- ข้อความ
- ประวัติศาสตร์
How do you find the square root of
How do you find the square root of a number by hand?
What about cube roots?
The square root of a number is just the number which when multiplied by itself gives the first number. So 2 is the square root of 4 because 2 * 2 = 4.
Start with the number you want to find the square root of. Let's use 12. There are three steps:
Guess
Divide
Average.
... and then just keep repeating steps 2 and 3.
First, start by guessing a square root value. It helps if your guess is a good one but it will work even if it is a terrible guess. We will guess that 2 is the square root of 12.
In step two, we divide 12 by our guess of 2 and we get 6.
In step three, we average 6 and 2: (6+2)/2 = 4
Now we repeat step two with the new guess of 4. So 12/4 = 3
Now average 4 and 3: (4+3)/2 = 3.5
Repeat step two: 12/3.5 = 3.43
Average: (3.5 + 3.43)/2 = 3.465
We could keep going forever, getting a better and better approximation but let's stop here to see how we are doing.
3.465 * 3.465 = 12.006225
That is quite close to 12, so we are doing pretty well.
Square Roots Using Infinite Series
Another way of computing square roots is to use the Binomial Theorem. The most general form of this gives the following infinite series:
(1+x)t = 1 + tx/1!
+ t(t-1)x2/2!
+ t(t-1)(t-2)x3/3! + . . .
+ t(t-1)...(t-k+1)xk/k! + . . .
where t is real.
Notice that to get the xk+1 term of the series from the xk term, just multiply by (t-k)x/(k+1).
This only converges if |x| < 1. You want to apply this to taking the square root of any positive real number a. That means that t = 1/2. One way to proceed is as follows.
Find positive rational numbers b and c such that
max[(b-1)/c,b/(c+1)]2 < a < (b/c)2,
max[(b-1)/b,c/(c+1)]2 < a(c/b)2 < 1.
This means that b/c is a reasonable approximation to a1/2, and a little larger than it. Let d = a(c/b)2. Then d1/2b/c = a1/2, and the problem is reduced to finding d1/2 where
1/4 1, e = [[(n-1)/2]] >= 0, where n is the number of digits in a to the left of the decimal point. ([[x]] here means the greatest integer no larger than x.)
If a < 1, then e = [[(-m-1)/2]] < 0, where m is the number of zeroes in a between the decimal point and the first significant digit. Then ac2 lies between 1 and 100.
Pick b such that b2 is the next square larger than ac2. Then 2
What about cube roots?
The square root of a number is just the number which when multiplied by itself gives the first number. So 2 is the square root of 4 because 2 * 2 = 4.
Start with the number you want to find the square root of. Let's use 12. There are three steps:
Guess
Divide
Average.
... and then just keep repeating steps 2 and 3.
First, start by guessing a square root value. It helps if your guess is a good one but it will work even if it is a terrible guess. We will guess that 2 is the square root of 12.
In step two, we divide 12 by our guess of 2 and we get 6.
In step three, we average 6 and 2: (6+2)/2 = 4
Now we repeat step two with the new guess of 4. So 12/4 = 3
Now average 4 and 3: (4+3)/2 = 3.5
Repeat step two: 12/3.5 = 3.43
Average: (3.5 + 3.43)/2 = 3.465
We could keep going forever, getting a better and better approximation but let's stop here to see how we are doing.
3.465 * 3.465 = 12.006225
That is quite close to 12, so we are doing pretty well.
Square Roots Using Infinite Series
Another way of computing square roots is to use the Binomial Theorem. The most general form of this gives the following infinite series:
(1+x)t = 1 + tx/1!
+ t(t-1)x2/2!
+ t(t-1)(t-2)x3/3! + . . .
+ t(t-1)...(t-k+1)xk/k! + . . .
where t is real.
Notice that to get the xk+1 term of the series from the xk term, just multiply by (t-k)x/(k+1).
This only converges if |x| < 1. You want to apply this to taking the square root of any positive real number a. That means that t = 1/2. One way to proceed is as follows.
