Theorem 3. Let A = (Aij) be a nonze

Theorem 3. Let A = (Aij) be a nonzero mp × nq matrix, partitioned into blocks of order p × q.
There exist matrices B (of order m × n) and C (of order p × q) such that A = B ⊗ C if and only if
rank(vec(p×q)(A)) = 1.
Proof. If A = B ⊗ C is a factorization of the stated form, then B,C, vec(B), and vec(C) must all be
nonzero. Lemma 2 ensures that
rank(vec(p×q)(A)) = rank(vec(p×q)(B ⊗ C)) = rank(vec(B)vec(C)⊤) = 1.
Conversely, since A 6= 0, there are indices r and s such that Ars 6= 0 and hence vec(Ars) 6= 0. Since
rank(vec(p×q)(A)) = 1, each row of vec(p×q)(A) is a scalar multiple of any nonzero row. Thus, there
are scalars bij such that each vec(Aij ) = bij vec(Ars). This means that A = B ⊗C, in which B = (bij)
and C = Ars. 
Notice that the preceding proof provides a simple construction for a pair of Kronecker factors for
A if rank(vec(p×q)(A)) = 1

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ทฤษฎีบท 3. ให้ = (Aij) เป็น MP ภัณฑ์×เมทริกซ์ NQ แบ่งพาร์ติชันลงในบล็อกของ p สั่ง×คิว.
มีเมทริกซ์ B อยู่ (จากคำสั่งม. × n) และ C (จาก p สั่ง×ด) เช่นที่ = ⊗ B C และถ้าหาก
การจัดอันดับ (vec (P ×ด) (A)) = 1.
หลักฐาน ถ้า = B ⊗ซีเป็นตัวประกอบในรูปแบบที่ระบุไว้แล้ว B, C, vec (B) และ vec (C) ทั้งหมดจะต้องมี
ค่าที่ไม่ใช่ศูนย์ บทแทรก 2 เพื่อให้แน่ใจว่า
การจัดอันดับ (vec (P ×ด) (A)) = ยศ (vec (P ×ด) (B ⊗ C)) = ยศ (vec (B) vec (C) ⊤) = 1.
ตรงกันข้ามตั้งแต่ 6 = 0 มีดัชนีมี r และ S ดังกล่าวว่า Ars 6 = 0 และด้วยเหตุนี้ vec (ARS) 6 = 0 ตั้งแต่
ยศ (vec (P ×ด) (A)) = 1 แต่ละแถวของ vec (P × Q) () เป็นหลายสเกลาร์ของแถวภัณฑ์ใด ๆ ดังนั้นจึงมี
เป็นสเกลาสนามดังกล่าวว่าแต่ละ vec (Aij) = ยกเลิก vec (ARS) ซึ่งหมายความว่า = B ⊗Cซึ่งใน B = (ยกเลิก)
และ C = Ars ?
ขอให้สังเกตว่าหลักฐานก่อนหน้านี้มีการก่อสร้างที่ง่ายสำหรับคู่ของปัจจัย Kronecker สำหรับ
ถ้ายศ (vec (P ×ด) (A)) = 1

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ทฤษฎีบท 3 . ให้ A = ( aij ) เป็น 0 MP × NQ Matrix แบ่งเป็นบล็อกของใบสั่งซื้อ P × Q .
มีเมทริกซ์ B ( คำสั่ง m × n ) และ C ( คำสั่ง p × q ) เช่น a = b ⊗ C ถ้าและเพียงถ้า
อันดับ ( อีซี ( P × Q ) ) ) = 1 .
พิสูจน์ ถ้า A = B ⊗ C คือการแยกตัวประกอบของระบุแบบฟอร์มแล้ว B , C , โลกร้อน , โลกร้อน ( b ) และ ( c ) คงจะ
0 . บทแทรก 2 ยืนยันว่า
ตำแหน่ง ( อีซี ( P × Q ) ( ) = ดับโลกร้อน ( P × q ) b ⊗ c ) ) = ดับโลกร้อนโลกร้อน ( B ) ( C ) ⊤ ) = 1 .
ในทางกลับกันตั้งแต่ 6 = 0 มีดัชนี R และ S ที่ 6 = 0 คัน และด้วยเหตุนี้โลกร้อน ( ARS ) 6 = 0 ตั้งแต่
อันดับ ( อีซี ( P × Q ) ( ) = 1 , แต่ละแถวของอีซี ( P × Q ) ( ) เป็นสเกลาร์หลาย ๆศูนย์แถว ดังนั้นจึงเป็น scalars ใกล้กับ
เช่นที่แต่ละกอ ( aij ) = ใกล้กับ วีอีซี ( ARS ) ซึ่งหมายความว่า = b ⊗ C ซึ่งใน B = ( ใกล้กับ )
C = มานานกว่า 10 ปี 
สังเกตว่า ก่อนหน้านี้มีการสร้างหลักฐานได้ง่าย สำหรับคู่ของ kronecker ปัจจัย
ถ้าตำแหน่ง ( อีซี ( P × Q ) ( a ) ) = 1