Faltings's theoremFrom Wikipedia, t

Faltings's theorem
From Wikipedia, the free encyclopedia
In number theory, the Mordell conjecture is the conjecture made by Mordell (1922) that a curve of genus greater than 1 over the field Q of rational numbers has only finitely many rational points. In 1983 it was proved by Gerd Faltings (1983, 1984), and is now known as Faltings's theorem. The conjecture was later generalized by replacing Q by any number field.

Contents [hide]
1 Background
2 Proofs
3 Consequences
4 Generalizations
5 References
Background[edit]
Let C be a non-singular algebraic curve of genus g over Q. Then the set of rational points on C may be determined as follows:

Case g = 0: no points or infinitely many; C is handled as a conic section.
Case g = 1: no points, or C is an elliptic curve and its rational points form a finitely generated abelian group (Mordell's Theorem, later generalized to the Mordell–Weil theorem). Moreover Mazur's torsion theorem restricts the structure of the torsion subgroup.
Case g > 1: according to the Mordell conjecture, now Faltings's Theorem, C has only a finite number of rational points.
Proofs[edit]
Faltings's original proof used the known reduction to a case of the Tate conjecture, and a number of tools from algebraic geometry, including the theory of Néron models. A very different proof, based on diophantine approximation, was found by Vojta (1991). A more elementary variant of Vojta's proof was given by Bombieri (1990).

Consequences[edit]
Faltings's 1983 paper had as consequences a number of statements which had previously been conjectured:

The Mordell conjecture that a curve of genus greater than 1 over a number field has only finitely many rational points;
The Shafarevich conjecture that there are only finitely many isomorphism classes of abelian varieties of fixed dimension and fixed polarization degree over a fixed number field with good reduction outside a given finite set of places; and
The Isogeny theorem that abelian varieties with isomorphic Tate modules (as Ql-modules with Galois action) are isogenous.
The reduction of the Mordell conjecture to the Shafarevich conjecture was due to Paršin (1971). A sample application of Faltings's theorem is to a weak form of Fermat's Last Theorem: for any fixed n > 4 there are at most finitely many primitive integer solutions to an + bn = cn, since for such n the curve xn + yn = 1 has genus greater than 1.

Generalizations[edit]
Because of the Mordell–Weil theorem, Faltings's theorem can be reformulated as a statement about the intersection of a curve C with a finitely generated subgroup Γ of an abelian variety A. Generalizing by replacing C by an arbitrary subvariety of A and Γ by an arbitrary finite-rank subgroup of A leads to the Mordell–Lang conjecture, which was proved by Faltings (1991, 1994).

Another higher-dimensional generalization of Faltings's theorem is the Bombieri–Lang conjecture that if X is a pseudo-canonical variety (i.e., a variety of general type) over a number field k, then X(k) is not Zariski dense in X. Even more general conjectures have been put forth by Paul Vojta.

The Mordell conjecture for function fields was proved by Manin (1963) and by Grauert (1965). Coleman (1990) found and fixed a gap in Manin's proof in 1990.

References[edit]
Bombieri, Enrico (1990). "The Mordell conjecture revisited". Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. 17 (4): 615–640. MR 1093712.
Coleman, Robert F. (1990). "Manin's proof of the Mordell conjecture over function fields". L'Enseignement Mathématique. Revue Internationale. IIe Série. 36 (3): 393–427. ISSN 0013-8584. MR 1096426.
Cornell, Gary; Silverman, Joseph H., eds. (1986). Arithmetic geometry. Papers from the conference held at the University of Connecticut, Storrs, Connecticut, July 30--August 10, 1984. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4613-8655-1. ISBN 0-387-96311-1. MR 861969. → Contains an English translation of Faltings (1983)
Faltings, Gerd (1983). "Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern" [Finiteness theorems for abelian varieties over number fields]. Inventiones Mathematicae (in German). 73 (3): 349–366. doi:10.1007/BF01388432. MR 0718935.
Faltings, Gerd (1984). "Erratum: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern". Inventiones Mathematicae (in German). 75 (2): 381. doi:10.1007/BF01388572. MR 0732554.
Faltings, Gerd (1991). "Diophantine approximation on abelian varieties". Ann. of Math. 133 (3): 549–576. doi:10.2307/2944319. MR 1109353.
Faltings, Gerd (1994). "The general case of S. Lang's conjecture". In Cristante, Valentino; Messing, William. Barsotti Symposium in Algebraic Geometry. Papers from the symposium held in Abano Terme, June 24–27, 1991. Perspectives in Mathematics. San Diego, CA: Academic Press, Inc. ISBN 0-12-197270-4. MR 1307396.
Grauert, Hans (1965). "Mordells Vermutung über rationale Punkte auf algebraischen Kurven und Funktionenkörper". Publications Mathématiques de l'IHÉS (25): 131–14

