where the coefficient of xk, ak, re

where the coefficient of x
k
, ak, represents the number of ways that the event k can happen. As a
quick example, consider the generating function S(x) = X∞
k=0
2
kx
k = 1 + 2x+ 22x
2 +· · ·+ 2nx
n +· · · .
Out of the various possibilities, we could say that this is the generating function for the number of
subsets of an n-element set. This is due to the fact that the number of subsets of an n-element set
is equal to 2n and in the the generating function the coefficient of x
n
is indeed 2n
.
To find the generating function for the number of partitions of a number we need to consider
how many ones there are in the partitions, how many twos, threes and so on. In each partition
one can occur 0, 1, 2, 3 . . . times; thus contributing a factor of 1 + x + x
2 + · · · to the generating
function. Similarily two can occur 0, 1, 2, 3 . . . times; thus contributing a factor of 1 +x
2 +x
4 +· · · .
Continuing this logic we find that the generating function for the number of partitions of an integer
is:

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ซึ่งสัมประสิทธิ์ของ x
k
, ak แทนจำนวนวิธีที่ k เหตุการณ์สามารถเกิดขึ้น เป็นการ
ตัวอย่างรวดเร็ว พิจารณาฟังก์ชันสร้าง S(x) = X∞
k = 0
2
kx
k = 2 1 x 22 x
2 ··· 2nx
n ···.
จากโอกาสต่าง ๆ เราสามารถบอกได้ว่า นี่เป็นฟังก์ชันสร้างจำนวน
ชุดย่อยของชุดที่เป็นองค์ประกอบ n นี้เนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่าจำนวนชุดย่อยของชุดองค์ประกอบ n ตัว
เท่า กับ 2n และในการสร้างทำสัมประสิทธิ์ของ x
n
เป็น 2n
.
หาฟังก์ชันสร้างจำนวนพาร์ติชันของตัวเลขที่เราต้องพิจารณา
คนจำนวนที่มีอยู่ในพาร์ติชัน ปริมาตรจำนวน, threes และอื่น ๆ ในแต่ละพาร์ทิชัน
หนึ่งสามารถเกิดขึ้น 0, 1, 2, 3...เวลา จึง สนับสนุนปัจจัย 1 x x
2 ··· การสร้าง
ฟังก์ชัน Similarily สองสามารถเกิดขึ้นได้ 0, 1, 2, 3...เวลา จึง สนับสนุนปัจจัยของ 1 x
2 x
4 ···.
ต่อตรรกะนี้เราพบว่าฟังก์ชันสร้างจำนวนพาร์ติชันของจำนวนเต็ม
คือ:

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ที่สัมประสิทธิ์ของ x
k
, AK , แสดงถึงจำนวนของวิธีการที่เหตุการณ์ K สามารถเกิดขึ้นได้ โดย
ตัวอย่างรวดเร็ว พิจารณาสร้างฟังก์ชัน S ( x ) = x ∞
k = 0
2
KX
k = 1 22x 2x
2 · · ·· · · 2nx
n .
จากความเป็นไปได้ต่างๆ เราสามารถพูดได้ว่านี่คือการสร้างฟังก์ชันสำหรับจำนวน
ชุดย่อยของชุด n-element .นี้เป็นเพราะความจริงที่ว่าจำนวนของส่วนย่อยของ
ชุด n-element เท่ากับ 2n และในการสร้างฟังก์ชันสัมประสิทธิ์ของ x
2
n เป็นความจริง
.
หาสร้างฟังก์ชันสำหรับจำนวนของพาร์ทิชันของตัวเลขที่เราต้องพิจารณา
กี่คน มีใน พาร์ทิชัน , หลายวิธีที่ สอง สาม , และอื่น ๆ ในแต่ละพาร์ทิชัน
หนึ่งสามารถเกิดขึ้นได้ 0 , 1 , 2 , 3 . . . . . . . ครั้งจึงเอื้อปัจจัย 1 x x
2
· · · เพื่อสร้างฟังก์ชัน similarily สองสามารถเกิดขึ้นได้ 0 , 1 , 2 , 3 . . . . . . . ครั้ง จึงเอื้อปัจจัย 1 x
2 X
4 · · · .
ต่อไปตรรกะ เราพบว่าการสร้างฟังก์ชันสำหรับจำนวนของพาร์ทิชันของจำนวนเต็ม
คือ :