Pappus’ volume theorem. Consider a

Pappus’ volume theorem. Consider a region S of the yz-plane and the solid ob- tained by rotating it around the axis `. Let C denote the centroid of S, A the area of S, and d the distance from the centroid C to the line `. Then Pappus’ volume theorem states, in its classical form, that the volume of this solid is given by V(S,`) =2πdA. Let us see how to obtain Pappus’ theorem from (‡). Recall that if ` has equationax +by+c =0, then d`(x0, y0) =|ax0 +by0 +c|/√a2 +b2. It is also well knownthat if C = (xC, yC), then xC =RRS x dA A , yC =RRS y dA A . Since S canbeassumedtolieonthesemiplanedeterminedbyax+by+c > 0(hence d`(x, y) is a polynomial in x and y), we have V(S,`) =ZZS 2πd`(x, y) dA =2πZZS ax +by+c √a2 +b2 dA =2π axC +byC +c √a2 +b2 A=2πdA. Acknowledgment. We would like to thank Rub´en Vigara for his help with Figure 1. The first author is partially supported by the projects MTM2010-21740-C02-02, “E15 Grupo Con- solidado Geometr´ıa” from the government of Arag´on, FQM-333 from “Junta de Andaluc´ıa,” andPRI-AIBDE-2011-0986Acci´onIntegradahispano-alemana.Thesecondauthorispartially supported by the group “S119 Investigaci´on en Educaci´on Matem´atica” from the government of Arag´on.
Summary. We show that the disk and shell methods for computing volume are connected by Fubini’s theorem. The same double integral allows us to derive Pappus’ volume theorem.
References
1. C. A. Cable, The teaching of mathematics: the disk and shell method. Amer. Math. Monthly 91 (1984) 139; available at http://dx.doi.org/10.2307/2322115. 2. W. Carlip, Disks and shells revisited. Amer. Math. Monthly98(1991) 154–156; available at http://dx.doi. org/10.2307/2323949. 3. E. Key, Disks, shells and integrals of inverse functions. College Math. J. 25 (1994) 136–138.
VOL. 45, NO. 3, MAY 2014 THE COLLEGE MATHEMATICS JOURNAL 221

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ทฤษฎีบทของปัปปุสไดรฟ์ข้อมูล พิจารณาภาค S ของระนาบ yz และแบบทึบ ob - tained โดยหมุนรอบแกน ' ให้ C แสดงเซนทรอยด์ของ S, A พื้นที่ของ S และ d ห่างจากเซนทรอยด์ C บรรทัด ' แล้ว ทฤษฎีบทของปัปปุสเล่มอเมริกา แบบคลาสสิก ว่า ปริมาตรของแข็งนี้ถูกกำหนด โดย V(S,') = 2πdA ให้เราดูวิธีการขอรับทฤษฎีบทของปัปปุสจาก (‡) นึกว่า ถ้า ' มี equationax + โดย + c = 0 แล้ว d'(x 0, y0) = |ax0 + by0 + c|/√a2 + b2 ก็ยังดี knownthat ถ้า C = (xC, yC), แล้ว xC = RRS x ดา A, yC = RRS y ดา A ตั้งแต่ S canbeassumedtolieonthesemiplanedeterminedbyax โดย + c > 0 (d ดังนั้น '(x, y) เป็นพหุนามใน x และ y), เรามี V(S,') = ZZS 2πd'(x, y) ดา = 2πZZS ax + โดย + c √a2 + b2 dA = 2π axC byC + c √a2 + b2 A = 2πdA ยอมรับ เราอยากขอบคุณ Rub´en Vigara สำหรับความช่วยเหลือกับรูปที่ 1 ผู้เขียน first