Fuchs’ TheoremFollowing Taylor’s In

Fuchs’ Theorem
Following Taylor’s Introduction to Differential Equations.
Theorem 1. Suppose the series v(x) = P∞
k=0 vkx
k
solves the n-dimensional
system v
0
(x) = A(x)v(x) + g(x), where A(x) and g(x) are given by power
series A(x) = P∞
k=0 Akx
k and g(x) = P∞
k=0 gkx
k
that converge at radius R
for some R > 0. Then the series v(x) converges for any x with |x| < R.
Proof. Below ||M|| where M is a matrix or a vector means “the largest
absolute value of an entry of M”.
The convergence of the series for A and for g implies that there are constants α and γ
such that
||Ak|| < αR−k
and ||gk|| < γR−k
.
We wish to show that whenever r < R, there is a constant η such that
(1) ||vj
|| < ηr−j
.
This we shall do by the method of “induction with an undetermined hypothesis”. Namely,
we assume that for some k Equation (1) holds for all j ≤ k, without specifying η. We then
prove that (1) is true for j = k + 1 and see what conditions this may put on η. We keep
track of these conditions, and at the end of the proof we verify that we could have satisfied
them at the start of the proof.
The equation v
0 = g + Av implies that (k + 1)vk+1 = gk +
Pk
j=0 Ak−jvj
. Therefore
(k + 1)||vk+1|| ≤ ||gk|| +
X
k
j=0
||Ak−jvj
|| ≤ ||gk|| + n
X
k
j=0
||Ak−j
|| · ||vj
||
< γR−k + n
X
k
j=0
αRj−k
· ηr−j = γR−k + nαηr−kX
k
j=0
 r
R
k−j
.
The last sum is a geometric sum with ratio smaller than 1. Hence its value is bounded by
some fixed constant β. Hence
(k + 1)||vk+1|| < γR−k + αηnβr−k < r−k
(γ + αηnβ),
and thus, assuming η ≥ γ,
||vk+1|| < r−(k+1) r(γ + αηnβ)
k + 1
≤ ηr−(k+1) r(1 + αnβ)
k + 1
.
Now for large enough k, say for k > K, the ugly fraction in the last formula will be smaller
than 1, and we will have proven Equation (1) for j = k + 1. We still need to make sure that
Equation 1 holds for j ≤ K. But this places only finitely many conditions on η, so we just
need to pick η so that
η > max
γ, rj
||vj
||

j≤K
.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ทฤษฎีบทของฟุคส์แนะนำต่อไปนี้เทย์เลอร์กับสมการเชิงอนุพันธ์ทฤษฎีบทที่ 1 สมมติว่า v(x) ชุด = P∞k = 0 vkxkแก้ใน n มิติv ระบบ0(x) = A(x)v(x) + g(x) ที่ A(x) และ g(x) ได้ใจชุด A(x) = P∞k = 0 Akxk และ g(x) = P∞k = 0 gkxkที่มาบรรจบกันที่รัศมี Rสำหรับบาง R > 0 แล้ว v(x) ชุด converges สำหรับ x ใด ๆ |x| < อาร์หลักฐานการ ด้านล่าง || M|| โดยที่ M คือ เวกเตอร์หรือเมตริกซ์หมายถึง "ใหญ่ที่สุดค่าสัมบูรณ์ของรายการของ M"การบรรจบกันของชุด A และ g หมายถึงว่า มีค่าคงที่ด้วยกองทัพและγเช่นว่า|| Ak|| < αR−kและ || gk|| < γR−k.เราต้องการแสดงว่าเมื่อ r < R มีηคงที่(1) || vj|| < ηr−j.นี้เราจะทำ โดยวิธีการ "การเหนี่ยวนำด้วยสมมติฐานที่ถูกระบุ" คือเราคิดว่า สำหรับบาง k สมการ (1) เก็บสำหรับทั้งหมด j ≤ k ไม่ระบุη เราแล้วพิสูจน์ว่า (1) เป็นจริงสำหรับ j = k + 1 และดูเงื่อนไขนี้อาจใส่η เราเก็บติดตามเงื่อนไขเหล่านี้ และ ที่สุดของหลักฐานที่เราตรวจสอบว่า เราสามารถมีความพึงพอใจไปที่จุดเริ่มต้นของการพิสูจน์สมการ v0 = g + Av หมายถึงการที่ (k + 1) vk + 1 = gk +พีเคj = 0 Ak−jvj. ดังนั้น(k + 1) || vk + 1|| ≤ || gk|| +Xkj = 0|| Ak−jvj|| ≤ || gk|| + nXkj = 0|| Ak−j|| · || vj||< γR−k + nXkj = 0ΑRj−k· Ηr−j = γR−k + nαηr−kXkj = 0rRk−j.ผลรวมสุดท้ายคือ ผลรวมรูปทรงเรขาคณิต ด้วยอัตราส่วนที่น้อยกว่า 1 ดังนั้น ค่าของล้อมรอบด้วยบางคงคงβดังนั้น(k + 1) || vk + 1|| < γR−k + αηnβr−k < r−k(Γ + αηnβ),ดังนั้น สมมติว่าη≥ γ และ|| vk + 1|| < r−(k+1) r (γ + αηnβ)k + 1≤ ηr−(k+1) r (1 + αnβ)k + 1.ตอนนี้ สำหรับ k พอ พูดสำหรับ k > K เศษน่าเกลียดในสูตรสุดท้ายจะมีขนาดเล็กกว่า 1 และเราจะได้พิสูจน์สมการ (1) สำหรับ j = k + 1 นอกจากนี้เรายังจำเป็นต้องแน่ใจว่าสมการ 1 เก็บสำหรับ≤เจเค แต่นี้ทำเงื่อนไขเฉพาะ finitely บนη ดังนั้นเราเพียงแค่ต้องเลือกηนั้นΗ > สูงสุดΓ rj|| vj||
j≤K.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