Find positive rational numbers b and c such that
max[(b-1)/c,b/(c+1)]2 < a < (b/c)2,
max[(b-1)/b,c/(c+1)]2 < a(c/b)2 < 1.
This means that b/c is a reasonable approximation to a1/2, and a little larger than it. Let d = a(c/b)2. Then d1/2b/c = a1/2, and the problem is reduced to finding d1/2 where
1/4 1, e = [[(n-1)/2]] >= 0, where n is the number of digits in a to the left of the decimal point. ([[x]] here means the greatest integer no larger than x.)
If a < 1, then e = [[(-m-1)/2]] < 0, where m is the number of zeroes in a between the decimal point and the first significant digit. Then ac2 lies between 1 and 100.
Pick b such that b2 is the next square larger than ac2. Then 2
0/5000
วิธีทำหาค่ารากที่สองของตัวเลขด้วยมือสิ่งที่เกี่ยวกับ cube รากค่ารากที่สองของตัวเลขเป็นเพียงจำนวนที่เมื่อคูณ ตัวเองให้หมายเลขแรก ดังนั้น 2 เป็นรากที่ 4 เนื่องจาก 2 * 2 = 4เริ่มต้นด้วยหมายเลขที่คุณต้องการหาค่ารากที่สองของ ลองใช้ 12 มีสามขั้นตอน:เดาแบ่งค่าเฉลี่ย...แล้ว เพียงให้ทำซ้ำขั้นตอนที่ 2 และ 3เริ่มแรก โดยคาดเดาค่ารากที่สอง มันช่วยถ้าคุณเดาเป็น แต่จะทำงานแม้ว่าจะเดาน่ากลัว เราจะเดาว่า 2 ราก 12ในขั้นตอนที่สอง เราหาร 12 ด้วยเราเดา 2 และเราได้ 6ในขั้นตอนที่สาม เราเฉลี่ย 6 และ 2: (6 + 2) / 2 = 4ตอนนี้ เราทำซ้ำขั้นตอนที่สองเดาใหม่ 4 ดังนั้น 12/4 = 3ตอนนี้ เฉลี่ย 4 และ 3: (4 + 3) / 2 = 3.5ทำซ้ำขั้นตอน 2: 12/3.5 = 3.43ค่าเฉลี่ย: (3.5 + 3.43) / 2 = 3.465เราสามารถเก็บไปตลอดไป การประมาณที่ดีขึ้น และดีขึ้น แต่มาหยุดที่นี่เพื่อดูว่าเราจะทำ 3.465 * 3.465 = 12.006225ที่อยู่ใกล้กับ 12 เพื่อให้เราทำสวยดีรากใช้ลำดับอนันต์รากระบบคอมพิวเตอร์อีกวิธีหนึ่งคือการ ใช้ทฤษฎีบททวินาม แบบทั่วไปส่วนใหญ่นี้ให้ลำดับอนันต์ต่อไปนี้:t (1 + x) = 1 + tx/1 + t (t-1) x 2/2 + t(t-1)(t-2) x 3/3 + . . . + t(t-1) ... (t-k + 1) xk/k + . . .ที่ไม่เป็นจริงสังเกตว่า จะได้รับ xk + ชุดจากระยะ xk เพียงระยะ 1 คูณ (t-k)x/(k+1)ถ้านี้ converges เท่า |x| < 1 คุณต้องการนี้ให้มีค่ารากที่สองของจำนวนจริงบวกใด ๆ ว่า ที่ t = 1/2 วิธีหนึ่งในการดำเนินมีดังนี้ค้นหาตรรกยะบวก b และ c ให้max[(b-1)/c,b/(c+1)] 2 < เป็น < (b/c) 2max[(b-1)/b,c/(c+1)] 2 < (c/b) 2 < 1ซึ่งหมายความ ว่า b/c คือ ประมาณสมเหตุสมผลกับ a1/2 และขนาดใหญ่กว่าเล็กน้อย ให้ d =การ (c/b) 2 แล้วง 1/2b/c = a1/2 และลดปัญหาการหาง 1/2 ที่1/4 < = max[(b-1)/b,c/(c+1)] 2 < < d 1 ตอนนี้ให้ x = d - 1 แล้วที่เลวร้ายที่สุด -3/4 < < 0 x ตอนนี้ ใช้ชุดอนันต์:ง 1/2 = (1 + x) 1/2 = x 1 + (1/2) / 1 + (1/2)(-1/2) 2 x 2 + (1/2)(-1/2)(-3/2) x 3/3 + (1/2)(-1/2)(-3/2)(-5/2) x 4/4 + (1/2)(-1/2)(-3/2)(-5/2)(-7/2) x 5/5 + . . . = x 1 + (1/2) - (1/8) x 2 + (1/16) x 3 - (5/128) x 4 (7/256) + x 5 - (21/1024) x 6 + 7 x (33/2048) -...