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ทฤษฎีบทของ Faltingsจากวิกิพีเดีย วิกิพีเดียในทฤษฎีจำนวน ข้อความคาดการณ์ Mordell เป็นข้อความคาดการณ์โดย Mordell (1922) ว่า เส้นโค้งของสกุลมากกว่า 1 ผ่านฟิลด์ Q ของเหตุผลหมายเลขมีเพียง finitely เชือดแต้ม ในปี 1983 จะพิสูจน์ได้ โดย Gerd Faltings (1983, 1984), และตอนนี้เรียกว่าทฤษฎีบทของ Faltings ข้อความคาดการณ์การแก้ไขภายหลังทั่วไป โดยการเปลี่ยน Q โดยมีฟิลด์หมายเลขเนื้อหา [ซ่อน] 1 ที่มาหลักฐาน 2ผลกระทบ 3เดิม ๆ 4อ้างอิง 5พื้นหลัง [แก้]ให้ C เป็นเส้นโค้งไม่ใช่เอกพจน์พีชคณิตของสกุล g มากกว่า Q แล้ว ชุดของจุด C มีเหตุผลอาจถูกกำหนดเป็นดังนี้:กรณี g = 0: ไม่มีจุดหรือเพียบหลาย C ถูกจัดการเป็นแบบภาคตัดกรวยกรณี g = 1: ไม่มีจุด หรือ C โค้งผิดรูป และจุดมีเหตุผลแบบกลุ่มอาบีเลียนสร้าง finitely (ของ Mordell ทฤษฎีบท ทั่วไปภายหลังการทฤษฎีบท Mordell – Weil) นอกจากนี้ ทฤษฎีบทแรงบิดของ Mazur จำกัดโครงสร้างของกลุ่มย่อยบิดกรณี g > 1: ตาม Mordell ข้อความคาดการณ์ ตอนนี้ทฤษฎีบทของ Faltings, C มีเพียงจำนวนจำกัดของจุดมีเหตุผลหลักฐาน [แก้]หลักฐานของ Faltings ใช้การรู้จักลดกรณีของข้อความคาดการณ์ศิลป์ และจำนวนของเครื่องมือจากพีชคณิตเรขาคณิต รวมทั้งทฤษฎีของแบบจำลอง Néron หลักฐานแตกต่างกันมาก อิง diophantine ประมาณ โดย Vojta (1991) ตัวแปรเพิ่มเติมระดับประถมศึกษาของหลักฐานของ Vojta ได้รับ โดย Bombieri (1990)[แก้] ผลกระทบของ Faltings 1983 กระดาษมีผลกระทบเป็นจำนวนงบที่ได้ conjectured ก่อนหน้านี้:ข้อความคาดการณ์ Mordell ที่ว่า เส้นโค้งของสกุลมากกว่า 1 ผ่านเขตข้อมูลหมายเลขมีเพียง finitely หลายเหตุผลจุดข้อความคาดการณ์ Shafarevich ที่ว่า มีเพียง finitely คลา isomorphism พันธุ์อาบีเลียนขนาดคงที่และถาวรโพลาไรซ์ระดับผ่านเขตข้อมูลหมายเลขถาวรลดดีนอกชุดจำกัดกำหนดสถาน และทฤษฎีบท Isogeny ที่อาบีเลียนพันธุ์กับ isomorphic Tate โมดู (โม-Ql กระทำ Galois) isogenousการลดลงของข้อความคาดการณ์ Mordell ให้ข้อความคาดการณ์ Shafarevich เนื่องจาก Paršin (1971) ได้ โปรแกรมประยุกต์ตัวอย่างของทฤษฎีบทของ Faltings คือแบบอ่อนของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์: สำหรับใด ๆ ถาวร n > 4 มีมากที่สุด finitely เต็มดั้งเดิมทางการการ + พันล้าน = cn ตั้งแต่เช่น n โค้ง xn + yn = 1 ได้มากกว่า 1 ประเภทเดิม ๆ [แก้]เนื่องจากทฤษฎีบท Mordell – Weil ทฤษฎีบทของ Faltings สามารถมีได้เป็นคำสั่งเกี่ยวกับการแยกของเส้นโค้ง C กับΓสร้าง finitely กลุ่มย่อยที่หลากหลายมีอาบีเลียน