงซ้อน ส่วนขยายสามารถทำได้ โดยการตีความอื่นแนวความคิดของ "ความใกล้เคียง" หรือค่าสัมบูรณ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หมายเลข p adic มีคุณสมบัติน่าสนใจว่า จะว่า จะปิดเมื่อความแตกต่างของพวกเขาที่หารได้ ด้วยพลังงานสูงของ p – สูงกำลังใกล้ที่จะ คุณสมบัตินี้ช่วยให้ตัวเลข p adic การเข้ารหัสข้อมูลลงตัวที่เปิดออกเพื่อให้โปรแกรมประยุกต์ที่มีประสิทธิภาพในการหมายเลขทฤษฎีรวมถึง เช่น ในหลักฐานที่มีชื่อเสียงของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาโดยแอนดรูว์จึงย่อมไขว้เขว [1]หมายเลข p adic ได้ก่อนอธิบาย Kurt Hensel ใน 1897, [2] แม้ว่า hindsight บางอย่างไร Kummer ของก่อนหน้างานสามารถตีความนัยโดยใช้หมายเลข p adic [3] หมายเลข p adic มีแรงจูงใจหลักจากความพยายามในการนำแนวคิดและเทคนิควิธีการพลังงานในทฤษฎีจำนวน ตอนนี้ขยายอิทธิพลของพวกเขามากกว่านี้ ตัวอย่าง ฟิลด์การวิเคราะห์ p adic เป็นทางรูปแบบอื่นของแคลคูลัสขึ้นอย่างเป็นกิจจะลักษณะ สำหรับการกำหนดเฉพาะ p ฟิลด์ Qp p adic จำนวนเป็นความสมบูรณ์ของจำนวนตรรกยะ ฟิลด์ Qp ยังได้โทโพโลยีมา การวัดซึ่งเป็นตัวเองมาจากใบสั่ง p adic การประเมินค่าทางเลือกเลขตรรกยะ พื้นที่วัดนี้เสร็จสมบูรณ์ในแง่ที่ว่า ลำดับทุกอสมการโคชี converges จุดใน Qp เป็นสิ่งช่วยให้การพัฒนาของแคลคูลัสใน Qp และเป็นการโต้ตอบของโครงสร้างพีชคณิต และระบบนี้ซึ่งระบบเลข p adic อำนาจและยูทิลิตี้ของพวกเขาP ใน p adic เป็นตัวแปร และอาจถูกแทนที่ ด้วยเป็นนายก (ผลผลิต เช่น "หมายเลข 2 adic") หรือตัวแปรตัวยึดอีกตัว (สำหรับนิพจน์เช่น "หมายเลขℓ adic") ที่ "adic" ของ "พี-adic" มาสิ้นสุดที่พบในคำเช่น dyadic หรือ triadic และ p หมายถึง จำนวนเฉพาะ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ในทางคณิตศาสตร์ระบบจำนวน p- อำนวยพีสำหรับจำนวนเฉพาะใด ๆ ขยายเลขคณิตสามัญของตัวเลขเหตุผลในทางที่แตกต่างจากการขยายตัวของระบบจำนวนจริงกับของจริงและระบบจำนวนเชิงซ้อน ส่วนขยายจะทำได้โดยการตีความทางเลือกของแนวคิดของ "ความใกล้ชิด" หรือค่าสัมบูรณ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งตัวเลข p- อำนวยการมีคุณสมบัติที่น่าสนใจว่าพวกเขาจะกล่าวว่าเป็นใกล้ชิดเมื่อความแตกต่างของพวกเขาคือหารด้วยพลังงานที่สูงของพี - พลังงานที่สูงขึ้นพวกเขามีความใกล้ชิด สถานที่ให้บริการนี้จะช่วยให้ตัวเลข p- อำนวยการเข้ารหัสข้อมูลที่สอดคล้องกันในทางที่จะออกมามีการใช้งานที่มีประสิทธิภาพในทฤษฎีจำนวนรวมถึงยกตัวอย่างเช่นในหลักฐานที่มีชื่อเสียงของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์โดยแอนดรูไวล์. [1] หมายเลข p- อำนวยการเป็นครั้งแรก อธิบายโดยเคิร์ต Hensel ในปี 1897 [2] แม้ว่าจะมีความเข้าใจถึงปัญหาบางส่วนของงานก่อนหน้านี้ Kummer สามารถตีความได้ว่าโดยปริยายใช้หมายเลข p- อำนวย. [3] หมายเลข p- อำนวยการได้รับแรงบันดาลใจหลักมาจากความพยายามที่จะนำความคิดและเทคนิคของการ วิธีการเข้าสู่อำนาจแบบทฤษฎีจำนวน อิทธิพลของพวกเขาในขณะนี้ขยายออกไปไกลกว่านี้ ตัวอย่างเช่นด้านการวิเคราะห์ p- อำนวยหลักให้รูปแบบทางเลือกของแคลคูลัส. เพิ่มเติมอย่างเป็นทางการสำหรับนายก p ได้รับข้อมูล Qp ของตัวเลข p- อำนวยคือความสำเร็จของการสรุปตัวเลข สนาม Qp จะได้รับยังโครงสร้างที่ได้มาจากตัวชี้วัดซึ่งเป็นตัวเองที่ได้มาจากการสั่งซื้อ p- อำนวยการ, การประเมินมูลค่าทางเลือกในการสรุปตัวเลข ตัวชี้วัดนี้พื้นที่เสร็จสมบูรณ์ในความรู้สึกว่าทุกลำดับ Cauchy ลู่ไปยังจุดใน Qp นี่คือสิ่งที่จะช่วยให้การพัฒนาของแคลคูลัสใน Qp และมันเป็นปฏิสัมพันธ์ของโครงสร้างและการวิเคราะห์เกี่ยวกับพีชคณิตนี้ซึ่งจะช่วยให้ระบบจำนวน p- อำนวยอำนาจของพวกเขาและยูทิลิตี้. พีใน p- อำนวยการเป็นตัวแปรและอาจถูกแทนที่ด้วย นายก (ผลผลิตเช่น "หมายเลข 2 ADIC") หรือตัวแปรอีกตัวยึด (สำหรับการแสดงออกเช่น "หมายเลขℓ-ADIC") "ADIC" ของ "p- อำนวย" มาจากตอนจบที่พบในคำเช่น dyadic หรือ triadic และพีหมายถึงจำนวนที่สำคัญ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ในคณิตศาสตร์ระบบตัวเลขอำนวยการ - p สำหรับจำนวนเฉพาะ p ขยายธรรมดา ค่าของตัวเลขที่มีเหตุผลในทางที่แตกต่างจากส่วนขยายของระบบจำนวน เหตุผลที่แท้จริงที่ซับซ้อนและระบบจำนวน ขยายได้ด้วยทางเลือกในการตีความแนวคิดของ " ใกล้ชิด " หรือค่าสัมบูรณ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งอำนวยการ - p ตัวเลขมีน่าสนใจคุณสมบัติที่พวกเขาบอกว่าจะปิดเมื่อความแตกต่างของพวกเขาจะแบ่งพลังสูงของ P และสูงกว่าพลังงานที่ใกล้จะ คุณสมบัตินี้ช่วยให้อำนวยการ - p เพื่อเข้ารหัสข้อมูลตัวเลขความสอดคล้องในทางที่ออกมาให้มีการใช้งานที่มีประสิทธิภาพในทฤษฎีจํานวนรวม เช่นในหลักฐานที่มีชื่อเสียงของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ โดย แอนดรูว์ ไวลส์ [ 1 ]