Fuchs
'ทฤษฎีบทต่อไปนี้เทย์เลอร์รู้เบื้องต้นเกี่ยวกับDifferential สม.
ทฤษฎีบท 1. สมมติว่าวีซีรีส์ (x) = P∞
k = 0 vkx
k
แก้ n
มิติระบบโวลต์
0
(x) = A (x) โวลต์ (x) + g (x) ที่ A (x) และ g (x)
จะได้รับจากการใช้พลังงานชุดA (x) = P∞
k = 0 Akx
k และ g (x) = P∞
k = 0 gkx
k
ที่มาบรรจบกันที่รัศมี R
สำหรับ บาง R> 0 แล้วโวลต์ซีรีส์ (x) ลู่สำหรับ x กับ | x |
<อาร์หลักฐาน ด้านล่าง || M || ที่ M เป็นเมทริกซ์หรือเวกเตอร์หมายถึง
"ที่ใหญ่ที่สุดค่าสัมบูรณ์ของรายการเอ็ม."
การรวมของซีรีส์ของ A และก.
แสดงให้เห็นว่ามีค่าคงที่แอลฟาและγดังกล่าวที่
|| || Ak <αR-k
และ gk || ||
<γR-k.
เราต้องการที่จะแสดงให้เห็นว่าเมื่อใดก็ตามที่อาร์ <R มีηอย่างต่อเนื่องเช่นที่
(1) || vj
||
<ηr-ญ.
นี้เราจะทำตามวิธีของ "การเหนี่ยวนำด้วยสมมติฐานบึกบึน" คือเราคิดว่าสำหรับบาง k สมการ (1) ถือหุ้นทั้งหมดที่ j ≤ k โดยไม่ต้องระบุη
จากนั้นเราจะพิสูจน์ให้เห็นว่า (1) เป็นจริงสำหรับเจ = k + 1 และดูว่าเงื่อนไขนี้อาจวางบนη เราให้ติดตามของเงื่อนไขเหล่านี้และในตอนท้ายของการพิสูจน์ที่เราตรวจสอบว่าเราจะมีความพึงพอใจกับพวกเขาในช่วงเริ่มต้นของการพิสูจน์. the สมโว0 = กรัม + Av หมายความว่า (k + 1) VK + 1 = gk + Pk ญ = 0 Ak-JVJ ดังนั้น(k + 1) || VK + 1 || ≤ || || gk + X k ญ = 0 || Ak-JVJ || ≤ || || gk + n X k ญ = 0 || Ak-เจ|| · vj || || <γR-k + n X k ญ = 0 αRj-k ·ηr-J = γR-k + nαηr KX-k ญ = 0? อาR? k-ญ. ผลรวมสุดท้ายคือผลรวมรูปทรงเรขาคณิตที่มีขนาดเล็กกว่าอัตราส่วน 1 ดังนั้นค่าของมันก็มีขอบเขตโดยบางβคงที่คงที่ ดังนั้น(k + 1) || VK + 1 || <γR-k + αηnβr-k <R-k (γ + αηnβ) และทำให้สมมติγ≥η, || VK + 1 || <r- (k + 1) อาร์ (γ + αηnβ) k + 1 ≤ηr- (k + 1) อาร์ (1 + αnβ) k + 1. ตอนนี้สำหรับ k ขนาดใหญ่พอพูด k> K, ส่วนที่น่าเกลียด ในสูตรที่ผ่านมาจะมีขนาดเล็กกว่า1, และเราจะได้รับการพิสูจน์สมการ (1) สำหรับเจ = k + 1 เรายังคงต้องให้แน่ใจว่าสมการที่1 ถือสำหรับเจ≤เค แต่สถานที่นี้เท่านั้นเงื่อนไขหลายขีดบนη ดังนั้นเราก็ต้องเลือกเพื่อให้ηη> สูงสุดγ, RJ || vj ||? j≤K

