Int. J. Contemp. Math. Sciences, Vo

Int. J. Contemp. Math. Sciences, Vol. 7, 2012, no. 42, 2053 - 2059

Fibonacci Identities as Binomial Sums II

Mohammad K. Azarian

Department of Mathematics
University of Evansville
1800 Lincoln Avenue, Evansville, IN 47722, USA
[e-mail]

Abstract

As in [2], our goal in this article is to write some more prominent and
fundamental identities regarding Fibonacci numbers as binomial sums.

Mathematics Subject Classification: 05A10, 11B39

Keywords: Fibonacci numbers, Fibonacci sequence, Fibonacci identities

1. Introduction

The most well-known linear homogeneous recurrence relation of order two
with constant coefficients is

Fn+2 = Fn+1 + Fn , where F0 = 0, F1 = 1, and n ≥ 0.

This recurrence relation produces the most popular and widely-used integer
sequence 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., namely, the famous Fibonacci sequence. As
in [2], to facilitate rapid numerical calculations of identities pertaining to Fi-
bonacci numbers we write some of these fundamental identities as binomial
sums.
Hundreds of Fibonacci identities have been developed over the centuries
by numerous mathematicians and number enthusiasts. They have been pub-
lished in various journals and books for at least the past two centuries. The
2054 M. K. Azarian

author of some of the Fibonacci identities. However, the following individuals
authored at least one of the identities that we have presented in this paper: R.
H. Anglin [1], G. Candido [5], L. Carlitz [6], J. Ginsburg [7], H. W. Gould [8],
R. L. Graham [9], J. H. Halton [10], V. E. Hoggatt Jr. [11, 12], V. E. Hoggatt
Jr. and G. E. Bergum [13], J. A. H. Hunter [14], T. Koshy [15-17], D. Lind
[18], P. Mana [19], G. C. Padilla [20, 21], C. B. A. Peck [22], C. W. Raine [23],
K. S. Rao [24], R. S. Seamons [25], M. N. S. Swamy [27, 28], G. Wulczyn [29],
C. C. Yalavigi [30], D. Zeitlin and F. D. Parker [31].

2. Identities

It is known that the left-hand side of Fibonacci identities in Theorems 2.2-
2.7 can be written as a (power of a ) single Fibonacci number. We acknowledge
that we have not independently verified the validity of some of these identities.
To proceed, first we recall the following theorem from [1].

Theorem 2.1 [1]. If Fn is any Fibonacci number, then

n n
n n − 1 n − 2 n − 2 + 1 n − 2
Fn+1 = + + + ... + n + n
0 1 2 2 − 1 2

n
2

n − i
= , n ≥ 0.
i
i=0

To prove Theorems 2.2-2.7 we can simply use Theorem 2.1, and the fact
that each Fibonacci identity on the left-hand side can be written as a (power
of a ) single Fibonacci number. Or, we could use the principle of mathemati-
cal induction, combinatorial arguments, or just simple algebra to prove these
theorems. However, we caution the reader that some of these identities have
been somewhat modified to fit a desired format and they may not look exactly
as they appear in the literature.

Theorem 2.2.

n
2

(i) F (F F − F 2 ) = (−1)n+1 n−i
n+1 n n+2 n+1 i

i=0

n

1
(ii) F 2 + F 2 − 4F 2 + F 2 = [1 + (−1)n] + F F
n n+4 n+2 n+3 i i+1
2
i=0
n n+1
2 1 n 2
= Fn+1Fn+2 − Fi = 2 [1 + (−1) ] + (n + 1)Fn+1Fn+2 − iFi