นี้ converges เร็วกว่าอนุกรมเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนทั่วไป - x ดังนั้นจำนวนของเงื่อนไขให้ m ที่ความถูกต้องมากที่สุด m/log10(-x) ถ้าบรรจบกันช้าเกินไปสำหรับรสนิยมของคุณ ย้อนกลับ และเลือกอื่น b และ c มีค่าใหญ่ นี้จะช่วยลดขนาดของ - x เมื่อคุณมีง 1/2 คุณสามารถค้นหาa1/2 =ง 1/2b/cตัวอย่าง: หาค่ารากที่สองของทศนิยม 821-4เราพบว่า ทางเลือกหนึ่งของ b และ c เป็น b = 28, c = 1 เนื่องจาก282 = 784 < 821 < 841 = = 292แล้วเราจะหาค่ารากที่สองของ d = 821(1/29) 2 = 821/841 x = d - 1 =-20/841 = -0.0237812128 เราใช้ชุด พบว่า(821/841)1/2 = 1 - 0.0118906064 - 0.0000706933 - 0.0000008406 - 0.0000000125 - 0.000000002 = 0.9880378470 8211/2 = (0.9880378470)29 = 28.65309756To four decimal places, 8211/2 = 28.6531.Choosing perfect squares on each side of x works very well for large a, like the 821 used in the example, but very poorly for 0 < a < 1.One just needs to start with some pretty good rational approximation b/c, larger than the square root, so that both (b-1)/c and b/(c+1) are smaller than the square root. The better the approximation, the better the convergence rate. That usually means the larger b and c are chosen, the better the rate. One way to choose b and c is to let c be a power of 10, c = 10-e, with e an integer such that a/100 < 100e < a.If a > 1, e = [[(n-1)/2]] >= 0, where n is the number of digits in a to the left of the decimal point. ([[x]] here means the greatest integer no larger than x.)If a < 1, then e = [[(-m-1)/2]] < 0, where m is the number of zeroes in a between the decimal point and the first significant digit. Then ac2 lies between 1 and 100.Pick b such that b2 is the next square larger than ac2. Then 2 <= b <= 10. This requires knowing the squares of numbers in this range. This choice of b and c works for every a.Using this method for a = 821, e = 1 and c = 1/10. Then we get ac2 = 8.21, so b = 3 works, and 20 = (b-1)/c < a1/2 < b/c = 30.Then d = ac2/b2 = 821/900 and d - 1 = x = -79/900 = -0.0877777777, which is plenty small enough to give rapid convergence. Picking b = 29 and c = 1 gave better convergence, since then x = -0.02378.Example:Here is an example with a small value of a. To find the square root of a = 0.000000379, you can choose c = 104, so a*c^2 = 37.9. Then b = 7 will do, and d = 37.9/49 = 0.7734694, so x = -0.2265306 Thend1/2 = 1 - 0.1132653 - 0.0064145 - 0.0007265 - 0.0000163 - 0.0000028 - 0.0000005 - 0.0000001 = 0.879471and therefore a1/2 = 0.879471*7/10000,0.0000003791/2 = 0.0006156297,approximately.
การแปล กรุณารอสักครู่..
