Exploring the Power of Relational T

Exploring the Power of Relational Thinking: Students’ Emerging Algebraic
Thinking in the Elementary and Middle School
Max Stephens
The University of Melbourne
[e-mail]
Masami Isoda
Tsukuba University, Japan
[e-mail]
Maitree Inprasitha
Khon Kaen University, Thailand
[e-mail]
Abstract
There is a strong case for arguing that the application of relational thinking to solve number sentences embodies
features of mathematical thinking that are centrally important to algebra. This study investigates how well students
in Years 5, 6 and 7 in three countries were able to use relational thinking to solve different types of number
sentences. Were there other students who appeared to rely solely on computational method to solve the same
number sentences? The study then examined whether those who had shown clear evidence of relational strategies
to solve the number sentences were better placed to solve symbolic sentences.
Keywords: algebra, relational thinking, number and symbolic sentences.
Relational thinking
In their study, The algebraic nature of students’ numerical manipulation in the New Zealand Numeracy
Project, Irwin and Britt (2005) argue that the methods of compensating and equivalence that some
students use in solving number sentences may provide a foundation for algebraic thinking (p. 169).
These authors give as an example the number sentence 47 + 25 which can be transformed into 50 + 22
by ‘adding 3’ to 47 and subtracting 3’ from 25. They claim “that when students apply this strategy to
sensibly solve different numerical problems they disclose an … understanding of the relationships of the
numbers involved. They show, without recourse to literal symbols, that the strategy is generalisable” (p.
171). Several authors, including Stephens (2006) and Carpenter and Franke (2001), refer to the thinking
underpinning this kind of strategy as relational thinking.
Solving number sentences successfully using relational thinking certainly calls on a deep understanding
of equivalence. Students need to know the direction in which compensation has to be carried out in
order to maintain equivalence (Stephens, 2006). Some children who correctly transform number
sentences involving addition reason incorrectly that a number sentence such as 87 – 48 can be
transformed to be equivalent to 90 – 45. These children do not understand the direction in which
compensation must take place when using subtraction or difference. These students fail to recognise
that the relationship of difference is fundamentally different to addition. Other children, however,
recognise this feature explaining that “in order for the difference to remain the same, the same number
has to be added to each number in the expression. These children write correctly 87 – 48 = 89 – 50. The
first part of this study was designed to probe children’s thinking with number sentences
The Study
Design of tasks, scoring procedures and results of the questionnaire
Three groups of number tasks shown in Figure 1 were given to students in Years 5, 6, and 7 using a
pencil-and-paper questionnaire administered in regular class time. In introducing the questionnaire,
classroom teachers told students that:
“This is not a test. It is a questionnaire prepared by researchers … looking at how students
read interpret and understand number sentences. For most of the questions there is more than
one way of giving a correct answer. Please write your thinking as clearly as you can in the
space provided after each question and don’t feel that you have to write a lot.”
The questionnaire and the teacher’s introduction were translated into Japanese and Thai. Each group of
problems was introduced with the words: “Write a number in each of the boxes to make a true statement.
Explain your working