บางส่วนได้รับการสนับสนุน โดยโครงการ MTM2010-21740-C02-02, "E15 Grupo คอน solidado Geometr´ıa" จากรัฐบาลของ Arag´on, FQM-333 จาก "ยึด de Andaluc´ıa," andPRI-AIBDE-2011-0986Acci´onIntegradahispano-alemana.Thesecondauthorispartially ได้รับการสนับสนุน โดยกลุ่ม "S119 Investigaci´on น้ำ Educaci´on Matem´atica" ของ Arag´onสรุป เราแสดงว่า วิธีการเชลล์และดิสก์สำหรับไดรฟ์ข้อมูลระบบคอมพิวเตอร์เชื่อมต่อ โดยทฤษฎีบทของ Fubini ทฤษฎีบูรณาการคู่เดียวกันช่วยให้เราสามารถรับทฤษฎีบทของปัปปุสปริมาณการอ้างอิง1. C. A. สาย สอนคณิตศาสตร์: วิธีดิสก์และเชลล์ Amer. คณิตศาสตร์ 91 รายเดือน (1984) 139 ได้ที่ http://dx.doi.org/10.2307/2322115 2. W. Carlip ดิสก์ และเชลล์ revisited Amer. คณิตศาสตร์ Monthly98(1991) 154-156 ได้ที่ http://dx.doi org/10.2307/2323949 3. E. คีย์ ดิสก์ เชลล์ และปริพันธ์ของฟังก์ชันผกผัน คณิตศาสตร์วิทยาลัย เจ. 25 (1994) 136-138ปี 45 หมายเลข 3 วิทยาลัยคณิตศาสตร์ราย 221 2014 อาจ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ทฤษฎีบทแพปพัส ' ปริมาณ พิจารณาขอบเขตของ yz เครื่องบินและด้านแข็ง tained โดยการหมุนรอบแกน ' ให้ C แทนเซนทรอยด์ของ s , พื้นที่ของ S และ D ระยะทางจากเคมบริดจ์ C เส้น ` ทฤษฎีบทแพปพัส ' แล้วปริมาณรัฐในรูปแบบคลาสสิก ที่ปริมาณของแข็งให้ V ( S , ` ) = 2 πดา . ให้เราเห็นวิธีการขอรับทฤษฎีบทแพปพัส ' จาก ( ‡ )จำได้ว่า ถ้า " มี equationax โดย C = 0 แล้ว D ` ( x0 y0 , ) = | ax0 by0 C | / √ A2 B2 . มันเป็นที่ knownthat ถ้า c = ( XC YC ) จากนั้น XC = rrs X ดา , YC = rrs Y ดา . เนื่องจากเป็น canbeassumedtolieonthesemiplanedeterminedbyax โดย c > 0 ( เพราะ D ` ( x , y ) เป็นพหุนามใน X และ Y ) เรามี V ( S , ` ) = zzs 2 π D ` ( X , Y ) = 2 πดา zzs ขวานโดย C √ A2 B2 ดา = 2 π axc BYC √ A2 c B2 = 2 πดา . ได้รับการยอมรับเราอยากจะขอบคุณถูใหม่ใน vigara ช่วยเขาด้วย 1 รูป ผู้เขียนจึงตัดสินใจเดินทางเป็นบางส่วน โดยได้รับการสนับสนุนจากโครงการ mtm2010-21740-c02-02 " e15 GRUPO con - solidado geometr ´ı " จากรัฐบาล arag ใหม่บน fqm-333 จาก " เผด็จการทหาร เดอ andaluc ´ı , andpri-aibde-2011-0986acci ใหม่ onintegradahispano Alemana .thesecondauthorispartially สนับสนุนโดยกลุ่ม " s119 investigaci ใหม่ใน en educaci ใหม่บนมาเตมใหม่ atica " จากรัฐบาล arag ใหม่ .
สรุป เราแสดงดิสก์และวิธีการสำหรับการคำนวณปริมาณเปลือกฟิวบีนี่เชื่อมต่อกันโดยทฤษฎีบทของ เหมือนคู่หนึ่งที่ช่วยให้เราเพื่อให้ได้ปริมาณทฤษฎีบทแพปพัส '
.
อ้างอิง 1 C . A . สายเคเบิล , การสอนคณิตศาสตร์ : ดิสก์แบบเปลือก AMER .คณิตศาสตร์ รายเดือน 91 ( 1984 ) 139 ; ของที่ http://dx.doi.org/10.2307/2322115 . 2 . . carlip ดิสก์และเปลือกหอยมาเยือน . AMER . คณิตศาสตร์ monthly98 ( 1991 ) 154 – 156 ; ของที่ http://dx.doi . องค์กร / 10.2307/2323949 . 3 . เช่นกุญแจ , ดิสก์ , หอยและส่วนประกอบของฟังก์ชันผกผัน วิทยาลัยคณิตศาสตร์ 25 J . ( 1994 ) จำกัด 138 136 .
ฉบับที่ 45 , อันดับที่ 3 พฤษภาคม 2014 วิทยาลัย 221
วารสารคณิตศาสตร์