คุณจะพบรากที่สองวิธีของจำนวนด้วยมือ?
สิ่งที่เกี่ยวกับรากก้อน? รากที่สองของจำนวนเป็นเพียงตัวเลขที่เมื่อคูณด้วยตัวเองให้หมายเลขแรก ดังนั้น 2 เป็นรากที่สองของ 4 เพราะ 2 * 2 = 4 เริ่มต้นด้วยหมายเลขที่คุณต้องการที่จะหารากที่สองของ ลองใช้ 12. มีสามขั้นตอนคือเดาแบ่ง. เฉลี่ย... และแล้วก็เก็บซ้ำขั้นตอนที่ 2 และ 3 เป็นครั้งแรกเริ่มต้นด้วยการคาดเดาค่ารากที่สอง มันจะช่วยถ้าเดาของคุณเป็นหนึ่งที่ดี แต่มันจะทำงานแม้ว่าจะเป็นเดาที่น่ากลัว เราจะเดาว่า 2 เป็นรากที่สองของ 12 ในขั้นตอนที่สองเราแบ่ง 12 โดยคาดเดาของเรา 2 และเราได้รับ 6. ในขั้นตอนที่สามเราเฉลี่ย 6 และ 2: (6 + 2) / 2 = 4 ตอนนี้เรา ทำซ้ำขั้นตอนที่สองกับการคาดเดาใหม่ของ 4. ดังนั้น 12/4 = 3 ตอนนี้เฉลี่ยที่ 4 และ 3 (4 + 3) / 2 = 3.5 ทำซ้ำขั้นตอนที่สอง: 12 / 3.5 = 3.43 โหวต: (3.5 + 3.43) / 2 = 3.465 เราสามารถเก็บไปตลอดกาลได้รับประมาณดีและดีกว่า แต่ขอหยุดที่นี่เพื่อดูว่าเรากำลังทำ. 3.465 * 3.465 = 12.006225 นั่นคือค่อนข้างใกล้เคียงกับ 12 ดังนั้นเรากำลังทำสวยดี. สแควร์รากใช้อินฟินิซีรีส์อีกวิธีหนึ่งคอมพิวเตอร์รากที่สองคือการใช้ทฤษฎีบททวินาม รูปแบบทั่วไปมากที่สุดของการนี้จะช่วยให้แบบไม่มีที่สิ้นสุดต่อไปนี้: (1 + x) t = 1 + เท็กซัส / 1 + ที (t-1) x2 / 2 + ที (t-1) (t-2) x3 / 3! + . . + ที (t-1) ... (t-k + 1) XK / k! + . .. ที่ไม่เป็นจริง. ขอให้สังเกตว่าจะได้รับ XK + 1 ระยะของซีรีส์จากระยะ XK เพียงคูณด้วย (tk) x / (k + 1) นี้ถ้าลู่ | x | <1 คุณต้องการ ใช้นี้จะสละรากที่สองของจำนวนจริงบวกใด ๆ นั่นหมายความว่า t = 1/2 วิธีหนึ่งที่จะดำเนินการดังต่อไปนี้. หาตัวเลขที่มีเหตุผลในเชิงบวก B และ C ดังกล่าวที่สูงสุด[(B-1) / C, B / (C + 1)] 2 <a <(B / C) 2 สูงสุด [(ข -1) / B, C / (C + 1)] 2 <a (c / b) 2 <1 ซึ่งหมายความว่า B / C เป็นประมาณที่เหมาะสมเพื่อ A1 / 2 และน้อยใหญ่กว่านั้น ให้ d = a (c / b) 2 จากนั้น d1 / 2b / c = a1 / 2 และปัญหาจะลดลงไปหา d1 / 2 ที่1/4 <= สูงสุด [(B-1) / B, C / (C + 1)] 2 <d <1 . ตอนนี้ให้ x = d - 1 แล้วที่เลวร้ายที่สุด -3/4 <x <0. ตอนนี้ใช้แบบไม่มีที่สิ้นสุด: d1 / 2 = (1 + x) 1/2 = 1 + (1/2) x / 1 ! + (1/2) (- 1/2) x2 / 2! + (1/2) (- 1/2) (- 