A. Generalizing โดยการเปลี่ยน C โดย subvariety การโดยพลการของ A และΓ โดยมีกลุ่มย่อยจำกัด rank โดยพลการของที่นำไปสู่การ Mordell – ทองหลางข้อความคาดการณ์ ซึ่งพิสูจน์ได้ โดย Faltings (1991 , 1994)ลักษณะทั่วไปสูงกว่ามิติอื่นของทฤษฎีบทของ Faltings คือ ข้อความคาดการณ์ Bombieri – ลังที่ว่า ถ้า X มีหลากหลายมาตรฐานหลอก (เช่น ความหลากหลายของชนิดทั่วไป) มากกว่า k หมายเลขฟิลด์ แล้ว X(k) ไม่ Zariski หนาแน่นใน X Conjectures ทั่วไปยิ่งมีการนำออกมา โดยพอล Vojtaข้อความคาดการณ์ Mordell สำหรับเขตข้อมูลฟังก์ชันถูกพิสูจน์ โดยดูเคล (1963) และ Grauert (1965) โคลแมน (1990) พบ และแก้ไขช่องว่างในหลักฐานของลักซ์ในปี 1990[แก้]Bombieri เอนรีโก (1990) "การ Mordell ข้อความคาดการณ์มาเยือน" ปกติ Scuola ann. Sup ปิซาขนาด cl.วิทย์. 17 (4): 615 – 640 นาย 1093712โคลแมน โรเบิร์ตเอฟ (1990) "ของลักซ์พิสูจน์ข้อความคาดการณ์ Mordell เหนือเขตข้อมูลฟังก์ชัน" L'Enseignement Mathématique บริการ Internationale IIe Série 36 (3): 393-427 นอก 0013-8584 นาย 1096426Cornell แกรี่ รับ โจเซฟเอช eds. (1986) รูปทรงเรขาคณิตเลขคณิต เอกสารจากการประชุมณมหาวิทยาลัยของคอนเนคติคัท Storrs คอนเนคติคัท 30 กรกฎาคม - 10 สิงหาคม 1984 นิวยอร์ก: สปริง-Verlag doi:10.1007 / 978-1-4613-8655-1 ISBN 0-387-96311-1 นาย 861969 →ประกอบด้วยแปลเป็นภาษาอังกฤษของ Faltings (1983)Faltings, Gerd (1983) "Endlichkeitssätze ภัณฑ์ abelsche Varietäten über Zahlkörpern" [theorems เขฅจำกัดสำหรับพันธุ์อาบีเลียนผ่านเขตข้อมูลหมายเลข] Inventiones Mathematicae (ในภาษาเยอรมัน) 73 (3): 349-366 doi:10.1007 / BF01388432 นาย 0718935Faltings, Gerd (1984) " Erratum: Endlichkeitssätze ภัณฑ์ abelsche Varietäten über Zahlkörpern " Inventiones Mathematicae (ในภาษาเยอรมัน) 75 (2): 381 doi:10.1007 / BF01388572 นาย 0732554Faltings, Gerd (1991) "Diophantine ประมาณบนอาบีเลียนพันธุ์" Ann. คณิตศาสตร์ 133 (3): 549-576 doi:10.2307 / 2944319 นาย 1109353Faltings, Gerd (1994) "ทั่วไปกรณีของข้อความคาดการณ์ของเอสแลง" ใน Cristante วาเลนติโน มายุ่ง วิลเลียม ประชุมสัมมนา Barsotti ในเรขาคณิตพีชคณิต เอกสารจากการประชุมสัมมนาจัดขึ้นในอบาโน่แตร์เม 24 – 27 มิถุนายน 1991 มุมคณิตศาสตร์ ซานดิเอโก แคลิฟอร์เนีย: วิชาการกด inc ISBN 0-12-197270-4 นาย 1307396Grauert ฮันส์ (1965) "Mordells Vermutung über เหตุผล Punkte เอาฟ์ algebraischen Kurven und Funktionenkörper" สิ่งพิมพ์ Mathématiques de l'IHÉS (25): 131-14

