3. The optimal interval estimatorOu

3. The optimal interval estimator
Our criterion for selecting the ‘‘best’’ interval from Aw(α) is based on the mean expected length. Define the expected
length by Λ(θ, Aw) =

x∈X λ(Aw(x; αx))pθ (x), where λ is Lebesgue measure. Define the mean expected length of Aw with
respect to w by
Λ(Aw) =

Θ
Λ(θ, Aw)w(θ)dθ =

x∈X
λ(Aw(x; αx))p(x).
Our goal is to find A∗
w
∈ Aw(α) such that Λ(A∗
w) < Λ(Aw) for every other Aw ∈ Aw(α); we refer to A∗
w as the minimum
mean expected length estimator (MMELE).
To specify the form of A∗
w more concretely, it is necessary to make the following mild assumptions.
(A1) The function wx is unimodal and continuous on Θ for every x ∈ X.
(A2) The set Aw(x; αx) is of the form [lx(αx), ux(αx)], where lx(αx) ≤ ux(αx), and where lx(αx), ux(αx) are elements of the
closure of Θ.
(A3) If wx is monotone, for any ϵ > 0, there exists θ0 ∈ Θ such that wx(θ0) < ϵ. If wx is not monotone, there exists θ1 ∈ Θ
and θ2 ∈ Θ such that wx(θ1),wx(θ2) < ϵ.
It is important to note that we do allow for lx and ux to be on the boundary of the parameter space, thereby allowing for a
‘‘one-sided interval’’. For certain weight functions and realizations of X, the MMELE has this form.
Because there are many 1−αx weighted interval estimates of the form [lx(αx), ux(αx)], our first step is to find the optimal
lx(αx) and ux(αx) that minimize λ(A(x; αx)) = ux(αx) − lx(αx) for a fixed αx and x. This interval estimate, which is denoted
by A∗
w(x; αx) = [l∗x (αx), u∗x (αx)], is found in Lemma 1. In what follows, letWx(θ) =

(−∞,θ ] wx(t)dt. Proofs of all lemmas and
theorems are in the Appendix.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

3. การประมาณช่วงเวลาที่เหมาะสมเกณฑ์สำหรับการเลือกช่วง ''ดี '' จาก Aw(α) ของเราเป็นไปตามความยาวคาดหมายถึง กำหนดที่คาดไว้ความยาว โดยΛ (ค่าθ Aw) =x∈X λ (Aw (x; αx)) pθ (x), λอยู่วัด Lebesgue กำหนดความยาวคาดหมายถึงของ Aw ด้วยw โดยเคารพΛ(Aw) =ΘΛ (ค่าθ Aw) w (ค่าθ) dθ =x∈XΛ (อึ้ง (x; αx))p(x)เป้าหมายของเราคือ หา A∗w∈ Aw(α) ดังกล่าวนั้นΛ (A∗w) < Λ(Aw) สำหรับทุกอื่น ๆ Aw ∈ Aw(α) เราอ้างอิงถึง A∗w เป็นขั้นต่ำหมายถึง ความยาวที่คาดประมาณ (MMELE)การระบุรูปแบบของ A∗เพิ่มเติม w รูปธรรม จึงจำเป็นต้องทำให้สมมติฐานที่อ่อนต่อไปนี้(A1) Wx ฟังก์ชันเป็น unimodal และต่อเนื่องในΘสำหรับทุก x ∈ X(A2) Aw ตั้งค่า (x; αx) เป็นแบบฟอร์ม [lx(αx), ux(αx)], ที่ lx(αx) ≤ ux(αx) และ lx(αx), ux(αx) องค์ประกอบของการปิดΘ(A3) ถ้า wx รวย สำหรับใด ๆ ϵ > 0 มี θ0 Θเช่นนิวซีแลนด์∈ wx(θ0) ที่ < ϵ ถ้า wx ไม่ทางเดียว มี θ1 ∈Θและ θ2 Θเช่นนิวซีแลนด์∈ wx(θ1),wx(θ2) ที่ < ϵจำเป็นต้องทราบว่า เราอนุญาตให้ lx และ ux จะบนขอบเขตของพื้นที่พารามิเตอร์ ซึ่งสำหรับการ''ช่วงด้านเดียว '' สำหรับบางฟังก์ชั่นน้ำหนักและว่าการรับรู้ของ X, MMELE มีแบบฟอร์มนี้เนื่องจากมีการประเมินช่วง 1−αx เฉลี่ยหลายของแบบฟอร์ม [lx(αx), ux(αx)], ขั้นตอนแรกของเราคือการ หาที่เหมาะสมlx(αx) และ ux(αx) ที่ลดλ (A(x; αx)) = lx(αx) − ux(αx) ถาวร αx และ x ประเมินช่วงนี้ ซึ่งสามารถเขียนแทนโดย A∗w (x; αx) = [(αx), l∗x u∗x (αx)] พบได้ใน 1 หน่วยการ ในสิ่งต่อไปนี้ letWx(θ) =(−∞ ค่าθ] wx (t) dt หลักฐานของคำนามภาษาทั้งหมด และtheorems อยู่ในภาคผนวก