3/2) x3 / 3! + (1/2) (- 1/2 ) (- 3/2) (- 5/2) x4 / 4 + (1/2) (- 1/2) (- 3/2) (- 5/2) (- 7/2) x5 / 5 ! + . . = 1 + (1/2) x - (1/8) x2 + (1/16) x3 - (5/128) x4 + (7/256) x5 - (21/1024) x6 + (33/2048 ) x7 - ... นี้ลู่เร็วกว่าชุดเรขาคณิตกับ -x อัตราส่วนทั่วไปดังนั้นจำนวนของข้อตกลงที่จะให้ความถูกต้องเมตรสถานที่มากที่สุด m / log10 (-x) หากบรรจบกันช้าเกินไปสำหรับรสนิยมของคุณกลับไปและเลือกขคแตกต่างกันและมีค่าขนาดใหญ่ นี้จะช่วยลดขนาดของ -x เมื่อคุณได้ D1 / 2, คุณสามารถหาa1 / 2 = d1 / 2b / c. ตัวอย่าง: หารากที่สองของ 821 ถึงสี่ตำแหน่งทศนิยม. เราพบว่าหนึ่งในทางเลือกของ B และ C เป็นข = 28, C = 1 เพราะ282 = 784 <821 = a <841 = 292 แล้วเราจะหารากที่สองของ d = 821 (1/29) 2 = 821/841 x = d - 1 = -20 / 841 = -0.0237812128 การใช้ชุดเราจะพบว่า(821/841) 1/2 = 1-0.0118906064 - .0000706933 - 0.0000008406 - .0000000125 - 0.000000002 = 0.9880378470 8211/2 = (0.9880378470) 29 = 28.65309756 เพื่อสี่ตำแหน่งทศนิยม, 8211/2 = 28.6531 เลือกสี่เหลี่ยมที่สมบูรณ์แบบในแต่ละด้านของ x ทำงานได้เป็นอย่างดีสำหรับการที่มีขนาดใหญ่เช่น 821 ที่ใช้ในตัวอย่าง แต่แย่มาก 0 <a <1 หนึ่งก็ต้องเริ่มต้นด้วยบางเหตุผลประมาณที่ดีงาม B / C ขนาดใหญ่กว่า รากที่สองเพื่อให้ทั้งสอง (ข-1) / C และ B / (C + 1) มีขนาดเล็กกว่ารากที่สอง ที่ดีกว่าการประมาณที่ดีกว่าอัตราการบรรจบกัน ที่มักจะหมายถึงขคขนาดใหญ่และได้รับการแต่งตั้งที่ดีกว่าอัตรา วิธีหนึ่งที่จะเลือก B และ C คือการปล่อยให้ c เป็นอำนาจของ 10, C = 10 อีกับ e จำนวนเต็มเช่นว่า / 100 <100E <a. ถ้า> 1, E = [[(n-1 ) / 2]]> = 0 ที่ n คือจำนวนของตัวเลขในด้านซ้ายของจุดทศนิยม ([[x]] ที่นี่หมายถึงเลขยิ่งมีขนาดไม่เกิน x.) ถ้า <1 แล้วที่ e = [[(-m-1) / 2]] <0, m คือจำนวนเลขในระหว่าง จุดทศนิยมและหลักที่สำคัญเป็นครั้งแรก จากนั้น AC2 อยู่ระหว่าง 1 และ 100 รับข b2 ดังกล่าวว่าเป็นตารางต่อไปมีขนาดใหญ่กว่า AC2 จากนั้น 2 <= b <= 10 นี้ต้องรู้สี่เหลี่ยมของตัวเลขในช่วงนี้ ทางเลือกของ B และ C งานนี้สำหรับทุกคน. โดยใช้วิธีการนี้สำหรับ = 821, E = 1 และ c = 1/10 จากนั้นเราได้รับ AC2 = 8.21 ดังนั้นข = 3 ผลงานและ20 = (B-1) / C <a1 / 2 <b / c = 30 แล้ว d = AC2 / b2 = 821/900 และ D - 1 = x = = -79/900 -.0877777777 ซึ่งเป็นความอุดมสมบูรณ์ที่มีขนาดเล็กพอที่จะให้ลู่อย่างรวดเร็ว เลือกข = 29 และ c = 1 ให้บรรจบกันที่ดีขึ้นตั้งแต่นั้น x = -0.02378. ตัวอย่าง: นี่คือตัวอย่างที่มีค่าเล็ก ๆ แห่งหนึ่ง เพื่อหารากที่สองของ = 0.000000379 คุณสามารถเลือก c = 104 ดังนั้นค * ^ 2 = 37.9 จากนั้นข = 7 จะทำและ d = 37.9 / 49 = 0.7734694 ดังนั้น x = -.2265306 แล้วd1 / 2 = 1-0.1132653 - 0.0064145 - 0.0007265 - .0000163 - .0000028 - .0000005 - 0.0000001 = 0.879471 และดังนั้นจึงa1 / 2 = 0.879471 * 7/10000 0.0000003791 / 2 = 0.0006156297, ประมาณ
สิ่งที่เกี่ยวกับรากก้อน? รากที่สองของจำนวนเป็นเพียงตัวเลขที่เมื่อคูณด้วยตัวเองให้หมายเลขแรก ดังนั้น 2 เป็นรากที่สองของ 4 เพราะ 2 * 2 = 4 เริ่มต้นด้วยหมายเลขที่คุณต้องการที่จะหารากที่สองของ ลองใช้ 12. มีสามขั้นตอนคือเดาแบ่ง. เฉลี่ย... และแล้วก็เก็บซ้ำขั้นตอนที่ 2 และ 3 เป็นครั้งแรกเริ่มต้นด้วยการคาดเดาค่ารากที่สอง มันจะช่วยถ้าเดาของคุณเป็นหนึ่งที่ดี แต่มันจะทำงานแม้ว่าจะเป็นเดาที่น่ากลัว เราจะเดาว่า 2 เป็นรากที่สองของ 12 ในขั้นตอนที่สองเราแบ่ง 12 โดยคาดเดาของเรา 2 และเราได้รับ 6. ในขั้นตอนที่สามเราเฉลี่ย 6 และ 2: (6 + 2) / 2 = 4 ตอนนี้เรา ทำซ้ำขั้นตอนที่สองกับการคาดเดาใหม่ของ 4. ดังนั้น 12/4 = 3 ตอนนี้เฉลี่ยที่ 4 และ 3 (4 + 3) / 2 = 3.5 ทำซ้ำขั้นตอนที่สอง: 12 / 3.5 = 3.43 โหวต: (3.5 + 3.43) / 2 = 3.465 เราสามารถเก็บไปตลอดกาลได้รับประมาณดีและดีกว่า แต่ขอหยุดที่นี่เพื่อดูว่าเรากำลังทำ. 3.465 * 3.465 = 12.006225 นั่นคือค่อนข้างใกล้เคียงกับ 12 ดังนั้นเรากำลังทำสวยดี. สแควร์รากใช้อินฟินิซีรีส์อีกวิธีหนึ่งคอมพิวเตอร์รากที่สองคือการใช้ทฤษฎีบททวินาม รูปแบบทั่วไปมากที่สุดของการนี้จะช่วยให้แบบไม่มีที่สิ้นสุดต่อไปนี้: (1 + x) t = 1 + เท็กซัส / 1 + ที (t-1) x2 / 2 + ที (t-1) (t-2) x3 / 3! + . . + ที (t-1) ... (t-k + 1) XK / k! + . .. ที่ไม่เป็นจริง. ขอให้สังเกตว่าจะได้รับ XK + 1 ระยะของซีรีส์จากระยะ XK เพียงคูณด้วย (tk) x / (k + 1) นี้ถ้าลู่ | x | <1 คุณต้องการ ใช้นี้จะสละรากที่สองของจำนวนจริงบวกใด ๆ นั่นหมายความว่า t = 1/2 วิธีหนึ่งที่จะดำเนินการดังต่อไปนี้. หาตัวเลขที่มีเหตุผลในเชิงบวก B และ C ดังกล่าวที่สูงสุด[(B-1) / C, B / (C + 1)] 2 <a <(B / C) 2 สูงสุด [(ข -1) / B, C / (C + 1)] 2 <a (c / b) 2 <1 ซึ่งหมายความว่า B / C เป็นประมาณที่เหมาะสมเพื่อ A1 / 2 และน้อยใหญ่กว่านั้น ให้ d = a (c / b) 2 จากนั้น d1 / 2b / c = a1 / 2 และปัญหาจะลดลงไปหา d1 / 2 ที่1/4 <= สูงสุด [(B-1) / B, C / (C + 1)] 2 <d <1 . ตอนนี้ให้ x = d - 1 แล้วที่เลวร้ายที่สุด -3/4 <x <0. ตอนนี้ใช้แบบไม่มีที่สิ้นสุด: d1 / 2 = (1 + x) 1/2 = 1 + (1/2) x / 1 ! + (1/2) (- 1/2) x2 / 2! + (1/2) (- 1/2) (- 3/2) x3 / 3! + (1/2) (- 1/2 ) (- 3/2) (- 5/2) x4 / 4 + (1/2) (- 1/2) (- 3/2) (- 5/2) (- 7/2) x5 / 5 ! + . . = 1 + (1/2) x - (1/8) x2 + (1/16) x3 - (5/128) x4 + (7/256) x5 - (21/1024) x6 + (33/2048 ) x7 - ... นี้ลู่เร็วกว่าชุดเรขาคณิตกับ -x อัตราส่วนทั่วไปดังนั้นจำนวนของข้อตกลงที่จะให้ความถูกต้องเมตรสถานที่มากที่สุด m / log10 (-x) หากบรรจบกันช้าเกินไปสำหรับรสนิยมของคุณกลับไปและเลือกขคแตกต่างกันและมีค่าขนาดใหญ่ นี้จะช่วยลดขนาดของ -x เมื่อคุณได้ D1 / 2, คุณสามารถหาa1 / 2 = d1 / 2b / c. ตัวอย่าง: หารากที่สองของ 821 ถึงสี่ตำแหน่งทศนิยม. เราพบว่าหนึ่งในทางเลือกของ B และ C เป็นข = 28, C = 1 เพราะ282 = 784 <821 = a <841 = 292 แล้วเราจะหารากที่สองของ d = 821 (1/29) 2 = 821/841 x = d - 1 = -20 / 841 = -0.0237812128 การใช้ชุดเราจะพบว่า(821/841) 1/2 = 1-0.0118906064 - .0000706933 - 0.0000008406 - .0000000125 - 0.000000002 = 0.9880378470 8211/2 = (0.9880378470) 29 = 28.65309756 เพื่อสี่ตำแหน่งทศนิยม, 8211/2 = 28.6531 เลือกสี่เหลี่ยมที่สมบูรณ์แบบในแต่ละด้านของ x ทำงานได้เป็นอย่างดีสำหรับการที่มีขนาดใหญ่เช่น 821 ที่ใช้ในตัวอย่าง แต่แย่มาก 0 <a <1 หนึ่งก็ต้องเริ่มต้นด้วยบางเหตุผลประมาณที่ดีงาม B / C ขนาดใหญ่กว่า รากที่สองเพื่อให้ทั้งสอง (ข-1) / C และ B / (C + 1) มีขนาดเล็กกว่ารากที่สอง ที่ดีกว่าการประมาณที่ดีกว่าอัตราการบรรจบกัน ที่มักจะหมายถึงขคขนาดใหญ่และได้รับการแต่งตั้งที่ดีกว่าอัตรา วิธีหนึ่งที่จะเลือก B และ C คือการปล่อยให้ c