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

พลังของความคิดเชิงสำรวจ: นักเรียนใหม่พีชคณิตการคิดในโรงเรียนระดับประถมศึกษา และกลางสตีเฟ่นส์สูงสุดมหาวิทยาลัยเมลเบิร์น [e-mail] มาซามิมหาวิทยาลัยอวกาศสึกุบะ ญี่ปุ่น[e-mail] Inprasithaมหาวิทยาลัยขอนแก่น ไทย[e-mail]บทคัดย่อกรณีแรงการโต้เถียงที่ใช้ความคิดเชิงแก้ประโยคเลขก็ มีลักษณะของคณิตศาสตร์ความคิดที่มีความสำคัญกลางพีชคณิต การศึกษานี้ตรวจสอบนักเรียนอย่างไรดีในปีที่ 5, 6 และ 7 ใน 3 ประเทศสามารถใช้ความคิดเชิงแก้แตกต่างกันของจำนวนประโยค ได้มีนักเรียนคนอื่น ๆ ที่ปรากฏให้ใช้วิธีคำนวณแก้ไขเหมือนกันหมายเลขประโยค การศึกษาที่ตรวจสอบแล้ว ว่าผู้ที่มีแสดงยกเลิกหลักฐานเชิงกลยุทธ์แก้ประโยคเลขได้ดีกว่าวางแก้ประโยคสัญลักษณ์คำสำคัญ: พีชคณิต คิดเชิง จำนวน และประโยคสัญลักษณ์ความคิดเชิงในการศึกษา ลักษณะของการจัดการแสดงของนักเรียนในการนิวซีแลนด์พีชคณิตโครงการ เชอร์ และ Britt (2005) โต้เถียงที่วิธีการชดเชยและเทียบเท่านั้นบางนักเรียนใช้ในการแก้เลขประโยคอาจให้รากฐานสำหรับคิดพีชคณิต (p. 169)ผู้เขียนเหล่านี้ให้เป็นตัวอย่างประโยคหมายเลข 47 + 25 ซึ่งสามารถเปลี่ยนเป็น 50 + 22'เพิ่ม 3' 47 และลบ 3' จาก 25 พวกเขาอ้าง "ที่เมื่อนักเรียนใช้กลยุทธ์นี้เพื่อเลยแก้ปัญหาตัวเลขต่าง ๆ ที่พวกเขาเปิดเผยการ...การทำความเข้าใจความสัมพันธ์ของการหมายเลขที่เกี่ยวข้อง พวกเขาแสดง โดยไม่มีเบี้ยอักษรสัญลักษณ์ ว่ากลยุทธ์ generalisable" (p171) การเขียนหลาย รวมทั้งสตีเฟ่นส์ (2006) และช่างไม้ Franke (2001), หมายถึงการคิดunderpinning กลยุทธ์ชนิดนี้เป็นความคิดเชิงแก้ประโยคหมายเลขที่เรียกสำเร็จโดยใช้ความคิดเชิงแน่นอนบนความเข้าใจที่ลึกของเทียบเท่านั้น นักเรียนต้องรู้ทิศทางค่าตอบแทนซึ่งได้ดำเนินการในสั่งการรักษาเทียบเท่า (สตีเฟ่นส์ 2006) เด็กบางคนถูกแปลงหมายเลขประโยคที่เกี่ยวข้องกับเหตุผลนี้ไม่ถูกต้องที่ประโยคเช่น 87 – 48 หมายเลขได้แปลงจะเท่ากับ 90-45 เด็กไม่เข้าใจทิศทางในการค่าตอบแทนต้องเกิดขึ้นเมื่อใช้ลบหรือความแตกต่าง นักเรียนไม่รู้ว่า ความสัมพันธ์ของความแตกต่างเป็นความแตกต่างกันนี้ เด็กอื่น ๆ อย่างไรก็ตามรู้ลักษณะนี้อธิบายที่ "ในใบสั่งสำหรับความแตกต่างให้เหมือนเดิม หมายเลขเดียวกันต้องเพิ่มแต่ละหมายเลขในนิพจน์ได้ เด็กเหล่านี้ถูกเขียน 87 – 48 = 89-50 ที่ส่วนแรกของการศึกษานี้ถูกออกแบบมาหยั่งความคิดของเด็ก ด้วยประโยคเลขการศึกษาออกแบบงาน กระบวนการและผลลัพธ์ของแบบสอบถามการให้คะแนนกลุ่มงานหมายเลขที่แสดงในรูปที่ 1 ได้รับนักเรียนใน ปีที่ 5, 6, 7 โดยใช้การแบบสอบถามดินสอ และกระดาษที่บริหารงานในเวลาเรียนปกติ ในแบบสอบถาม แนะนำห้องเรียนครูบอกนักเรียนที่: "นี้ไม่ได้ทดสอบ เป็นแบบสอบถามที่จัดทำ โดยนักวิจัย...ว่านักเรียนการอ่านตีความ และเข้าใจประโยคที่หมายเลข สำหรับส่วนใหญ่ของคำถามที่มีมากกว่าวิธีหนึ่งที่ให้คำตอบที่ถูกต้อง กรุณาเขียนความคิดของคุณอย่างชัดเจนในการพื้นที่ให้หลังจากแต่ละคำถาม และไม่รู้สึกว่า คุณจะต้องเขียนมาก"แบบสอบถามและแนะนำของครูนั้นถูกแปลเป็นภาษาญี่ปุ่นและภาษาไทย แต่ละกลุ่มปัญหาถูกนำ ด้วยคำว่า: "เขียนตัวเลขในแต่ละกล่องแถลงจริงอธิบายการทำงานของคุณ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