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

3. ประมาณการช่วงเวลาที่ดีที่สุด
เกณฑ์ของเราสำหรับการเลือกที่ดีที่สุด '' ช่วง 'จาก AW (α) จะขึ้นอยู่กับระยะเวลาที่คาดว่าค่าเฉลี่ย กำหนดที่คาดว่าจะ
มีความยาวโดยΛ (θอัล) =

x∈Xλ (AW (x; αx)) pθ (x) ซึ่งเป็นตัวชี้วัดλเกอ กำหนดค่าเฉลี่ยระยะเวลาที่คาดหวังของอัลด้วย
ความเคารพ W โดย
Λ (AW) =

Θ
Λ (θอัล) W (θ) = dθ

x∈X
λ (AW (x; αx)) P (x)
เป้าหมายของเราคือการหา *
W
∈ AW (α) เช่นที่Λ (A *
W) <Λ (AW) สำหรับทุกอื่น ๆ อัล∈ AW (α); เราจะเรียก A *
W เป็นขั้นต่ำ
เฉลี่ยที่คาดว่าจะมีความยาวประมาณ (MMELE)
เพื่อระบุรูปแบบของ * The
W มากขึ้นเป็นรูปธรรมก็เป็นสิ่งจำเป็นที่จะทำให้สมมติฐานอ่อนดังต่อไปนี้
(A1) เดอะ WX ฟังก์ชั่นและ unimodal อย่างต่อเนื่องในΘสำหรับทุก x ∈เอ็กซ์
(A2) ชุด AW (x; αx) เป็นรูปแบบ [LX (αx) UX (αx)] ที่ LX (αx) ≤ UX (αx) และที่ LX (αx) UX (αx) เป็นองค์ประกอบของ
การปิดΘ
(A3) หาก WX เป็นเสียงเดียวสำหรับε> 0 ใด ๆ มีอยู่θ0∈Θดังกล่าวว่า wx (θ0) <ε หาก WX ไม่ได้เป็นเสียงเดียวมีอยู่θ1∈Θ
และθ2∈Θดังกล่าวว่า wx (θ1) wx (θ2) <ε
มันเป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องทราบว่าเราไม่อนุญาตให้มีการ LX และ UX จะอยู่ในขอบเขตของพื้นที่พารามิเตอร์จึงอนุญาตให้
'' ช่วงด้านเดียว '' สำหรับฟังก์ชั่นบางน้ำหนักและความเข้าใจของ X ที่ MMELE มีรูปแบบนี้
เพราะมีหลาย 1 αxประมาณการช่วงถ่วงน้ำหนักของแบบฟอร์ม [LX (αx) UX (αx)]
ขั้นตอนแรกของเราคือการหาสิ่งที่ดีที่สุด LX (αx) และ UX (αx) ที่ลดλ (A (x; αx)) = UX (αx) - LX (αx) สำหรับαxคงที่และ X นี้ประมาณการช่วงเวลาที่จะเขียนแทน
โดย A *
W (x; αx) = [L * X (αx) U * X (αx)] จะพบในบทแทรก 1. ในสิ่งต่อไปนี้ letWx (θ) =