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ทฤษฎีบทของ Faltings
จากวิกิพีเดีย
ในทฤษฎีจำนวนการคาดคะเน Mordell คือการคาดเดาที่ทำโดย Mordell (1922) ที่โค้งของพืชและสัตว์มากกว่า 1 มากกว่าสนาม Q ของตัวเลขที่มีเหตุผลมีเหตุผลเพียงจุดขีดจำนวนมาก ในปี 1983 มันถูกพิสูจน์โดย Gerd Faltings (1983, 1984) และเป็นที่รู้จักในขณะนี้เป็นทฤษฎีบท Faltings ของ การคาดคะเนได้รับการทั่วไปในภายหลังโดยการเปลี่ยน Q โดยสนามหมายเลขใด ๆ .

[ซ่อน]
1 ประวัติความเป็นมา
2 ปรู๊ฟ
3 ผล
4 Generalizations
5 อ้างอิง
พื้นหลัง [แก้ไข]
Let C จะไม่ใช่เอกพจน์พีชคณิตเส้นโค้งของพืชและสัตว์กรัมมากกว่า Q. แล้วตั้งของ จุดที่มีเหตุผลในซีอาจได้รับการพิจารณาดังนี้

กรณี G = 0: ไม่มีจุดหรือหลายอย่างมากมาย; C มีการจัดการเป็นภาคตัดกรวย.
กรณี G = 1: ไม่มีจุดหรือซีเป็นไข่โค้งและจุดที่มีเหตุผลในรูปแบบกลุ่มศาสนาคริสต์สร้างขีด (ทฤษฎีบท Mordell ภายหลังทั่วไปทฤษฎีบท Mordell-Weil) นอกจากนี้ทฤษฎีบทแรงบิดมาซูร์ จำกัด โครงสร้างของกลุ่มย่อยบิดได้.
กรณี G> 1: เป็นไปตามการคาดเดา Mordell ตอนนี้ทฤษฎีบท Faltings ของ C มีเพียงจำนวน จำกัด ของจุดที่มีเหตุผล.
พิสูจน์ [แก้ไข]
Faltings หลักฐานเดิมที่ใช้ลดลงเป็นที่รู้จักกันไป กรณีของการคาดเดาของต่อมลูกหมากและจำนวนของเครื่องมือจากพีชคณิตเรขาคณิตรวมทั้งทฤษฎีของแบบจำลอง Neron หลักฐานที่แตกต่างกันมากขึ้นอยู่กับประมาณ Diophantine ถูกพบโดย Vojta (1991) ตัวแปรประถมศึกษามากขึ้นของการพิสูจน์ Vojta ถูกกำหนดโดย Bombieri (1990).

ผลกระทบ [แก้ไข]
Faltings 1983 กระดาษได้เป็นผลกระทบจำนวนของงบซึ่งเคยถูกคาดคะเน:

Mordell การคาดเดาว่าเส้นโค้งของพืชและสัตว์มากกว่า 1 สนามจำนวน มีจุดที่มีเหตุผลเพียงขีดหลาย
Shafarevich การคาดเดาว่ามีเพียงชั้นเรียนมอร์ฟขอบเขตหลายพันธุ์ศาสนาคริสต์ของมิติคงที่และโพลาไรซ์ระดับคงที่มากกว่าข้อมูลจำนวนคงที่กับการลดลงที่ดีนอกขอบเขตที่กำหนดของสถานที่; และ
Isogeny ทฤษฎีบทที่พันธุ์คริสต์กับโมดูลเทต isomorphic (ตาม QL-โมดูลด้วยการกระทำลัวส์) เป็น isogenous.
การลดลงของการคาดคะเน Mordell ที่จะคาดเดา Shafarevich เป็นเพราะParšin (1971) โปรแกรมประยุกต์ตัวอย่างทฤษฎีบท Faltings คือการเป็นรูปแบบที่อ่อนแอของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา: n สำหรับการแก้ไขใด ๆ > 4 มีที่มากที่สุดขอบเขตหลายโซลูชั่นจำนวนเต็มดั้งเดิมไปยัง + BN = CN ตั้งแต่เช่น n xn โค้ง + yn = 1 มี สกุลมากกว่า 1