i=0 i=0

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ของดอกเบี้ย J. Contemp. คณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ ปี 7, 2012 หมายเลข 42, 2053-2059 รหัสประจำตัวฟีโบนัชชีเป็นทวินามผล II Azarian คุณอาหรับ ภาควิชาคณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัย Evansville 1800 ลินคอล์น Avenue, Evansville, IN 47722 สหรัฐอเมริกา [e-mail] บทคัดย่อ ใน [2], เป้าหมายของเราในบทความนี้จะเขียนโดดเด่นบางมาก และ ข้อมูลพื้นฐานเกี่ยวกับ Fibonacci หมายเลขเป็นทวินามผล คณิตศาสตร์เรื่อง Classification: 05A10, 11B39 คำสำคัญ: หมายเลขฟีโบนัชชี ลำดับ Fibonacci, Fibonacci ประจำ 1. บทนำ ความสัมพันธ์เชิงเส้นเหมือนเกิดรู้จักมากที่สุดลำดับ 2 coefficients คงเป็น Fn + 2 = Fn, Fn + 1 ที่ F0 = 0, F1 = 1 และ n ≥ 0 ความสัมพันธ์นี้เกิดขึ้นให้เป็นจำนวนเต็มที่มากที่สุดนิยม และ ใช้กันอย่างแพร่หลาย ลำดับ 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,..., ได้แก่ ลำดับที่ Fibonacci มีชื่อเสียง เป็น ใน [2], เพื่อช่วยในการคำนวณตัวเลขอย่างรวดเร็วของข้อมูลที่เกี่ยวข้องกับไร้สาย- หมายเลข bonacci ที่เราเขียนข้อมูลพื้นฐานเหล่านี้อย่างใดอย่างหนึ่งเป็นแบบทวินาม ผลรวม ได้รับการพัฒนาของ Fibonacci ประจำมากกว่าอื่น ๆ โดย mathematicians และหมายเลขผู้ที่ชื่นชอบมากมาย พวกเขามีผับ- lished ในสมุดรายวันต่าง ๆ และหนังสือสำหรับที่ผ่านมาสองศตวรรษ ที่ Azarian คุณ 2054 เมตร ผู้เขียนของประจำฟีโบนัชชี อย่างไรก็ตาม บุคคลต่อไปนี้ เขียนอย่างน้อยหนึ่งข้อมูลเฉพาะตัวที่เราได้นำเสนอในเอกสารนี้: อาร์ H. Anglin [1], Candido กรัม [5], L. Carlitz [6], J. Ginsburg [7] H. W. Gould [8], R. แกรแฮม L. [9], Halton H. J. [10], V. E. Hoggatt จูเนียร์ [11, 12] V. E. Hoggatt Lind D. จูเนียร์และ G. E. Bergum [13], J. A. H. ฮันเตอร์ [14], ต. Koshy [15-17], [18], P. Mana [19], Padilla C. กรัม [20, 21], เป็ก A. B. C. [22] C. W. Raine [23], คุณเรา S. [24], Seamons S. R. [25], ม. N. S. Swamy [27, 28] Wulczyn กรัม [29], C. C. Yalavigi [30], D. Zeitlin และ F. D. คเกอร์ [31] 2. รหัสประจำตัว เป็นที่รู้จักกันที่ด้านซ้ายของ Fibonacci ประจำในทฤษฎี 2.2 - 2.7 สามารถเขียนเป็นแบบ (พลังงานของการ) เลขฟีโบนัชชีเดียวได้ เรายอมรับ ว่า เรามีอิสระไม่ verified ถูกต้องของข้อมูลเหล่านี้ เพื่อดำเนินต่อ first เราจำทฤษฎีบทต่อไปนี้ [1] ทฤษฎีบท 2.1 [1] ถ้า Fn หมายเลขฟีโบนัชชี แล้ว n n n n − 1 n − 2 n − 2 + 1 n − 2 Fn + 1 = + + +... + n + n 0 1 2 2 − 1 2 n 2 n −ฉัน = , n ≥ 0. ฉัน ฉัน = 0 การพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ 2.2-2.7 เราก็สามารถใช้ทฤษฎีบท 2.1 และความจริง ว่า แต่ละ identity Fibonacci ด้านซ้ายเขียนได้เป็น (พลังงาน ของตัว) เลขฟีโบนัชชีเดียวกัน หรือ เราสามารถใช้หลักการของ mathemati- เหนี่ยวนำ cal อาร์กิวเมนต์ปัญหา หรือพีชคณิตอย่างง่ายเพียงการพิสูจน์เหล่านี้ ทฤษฎีบทความไม่ อย่างไรก็ตาม เราระวังอ่านว่า บางส่วนของตัวตนเหล่านี้ได้ modified กับ fit รูปแบบระบุและพวกเขาอาจไม่มองว่าค่อนข้างถูก ตามที่ปรากฏในวรรณคดี ทฤษฎีบทที่ 2.2 n 2 (i) F (− F F F 2) = (−1) n + 1 n−i n + 1 n n + 2 n + 1 ผม ฉัน = 0 n 1 (ii) F 2 + F 2 − 4F 2 + F 2 = [1 + (−1) n] F F + n n + 4 n + 2 n + 3 ฉันฉัน + 1 2 ฉัน = 0 n n + 1 2 1 n 2 = 2 − Fn + 1Fn ไร้สาย = 2 [1 + (−1)] + (n + 1) Fn + 1Fn + 2 − iFi ฉัน = 0 ฉัน = 0

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

Int . J . contemp . คณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ , ฉบับที่ 7 , 2012 , ฉบับที่ 42 , 2 , 053 - 2059

Fibonacci เอกลักษณ์เป็นแบบผลรวม 2

Mohammad K . azarian

ภาควิชาคณิตศาสตร์มหาวิทยาลัยวิลล์

1800 Lincoln Avenue , วิลล์ ใน 47722 USA




[e-mail] นามธรรมใน [ 2 ] เป้าหมายของเราในบทความนี้ ก็ต้องมาเขียนที่โดดเด่นมากขึ้นและ
ข้อมูลพื้นฐานเกี่ยวกับตัวเลข Fibonacci เป็นแบบผลรวม

คณิตศาสตร์เรื่อง classi จึงไอออนบวก : 05a10 11b39 ,

คำสำคัญ : Fibonacci ตัวเลข Fibonacci ลำดับฟีโบนัชชี เอกลักษณ์

1 บทนำ

ส่วนใหญ่รู้จักกันดีเป็นความสัมพันธ์เวียนเกิดเชิงเส้นลำดับสอง
คงที่ โคffi cients เป็น