( -∞, θ] WX (t) dt. พิสูจน์ lemmas และ
ทฤษฎีบทอยู่ในภาคผนวก

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

3 . ประมาณการระยะเวลาที่เหมาะสมของเรา เกณฑ์ในการเลือก ' ' ' 'best ห่าง AW ( α ) จะขึ้นอยู่กับค่าเฉลี่ยคาดว่าความยาว กำหนด คาดว่าความยาวΛ ( θ , aw ) =x ∈ x λ ( Aw ( x ; α x ) P θ ( X ) ที่λเป็น lebesgue วัด กําหนดหมายถึงความยาวที่คาดหวังของอาด้วยเคารพ W โดยΛ ( AW ) =ΘΛ ( θ , aw ) W ( θ ) D θ =∈ X Xλ ( Aw ( x ; α X ) P ( x )เป้าหมายของเราคือการ หา∗ก.∈ AW ( α ) เช่นที่Λ ( ∗w ) < Λ ( AW ) สำหรับทุก ๆ อ่า∈ AW ( α ) ; เราอ้างถึง∗W เป็นขั้นต่ำหมายถึงความยาว ( คาดว่าประมาณ mmele )การกำหนดรูปแบบของ∗W เป็นรูปธรรมมากขึ้น มันเป็นสิ่งจำเป็นที่จะทำให้สมมติฐานที่รุนแรงต่อไป( A1 ) ฟังก์ชัน wx เป็น unimodal และต่อเนื่องในΘสำหรับทุกๆ x ∈ X( A2 ) ชุด AW ( x ; α X ) เป็นรูปแบบ [ LX ( α X ) ux ( α x ) ] ที่ LX ( α X ) ≤ ux ( α X ) และที่ LX ( α X ) ux ( α x ) เป็นองค์ประกอบของปิดΘ .( A3 ) ถ้า wx เป็นโมโนโทน อะไรϵ > 0 , มีอยู่θ 0 ∈Θเช่นที่ wx ( θ 0 ) < ϵ . ถ้า wx ไม่ได้เป็นโมโนโทน มีθ 1 ∈Θและ θ 2 ∈Θเช่นที่ wx ( θ 1 ) wx ( θ 2 ) < ϵ .มันเป็นสิ่งสำคัญที่จะทราบว่าเราไม่อนุญาตให้ ux LX และอยู่ในขอบเขตของตัวแปรเพื่อให้พื้นที่'one-sided ' ช่วง ' ' สำหรับฟังก์ชันน้ำหนักบางและรับรู้ของ x , mmele มีรูปแบบนี้เพราะมีหลาย−α x น้ำหนักประมาณ 1 ช่วงของรูปแบบ [ LX ( α X ) ux ( α x ) ] , ขั้นตอนแรกของเราคือการค้นหาที่เหมาะสมLX ( α X ) และ ux ( α X ) ที่ลดλ ( ( x ; α X ) ) = ux ( α X ) − LX ( α X ) เพื่อแก้ไขα X และ X . นี้ ช่วงประมาณ ซึ่งเป็นแทนโดย∗W ( x ; α x ) = [ L ∗ X ( α X ) u ∗ X ( α x ) ] พบในรูปแบบ 1 ในสิ่งต่อไปนี้ letwx ( θ ) =( −∞θ ] ( T ) , wx DT . หลักฐานทั้งหมด lemmas และทฤษฎีบทในภาคผนวก