Generalizations [แก้ไข]
เพราะทฤษฎีบท Mordell-Weil ทฤษฎีบท Faltings สามารถ reformulated เป็นคำสั่งเกี่ยวกับจุดตัดของเส้นโค้ง C ที่มีกลุ่มย่อยΓสร้างขีดของความหลากหลายคริสต์เอ generalizing โดยเปลี่ยน C โดย subvariety โดยพลการของ A และΓโดยพล จำกัด อันดับกลุ่มย่อยนำไปสู่การคาดคะเน Mordell-แลงซึ่งได้รับการพิสูจน์โดย Faltings (1991, 1994).

อีกทั่วไปสูงขึ้นมิติของทฤษฎีบท Faltings คือการคาดคะเน Bombieri-Lang ว่าถ้า X คือความหลากหลายหลอกที่ยอมรับ (เช่นความหลากหลายของประเภททั่วไป) มากกว่าฟิลด์หมายเลข k แล้ว X (k) ไม่ Zariski หนาในเอ็กซ์แม้คาดเดาทั่วไปมากขึ้นได้รับการวางไว้โดยพอล Vojta.

Mordell คาดเดาสำหรับ สนามฟังก์ชันได้รับการพิสูจน์โดย Manin (1963) และ Grauert (1965) โคลแมน (1990) พบและคงช่องว่างในการพิสูจน์ Manin ของในปี 1990

อ้างอิง [แก้ไข]
Bombieri, Enrico (1990) "การคาดเดา Mordell มาเยือน" แอน Scuola นอร์ม จีบ. ปิซา Cl วิทย์ 17 (4): 615-640 MR 1093712.
โคลแมน, โรเบิร์ตเอฟ (1990) "พิสูจน์ Manin ของ Mordell คาดเดามากกว่าเขตฟังก์ชั่น" L'Enseignement mathématique ชุดคอมมิวนิสต์ IIe Série 36 (3): 393-427 ISSN 0013-8584 MR 1096426.
คอร์เนลแกรี่; Silverman, โจเซฟเอชชั้นเลิศ (1986) เรขาคณิตเลขคณิต เอกสารจากการประชุมที่จัดขึ้นที่มหาวิทยาลัยคอนเนตทิคัสตอร์ต 30 กรกฎาคม - 10 สิงหาคม 1984 นิวยอร์ก: Springer-Verlag ดอย: 10.1007 / 978-1-4613-8655-1 ISBN 0-387-96311-1 MR 861969. →ประกอบด้วยแปลภาษาอังกฤษของ Faltings (1983)
Faltings เกอร์ (1983) "Endlichkeitssätzefür Abelsche VarietätenüberZahlkörpern" [ทฤษฎีบทฅ จำกัด สำหรับพันธุ์ abelian เหนือฟิลด์จำนวน] Inventiones Mathematicae (เยอรมัน) 73 (3): 349-366 ดอย: 10.1007 / BF01388432 MR 0718935.
Faltings เกอร์ (1984) "erratum: Endlichkeitssätzefür Abelsche VarietätenüberZahlkörpern" Inventiones Mathematicae (เยอรมัน) 75 (2): 381 ดอย: 10.1007 / BF01388572 MR 0732554.
Faltings เกอร์ (1991) "ประมาณ Diophantine พันธุ์คริสต์" แอน คณิตศาสตร์ 133 (3): 549-576 ดอย: 10.2307 / 2,944,319 MR 1109353.
Faltings เกอร์ (1994) "กรณีทั่วไปของการคาดเดาเอสแลงโก้" ใน Cristante วาเลนติโน่; ยุ่งวิลเลียม Barsotti Symposium ในพีชคณิตเรขาคณิต เอกสารจากการประชุมสัมมนาที่จัดขึ้นในแตร์เม, 24-27 มิถุนายน 1991 มุมมองในวิชาคณิตศาสตร์ ซานดิเอโก, แคลิฟอร์เนีย: นักวิชาการสื่อมวลชน, Inc ISBN 0-12-197270-4 MR 1307396.
Grauert ฮันส์ (1965) "Mordells Vermutung überเหตุผล Punkte auf algebraischen Kurven คาดไม่ถึงFunktionenkörper" สิ่งพิมพ์Mathématiques de l'IHES (25): 131-14