FN 2 = Fn 1 FN ที่ละ = 0 F1 = 1 และ n ≥ 0

นี้ความสัมพันธ์เวียนเกิดผลิตที่เป็นที่นิยมมากที่สุดและใช้กันอย่างแพร่หลายลำดับจำนวนเต็ม
0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , . . . . . . . คือ ลำดับ Fibonacci ที่มีชื่อเสียง โดย
ใน [ 2 ] เพื่อความสะดวกรวดเร็วตัวเลขการคำนวณของอัตลักษณ์เกี่ยวกับ Fi -
bonacci ตัวเลขที่เราเขียนบางส่วนของเหล่านี้พื้นฐานเอกลักษณ์เป็นแบบ
ผลบวก
ร้อยอัตลักษณ์ Fibonacci ถูกพัฒนาในศตวรรษ
โดยนักคณิตศาสตร์มากมายและผู้สนใจจำนวน พวกเขาได้รับผับ -
lished ในวารสารต่าง ๆและหนังสือเป็นเวลาอย่างน้อยที่ผ่านมาสองศตวรรษ
2597 M . K . azarian

เขียนบางส่วนของ Fibonacci เอกลักษณ์ อย่างไรก็ตาม บุคคลต่อไปนี้
เขียนอย่างน้อยหนึ่งในเอกลักษณ์ที่เราได้นำเสนอในบทความนี้ : R .
h anglin [ 1 ] , G . L . carlitz คานดิโด [ 5 ] [ 6 ] , J . กินสเบิร์ก [ 7 ]H . W . กูล [ 8 ] ,
R . L . Graham [ 9 ] , J . H . Halton [ 10 ] , V . E . hoggatt จูเนียร์ [ 11 , 12 ] , V . E . hoggatt
จูเนียร์และ G . E . bergum [ 13 ] , J . A . H . ฮันเตอร์ [ 14 ] , ต. koshy [ 17 ] , D . ลินด์
[ 18 ] , หน้ามานะ [ 19 ] , G . ดิลลา [ 20 , 21 ] , C . B . A . เพ็ค [ 22 ] , C . W . เรน [ 23 ] ,
K . S . Rao [ 24 ] , R . S . seamons [ 25 ] , M . S . Swamy [ 27 , 28 ] , G . wulczyn [ 29 ] ,
ซี. ซี. yalavigi [ 30 ] , D . F . D . Parker และไซต์ลิน [ 31 ]

2เอกลักษณ์

มันเป็นที่รู้จักกันว่าด้านซ้ายมือของ Fibonacci อัตลักษณ์ในทฤษฎีบท 2.2 -
2.7 สามารถเขียนเป็น ( อำนาจ ) จำนวนฟีโบนัชชีเดียว เรายอมรับว่าเรายังไม่ได้เป็นอิสระ
ข้อมูลจึงเอ็ดความถูกต้องของบางส่วนของลักษณะเหล่านี้
ดำเนิน จึงตัดสินใจเดินทางไปเราจำทฤษฎีบทจาก [ 1 ] ดังต่อไปนี้

ของ 2.1 [ 1 ] ถ้าฟังก์ชันใด ๆลำดับหมายเลขแล้ว

n n
n n − 1 n − 2 n − 2 1 n − 2
FN 1 = . . . . . . . n n
0 1 2 2 − 1 2
n
2
n −ผม
= N ≥ 0
ผม
ฉัน = 0 =

เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบท 2.2-2.7 เราสามารถใช้ทฤษฎีบท 2.1 และความเป็นจริง
แต่ละ Fibonacci เอกลักษณ์ด้านซ้ายมือ สามารถเขียนเป็น ( พลังของเลขฟีโบนัชชี
) เดี่ยว หรือเราสามารถใช้หลักการของ mathemati -
แคล induction , การขัดแย้ง ,หรือพีชคณิตง่ายเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้

อย่างไรก็ตาม เราขอเตือนผู้อ่านว่าบางส่วนของเหล่านี้มีเอกลักษณ์
เป็นอะไรที่ Modi จึงเอ็ดจึงไม่ได้เป็นรูปแบบที่ต้องการและพวกเขาอาจจะดูไม่เหมือน
ตามที่ปรากฏในวรรณกรรม

ของ 2.2 .

n
2

( i ) F ( F F F − 1 ) = ( − 1 ) n n − 1 ชั้น 1
n n 2 n 1 ผม

ฉัน = 0 =




( 1 / 2 ) F 2 F 2 − 2 = [ 1 f แทนที่ 2 ( − 1 ) n ] f f
n n n n 2 3 4 ผม 1
2
0
n n = 1
2 = 2
1 N 1fn FN 2 − Fi = 2 [ 1 ( − 1 ) ( 1 ) 1fn FN 2 − IFI

ฉัน = 0 = 0 =
ฉัน