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์ ฟุคส์ '
ต่อไปนี้สมการเชิงอนุพันธ์ .
ทฤษฎีบท 1 สมมติว่า ชุด V ( x ) = P ∞
k = 0 vkx
k
แก้ระบบ V
0
n-dimensional
( X ) = ( x ) V ( x ) g ( x ) โดยที่ ( x ) และ g ( x ) จะได้รับอำนาจ
ชุด ( X ) = P ∞
k = 0 akx
K และ g ( x ) = P ∞
k = 0 gkx
k
ที่บรรจบที่รัศมี R
บ้าง r > 0 แล้วชุด V ( x ) - สำหรับการใด ๆ x กับ | x | < R .
พิสูจน์ด้านล่าง | | M | | โดยที่ M คือเมทริกซ์หรือเวกเตอร์หมายถึง " ที่ใหญ่ที่สุด
แน่นอนค่าของรายการ M "
การลู่เข้าของอนุกรมและ G แสดงว่ามีค่าคงที่αγ

และที่ | | AK | | < α R − K
| และ | GK | | < γ R − K
.
เราต้องการแสดงให้เห็นว่าเมื่อใดก็ตามที่ R < R มีηคงที่เช่น
( 1 ) | | วีเจ
| | < η R −
J
นี้เราก็จะทำโดยวิธี " การมีสมมติฐาน " บึกบึน . คือ เราคิดว่า สำหรับบาง K
สมการ ( 1 ) ถือหุ้นทั้งหมด≤ J K โดยไม่ต้องระบุη . จากนั้นเรา
พิสูจน์ ( 1 ) เป็นจริงสำหรับ J = K 1 และเห็นสิ่งที่เงื่อนไขนี้อาจใส่η . เราเก็บไว้
ติดตามเงื่อนไขเหล่านี้ และในตอนท้ายของหลักฐานที่เราได้พิสูจน์ว่าเราน่าจะพอใจ
พวกเขาที่เริ่มต้นของหลักฐาน
สมการ v
0 = G ( K ( 1 ) AV แสดงถึงว่า VK 1 = GK

j = 0 และ− PK jvj

ดังนั้น
( K ( 1 ) | | VK 1 | | ≤ | | GK | |
x
k
j = 0 =
| | AK − jvj
| | ≤ | | GK | | n
x
k
j = 0 =
| | AK − J
| | ด้วย
| | วีเจ | |
< γ R − K N
x
k
j = 0 =
α RJ − K
ด้วยη R − J = γ R − K N αη R − KX
k
j = 0 =
 R
R
 K − J
.
ผลรวมสุดท้ายคือผลรวมทางเรขาคณิต ด้วยอัตราส่วนขนาดเล็กกว่า 1 ดังนั้นค่าของถูกล้อมรอบโดย
บางคงที่คงที่บีตา . ดังนั้น
( K ( 1 ) | | VK 1 | | < γ R −− n k αηบีตา R K < R − K
( γαη N บีตา )
ดังนั้น สมมติว่าη≥γ
| , | VK 1 | | < R ( K ( − 1 ) r ( n
γαηบีตา ) K 1
≤η R ( K ( − 1 ) R ( , 1 α N บีตา K )
1
.
ตอนนี้ค่า K ที่มากพอ ว่า K > K ส่วนที่น่าเกลียดในสูตรสุดท้ายจะมีขนาดเล็กกว่า 1
, และเราต้องพิสูจน์สมการ ( 1 ) J = k 1 . เรายังต้องให้แน่ใจว่า
สมการ 1 ถือสำหรับ J ≤ Kแต่สถานที่นี้เท่านั้น หลังหลายเงื่อนไขในη ดังนั้นเราก็ต้องเลือกηแล้ว

η > แม็กซ์
γ อาร์เจ
| | วีเจ
| |

J ≤ K