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ทฤษฎีบทของ faltingsจากวิกิพีเดีย , สารานุกรมฟรีในทฤษฎีจำนวน , mordell การคาดเดาคือการคาดเดาโดย mordell ( 1922 ) ที่โค้งของพืชมากกว่า 1 ข้ามทุ่ง Q ของจำนวนตรรกยะมีเพียงเหตุผลหลังหลายจุด ในปี 1983 มันพิสูจน์โดยเกอร์ด faltings ( 1983 , 1984 ) และเป็นที่รู้จักกันในขณะนี้เป็น faltings ทฤษฎีบทของ การคาดเดาภายหลังทั่วไปโดยแทน Q โดยหมายเลขฟิลด์เนื้อหา [ ซ่อน ]1 พื้นหลัง2 หลักฐาน3 ผล4 ทั่วไป5 อ้างอิงพื้นหลัง [ แก้ไข ]ให้ C เป็นพีชคณิตโค้งไม่เอกพจน์สกุล G กว่าคิวแล้วชุดของจุดที่มีเหตุผลใน C อาจจะกำหนดดังนี้กรณี g = 0 : ไม่มีคะแนน หรือ จำนวน ; C จะถูกจัดการเป็นส่วนที่เป็นรูปทรงกรวย .กรณี G = 1 : ไม่มีคะแนน หรือ C เป็นเส้นโค้งเชิงวงรีและจุดตามรูปแบบการสร้างการนำอาบีเลียนกรุป ( ทฤษฎีบท mordell กันทั่วไป , การ mordell วีล ( ทฤษฎีบท ) นอกจากนี้ Mazur คือแรงบิดทฤษฎีบทจำกัด โครงสร้างของการบิดกลุ่มย่อยกรณี g > 1 : ตามไป mordell เดา ตอนนี้ faltings ทฤษฎีบทของ C มีเพียงจำนวนจำกัดของจุดที่มีเหตุผลปรู๊ฟ [ แก้ไข ]faltings ดั้งเดิมพิสูจน์ใช้จักลดคดีของเทท การคาดเดา และหมายเลขของเครื่องมือมาจากพีชคณิตเรขาคณิต รวมทั้งทฤษฎี n éรอนรุ่น พิสูจน์ที่แตกต่างกันมาก ขึ้นอยู่กับไดโอแฟนไทน์ประมาณพบโวจต้า ( 1991 ) ตัวแปรระดับเพิ่มเติมของโวจต้าพิสูจน์ให้โดย bombieri ( 1990 )ผลที่ตามมา [ แก้ไข ]faltings ของ 1983 กระดาษมีผลจำนวนของข้อความที่ได้รับก่อนหน้านี้ conjectured :การ mordell การโค้งของพืชมากกว่า 1 มาหลายสนามมีเพียงเหตุผลหลังหลายจุดการ shafarevich คาดเดาว่ามีเพียงการนำหลายก้อนเรียนพันธุ์อาบีเลียนคงที่และระดับโพลาไรเซชันคงข้ามมิติกำหนดหมายเลขฟิลด์กับดีลดนอกให้เซตจำกัดของสถานที่ และการ isogeny ทฤษฎีบทที่พันธุ์ของศาสนาคริสต์กับโมดูลพวกเราเทท ( เป็นโมดูลได้เข้าร่วมกับกาลัว Action ) เป็น isogenous .การลดลงของ mordell เดาไปเดา shafarevich เนื่องจากพาร์š ( 1971 ) ตัวอย่างการประยุกต์ทฤษฎีบท faltings เป็นรูปแบบอ่อนของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ : สำหรับการใด ๆแก้ไข N > 4 มีหลายโซลูชั่น จำกัด ที่ส่วนใหญ่ดั้งเดิมจำนวนเต็มเป็น + 10 = CN ตั้งแต่เช่น N โค้งซิน + ใน = 1 มีพืชมากกว่า 1ทั่วไป [ แก้ไข ]เพราะ mordell ทฤษฎีบททฤษฎีบท ( Weil , faltings สามารถเงื่อนไขเป็นแถลงการณ์เรื่องจุดตัดของเส้นโค้ง C ด้วยการนำสร้างกลุ่มย่อยΓของศาสนาคริสต์วาไรตี้ . Generalizing โดยเปลี่ยน C โดย subvariety โดยพลการของและΓโดยพลจำกัดอันดับย่อยของนำไปสู่ mordell –ลางการคาดเดา ซึ่ง ถูกพิสูจน์โดย faltings ( 1991 , 1994 )นัยทั่วไปของทฤษฎีบท faltings มิติอื่นที่สูงขึ้นเป็น bombieri –ลางการคาดเดาว่าถ้า x เป็นปลอมแบบหลากหลาย ( เช่น ความหลากหลายของประเภททั่วไป ) มาหลายสนาม เค แล้ว x ( K ) ไม่ zariski หนาแน่นใน X . แม้แต่ทั่วไปมากขึ้นคาดเดาได้วางไว้โดย พอล โวจต้า .