สำรวจพลังของความคิดเชิงสัมพันธ์นี้:
นักศึกษาเกิดใหม่พีชคณิตคิดในโรงเรียนประถมและโรงเรียนมัธยมแม็กซ์สตีเฟนส์ที่มหาวิทยาลัยเมลเบิร์น[e-mail] มาซามิ ISODA มหาวิทยาลัย Tsukuba ประเทศญี่ปุ่น[e-mail] ไมตรี Inprasitha มหาวิทยาลัยขอนแก่น, ไทย[e-mail] บทคัดย่อมีกรณีที่แข็งแกร่งสำหรับการพิสูจน์ว่าการประยุกต์ใช้ความคิดเชิงสัมพันธ์ในการแก้ประโยคจำนวนคาดเดาเป็นคุณสมบัติของความคิดทางคณิตศาสตร์ที่มีศูนย์กลางที่สำคัญในการพีชคณิต การศึกษาครั้งนี้สำรวจวิธีที่ดีที่นักเรียนในปีที่ 5, 6 และ 7 ในสามประเทศก็สามารถที่จะใช้ความคิดเชิงสัมพันธ์ที่จะแก้ปัญหาความแตกต่างของจำนวนประโยค ได้มีนักเรียนคนอื่น ๆ ที่ปรากฏที่จะพึ่งพา แต่เพียงผู้เดียวกับวิธีการคำนวณที่จะแก้ปัญหาเดียวกันประโยคจำนวน? การศึกษาแล้วตรวจสอบไม่ว่าจะเป็นผู้ที่ได้แสดงหลักฐานที่ชัดเจนของกลยุทธ์เชิงสัมพันธ์ในการแก้ประโยคจำนวนถูกวางไว้ดีกว่าที่จะแก้ประโยคสัญลักษณ์. คำสำคัญ: พีชคณิตคิดเชิงสัมพันธ์จำนวนและประโยคสัญลักษณ์. การคิดเชิงสัมพันธ์ในการศึกษาของพวกเขาธรรมชาติที่เกี่ยวกับพีชคณิตของนักเรียน'การจัดการตัวเลขในนิวซีแลนด์ Numeracy โครงการเออร์วินและ Britt (2005) ยืนยันว่าวิธีการของการชดเชยและความเท่าเทียมกันว่าบางส่วนนักเรียนใช้ในการแก้ประโยคจำนวนอาจให้รากฐานสำหรับการคิดเชิงพีชคณิต(พี. 169). ผู้เขียนเหล่านี้ให้เป็น ตัวอย่างประโยคจำนวน 47 + 25 ซึ่งสามารถเปลี่ยนเป็น 50 + 22 โดย 'เพิ่ม 3' 47 และลบ 3 จาก 25 พวกเขาอ้างว่า "เมื่อนักเรียนใช้กลยุทธ์นี้จะสมเหตุสมผลแก้ปัญหาตัวเลขที่แตกต่างกันที่พวกเขาเปิดเผยและ... ความเข้าใจใน ความสัมพันธ์ของตัวเลขที่เกี่ยวข้องกับ พวกเขาแสดงให้เห็นโดยไม่ต้องขอความช่วยเหลือไปสัญลักษณ์ตัวอักษรที่เป็นกลยุทธ์ที่ generalisable "(พี. 171) ผู้เขียนหลายแห่งรวมถึงสตีเฟนส์ (2006) และไม้และ Franke (2001) หมายถึงความคิดหนุนชนิดของกลยุทธ์การคิดเชิงสัมพันธ์นี้. แก้ประโยคจำนวนประสบความสำเร็จใช้ความคิดเชิงสัมพันธ์อย่างแน่นอนเรียกร้องความเข้าใจอย่างลึกซึ้งของความเท่าเทียมกัน นักเรียนต้องรู้ทิศทางที่ชดเชยจะต้องมีการดำเนินการในการที่จะรักษาสมดุล (สตีเฟนส์, 2006) เด็กบางคนที่ถูกต้องเปลี่ยนจำนวนประโยคที่เกี่ยวข้องกับการไม่ถูกต้องนอกจากนี้เหตุผลที่ว่าประโยคจำนวนเช่น 87-48 สามารถเปลี่ยนเป็นเทียบเท่ากับ90 - 45 เด็กเหล่านี้ไม่เข้าใจทิศทางที่ชดเชยจะต้องเกิดขึ้นเมื่อใช้การลบหรือความแตกต่าง นักเรียนเหล่านี้ไม่ได้รู้ว่าความสัมพันธ์ของความแตกต่างเป็นพื้นฐานที่แตกต่างกันนอกจากนี้ เด็กคนอื่น ๆ แต่รับรู้คุณลักษณะที่อธิบายว่า"เพื่อให้ความแตกต่างที่จะยังคงเหมือนเดิมหมายเลขเดียวกันนี้จะต้องมีการเพิ่มจำนวนในแต่ละแสดงออก เด็กเหล่านี้เขียนได้อย่างถูกต้อง 87-48 = 89 - 50 ส่วนแรกของการศึกษาครั้งนี้ได้รับการออกแบบมาเพื่อตรวจสอบความคิดของเด็กที่มีประโยคจำนวนการศึกษาการออกแบบงานขั้นตอนการให้คะแนนและผลการตอบแบบสอบถามกลุ่มที่สามของงานตัวเลขที่แสดงในรูปที่1 เป็น มอบให้กับนักเรียนในปีที่ 5, 6, และ 7 โดยใช้แบบสอบถามดินสอและกระดาษยาในเวลาเรียนปกติ ในการแนะนำแบบสอบถามครูบอกนักเรียนว่า"นี่ไม่ใช่การทดสอบ มันเป็นแบบสอบถามที่จัดทำโดยนักวิจัย ... มองหาวิธีที่นักเรียนอ่านตีความและเข้าใจประโยคจำนวน สำหรับส่วนของคำถามที่มีมากกว่าหนึ่งวิธีของการให้คำตอบที่ถูก กรุณาเขียนความคิดของคุณเป็นอย่างชัดเจนเท่าที่จะทำได้ในพื้นที่ที่จัดไว้ให้หลังจากที่แต่ละคำถามและไม่รู้สึกว่าคุณต้องเขียนมาก. "แบบสอบถามและการแนะนำของครูได้รับการแปลเป็นภาษาญี่ปุ่นและไทย แต่ละกลุ่มของปัญหาถูกนำด้วยคำว่า:. "เขียนเป็นจำนวนมากในแต่ละช่องที่จะทำให้คำสั่งที่แท้จริงอธิบายการทำงานของคุณ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

สำรวจพลังของการคิดเชิงพีชคณิต
นักเรียนใหม่คิดในเบื้องต้นและกลางโรงเรียน
Max Stephens
มหาวิทยาลัยเมลเบิร์น
m.stephens @ unimelb . edu . AU
มะซะมิ isoda
Tsukuba University ประเทศญี่ปุ่น
isoda @ criced . Tsukuba . ac.jp ไมตรี 2012

มหาวิทยาลัยขอนแก่น
imaitr @ มข. โดยนามธรรม

.มีเคสแบบแข็งสำหรับโต้เถียงว่า การคิดเชิงความสัมพันธ์ เพื่อแก้ปัญหาจำนวนประโยค embodies
คุณสมบัติของคณิตศาสตร์ที่เป็นส่วนกลางที่สำคัญในพีชคณิต งานวิจัยนี้ศึกษาว่านักเรียน
ในปีที่ 5 , 6 และ 7 ใน 3 ประเทศได้ใช้การคิดเชิงสัมพันธ์เพื่อแก้ปัญหาชนิดของหมายเลข
ประโยคมีนักเรียนคนอื่น ๆที่ปรากฏที่จะพึ่งพา แต่เพียงผู้เดียวในวิธีการคำนวณเพื่อแก้ประโยคเลขเดียวกัน
? การศึกษาตรวจสอบว่าผู้ที่ได้แสดงหลักฐานที่ชัดเจนของกลยุทธ์เชิงสัมพันธ์
แก้หมายเลขประโยคดีกว่า วางไว้เพื่อแก้ประโยคสัญลักษณ์
คำสำคัญ : พีชคณิต การคิดเชิงความสัมพันธ์ หมายเลขและประโยคสัญลักษณ์