อำนวยการ - p ตัวเลขครั้งแรกที่อธิบายโดยเคิร์ทแฮนเซิลในปี 1897 , [ 2 ] แม้แต่บางส่วนของ Kummer คือก่อนหน้านี้ทำงานสามารถตีความเป็นโดยปริยายใช้ตัวเลขอำนวยการ - p . [ 3 ] ตัวเลขอำนวยการ - p มีแรงจูงใจเป็นหลัก โดยพยายามที่จะนำ ความคิดและเทคนิคของอำนาจแบบวิธีการในทฤษฎีจำนวนอิทธิพลของพวกเขาตอนนี้ขยายไกลเกินกว่านี้ ตัวอย่างเช่น ด้านการวิเคราะห์อำนวยการ - p เป็นหลักมีรูปแบบทางเลือกของแคลคูลัส

เพิ่มเติมอย่างเป็นทางการให้นายกรัฐมนตรี P , สนาม qp ของอำนวยการ - p ตัวเลขเสร็จของตัวเลขที่มีเหตุผล สนาม qp ยังได้รับแบบมาจากวัดที่ตัวเองได้มาจากการอำนวยการ - p ,การประเมินผลทางเลือกในตัวเลขที่มีเหตุผล ปริภูมิเมตริกนี้เสร็จสมบูรณ์ในความรู้สึกทุก ๆลำดับ Cauchy เข้าสู่จุดใน qp . นี่คือสิ่งที่ช่วยให้การพัฒนาของแคลคูลัสใน qp และเป็นปฏิสัมพันธ์นี้และวิเคราะห์โครงสร้างพีชคณิตซึ่งให้พลังงานและสาธารณูปโภคจำนวนระบบอำนวยการ - p .

p ในอำนวยการ - p คือตัวแปร และอาจถูกแทนที่ด้วยนายก ( หยุ่นตัวอย่างเช่น " 2-adic ตัวเลข " ) หรือตัวแปรอื่นชั่วคราว ( นิพจน์เช่น " ℓ - ไม่ใช่ตัวเลข " ) " ไม่ใช่ " ของ " อำนวยการ - p " มาสิ้นสุดที่พบในคำเช่นนี้หรือ triadic และ P หมายถึงจำนวนเฉพาะ