การคาดเดา mordell สำหรับ สนามฟังก์ชันพิมานิน ( 1963 ) และโดย grauert ( 1965 ) โคลแมน ( 1990 ) พบ และแก้ไขช่องว่างในการพิสูจน์มานินใน 1990[ แก้ไข ] อ้างอิงbombieri เอนริโก้ ( 1990 ) การ mordell คาดเดา Revisited " แอน scuola บรรทัดฐาน sup . ปิซา CL . Sci . 17 ( 4 ) : 615 – 640 . นาย 1093712 .โคลแมน , Robert F . ( 2533 ) . มานินหลักฐานของ mordell คาดเดาไปฟิลด์ " ฟังก์ชัน l"enseignement matique คณิตศาสตร์ใหม่ ชุดความเป็นสากล . โกหก s éริเอะ 36 ( 3 ) : 393 ( 427 . ชื่อ 0013-8584 . นาย 1096426 .คอร์เนลล์ แกรี่ ; ซิลเวอร์แมน โจเซฟเอช. แผนที่ ( 2529 ) เลขคณิตเรขาคณิต เอกสารจากการประชุมที่จัดขึ้นที่มหาวิทยาลัย Connecticut , สตอร์ส , Connecticut , เมื่อวันที่ 30 กรกฎาคม - 10 สิงหาคม 2527 นิวยอร์ก : Springer Verlag ดอย : 10.1007/978-1-4613-8655-1 . ISBN 0-387-96311-1 . นาย 861969 . → keyboard - key - name มีภาษาอังกฤษแปล faltings ( 1983 )faltings เกอร์ด ( 1983 ) endlichkeitss Tze f ü r และ abelsche variet สิบü ber และ zahlk ö rpern " [ การเล่นทฤษฎีบทสำหรับศาสนาคริสต์ พันธุ์เหนือฟิลด์หมายเลข ] inventiones mathematicae ( ในภาษาเยอรมัน ) 73 ( 3 ) : 353 – 366 คน ดอย : 10.1007/bf01388432 . นาย 0718935 .faltings เกอร์ด ( 1984 ) ความผิดพลาดในการพิมพ์ : endlichkeitss Tze f ü r และ abelsche variet สิบü ber และ zahlk ö rpern " inventiones mathematicae ( ในภาษาเยอรมัน ) 75 ( 2 ) : 381 . ดอย : 10.1007/bf01388572 . นาย 0732554 .faltings เกอร์ด ( 1991 ) ไดโอแฟนไทน์ประมาณในศาสนาคริสต์ พันธุ์ " แอน ของคณิตศาสตร์ 133 ( 3 ) : 549 ( 576 . ดอย : 10.2307/2944319 . นาย 1109353 .faltings เกอร์ด ( 1994 ) กรณีทั่วไปของ S . ลางการคาดเดา " ใน cristante , Valentino ; วุ่นวาย , วิลเลี่ยม barsotti นานาทัศนะในเรขาคณิตพีชคณิต เอกสารจากการประชุมสัมมนาที่จัดขึ้นใน abano Terme , มิถุนายน 24 – 27 , 2534 มุมมองในทางคณิตศาสตร์ San Diego , CA : กดวิชาการ , Inc . ISBN 0-12-197270-4 . นาย 1307396 .grauert ฮานส์ ( 1965 ) mordells vermutung ü ber เหตุผลคะแนนสะสมใน algebraischen kurven และ funktionenk ö rper " สิ่งพิมพ์คณิตศาสตร์และ matiques de l"ih É S ( 25 ) : 131 – 14