คิดเชิงสัมพันธ์ในการศึกษาของพวกเขาในพีชคณิตธรรมชาติของการจัดการเชิงตัวเลขของนักเรียนใหม่ในนิวซีแลนด์และความรู้พื้นฐานที่ดีทางการคำนวณ
โครงการ เดอะ บริท ( 2005 ) ยืนยันว่าวิธีการชดเชยและการเทียบเคียงที่นักเรียนใช้ในการแก้ประโยค
หมายเลขอาจให้พื้นฐานสำหรับการคิดเชิงพีชคณิต ( หน้า 169 ) .
นักเขียนเหล่านี้ให้เป็นตัวอย่างประโยคเลข 47 25 ซึ่ง สามารถเปลี่ยนเป็น 50 22
โดย ' เพิ่ม 3 ' 47 และลบ 3 จาก 25 พวกเขาอ้างว่า " เมื่อนักเรียนใช้กลวิธีนี้

อย่างสมเหตุสมผล แก้ปัญหาแตกต่างกันตัวเลขพวกเขาเปิดเผย . . . . เข้าใจความสัมพันธ์ของ
ตัวเลขที่เกี่ยวข้อง พวกเขาแสดง โดยไม่ต้องอาศัยการสัญลักษณ์อักษร ว่า กลยุทธ์ generalisable " ( P .
171 ) ผู้เขียนหลายได้แก่ สตีเฟนส์ ( 2006 ) และช่างไม้และแฟรงก์ ( 2001 ) , อ้างถึงการคิด
ชนิดนี้ของกลยุทธ์การคิดเชิงความสัมพันธ์ การประสบความสำเร็จในการใช้หมายเลข
ประโยคคิดเชิงความสัมพันธ์แน่นอนโทรบน
ความเข้าใจลึกของสมมูล นักเรียนต้องรู้ทิศทางการชดเชยจะต้องดำเนินการเพื่อรักษาค่า
( Stephens , 2006 )เด็กบางคนที่ถูกต้องแปลงหมายเลข
ประโยคที่เกี่ยวข้องกับเหตุผลที่ไม่ถูกต้อง นอกจากประโยคเลขเช่น 87 – 48 สามารถ
เปลี่ยนเป็นเท่ากับ 90 – 45 เด็กพวกนี้ไม่เข้าใจทิศทาง
ค่าตอบแทนต้องใช้สถานที่เมื่อใช้ลบหรือความแตกต่าง นักศึกษาเหล่านี้ล้มเหลวที่จะจำ
ที่ความสัมพันธ์ของความแตกต่างพื้นฐานที่แตกต่างเพื่อเพิ่ม เด็ก อื่น ๆ , อย่างไรก็ตาม ,
จำคุณลักษณะนี้อธิบายว่า " ในการสั่งซื้อสำหรับความแตกต่างที่จะยังคงเหมือนเดิม
เบอร์เดียวกันมีการเพิ่มในแต่ละหมายเลข ในการแสดงออก เด็กเหล่านี้เขียนอย่างถูกต้อง 87 – 48 = 89 – 50
ส่วนแรกของการศึกษานี้ถูกออกแบบมาเพื่อตรวจสอบจำนวนเด็กคิดด้วยประโยค

ศึกษาการออกแบบงาน กระบวนการ และผลลัพธ์ของแบบสอบถาม
3 กลุ่มงาน หมายเลขที่แสดงในรูปที่ 1 คะแนน ให้นักเรียนปี 5 , 6 , และ 7 โดยใช้
ดินสอและกระดาษแบบสอบถามใช้ในเวลาเรียนปกติ . ในการแบบสอบถาม
ครูบอกให้นักเรียนที่ :
" นี่ไม่ใช่การทดสอบ เป็นแบบสอบถามที่เตรียมไว้ โดยนักวิจัย . . . ดูแล้วนักเรียน
อ่านตีความและเข้าใจจำนวนประโยค สำหรับคำถามส่วนใหญ่มีมากกว่า
วิธีหนึ่งของการให้คำตอบที่ถูกต้อง กรุณาเขียนความคิดของคุณอย่างชัดเจน เท่าที่คุณสามารถใน
ช่องว่างหลังจากที่แต่ละคำถามและอย่ารู้สึกว่าคุณต้องเขียนมาก . "
) และครูแนะนำถูกแปลเป็นภาษาญี่ปุ่นและไทย แต่ละกลุ่ม
ปัญหาแนะนำด้วยคำ : " เขียนตัวเลขในแต่ละกล่องจะให้งบจริง
อธิบายการทำงานของคุณ