เป็นอำนาจของ 10, C = 10 อีกับ e จำนวนเต็มเช่นว่า / 100 <100E <a. ถ้า> 1, E = [[(n-1 ) / 2]]> = 0 ที่ n คือจำนวนของตัวเลขในด้านซ้ายของจุดทศนิยม ([[x]] ที่นี่หมายถึงเลขยิ่งมีขนาดไม่เกิน x.) ถ้า <1 แล้วที่ e = [[(-m-1) / 2]] <0, m คือจำนวนเลขในระหว่าง จุดทศนิยมและหลักที่สำคัญเป็นครั้งแรก จากนั้น AC2 อยู่ระหว่าง 1 และ 100 รับข b2 ดังกล่าวว่าเป็นตารางต่อไปมีขนาดใหญ่กว่า AC2 จากนั้น 2 <= b <= 10 นี้ต้องรู้สี่เหลี่ยมของตัวเลขในช่วงนี้ ทางเลือกของ B และ C งานนี้สำหรับทุกคน. โดยใช้วิธีการนี้สำหรับ = 821, E = 1 และ c = 1/10 จากนั้นเราได้รับ AC2 = 8.21 ดังนั้นข = 3 ผลงานและ20 = (B-1) / C <a1 / 2 <b / c = 30 แล้ว d = AC2 / b2 = 821/900 และ D - 1 = x = = -79/900 -.0877777777 ซึ่งเป็นความอุดมสมบูรณ์ที่มีขนาดเล็กพอที่จะให้ลู่อย่างรวดเร็ว เลือกข = 29 และ c = 1 ให้บรรจบกันที่ดีขึ้นตั้งแต่นั้น x = -0.02378. ตัวอย่าง: นี่คือตัวอย่างที่มีค่าเล็ก ๆ แห่งหนึ่ง เพื่อหารากที่สองของ = 0.000000379 คุณสามารถเลือก c = 104 ดังนั้นค * ^ 2 = 37.9 จากนั้นข = 7 จะทำและ d = 37.9 / 49 = 0.7734694 ดังนั้น x = -.2265306 แล้วd1 / 2 = 1-0.1132653 - 0.0064145 - 0.0007265 - .0000163 - .0000028 - .0000005 - 0.0000001 = 0.879471 และดังนั้นจึงa1 / 2 = 0.879471 * 7/10000 0.0000003791 / 2 = 0.0006156297, ประมาณ
การแปล กรุณารอสักครู่..
แล้วคุณหารากที่สองของตัวเลขโดยมือ
แล้วรากลูกบาศก์ ?
รากที่สองของตัวเลขคือจำนวนที่เมื่อคูณด้วยตัวของมันเองให้หมายเลขแรก 2 คือ รากที่สองของ 4 เพราะ 2 * 2 = 4 .
เริ่มต้นด้วยหมายเลขที่คุณต้องการหารากที่สองของ ลองใช้ 12 มีอยู่สามขั้นตอน :
เดา
หารเฉลี่ย . . . . . . . . จากนั้นก็ให้ทำซ้ำขั้นตอนที่ 2 และ 3 .
แรก เริ่มโดยการคาดเดาค่ารากที่สอง . มันจะช่วยถ้าเดาของคุณเป็นดีหนึ่งแต่จะทำงานแม้ว่าจะคิดว่าน่ากลัว เราจะเดาว่า 2 รูท 12 .
ในขั้นสอง เราแบ่ง 12 โดยเดาของเรา 2 และเราได้รับ 6 .
ในขั้นตอนที่ 3 เราเฉลี่ย 6 2 6 2 ) / 2 = 2
ตอนนี้เราทำซ้ำขั้นตอนที่ 2 กับ 4 เดาใหม่ . 12 / 4 = 3
ตอนนี้เฉลี่ย 4 และ 3 ( 3 3 ) / 2 = 5
ทำซ้ำขั้นตอนที่ 2 : 12 / 3.5 = 3.43
โดย : ( 3.5 3.43 ) / 2 = 3.465
เราก็เก็บไปตลอดกาล การประมาณที่ดีขึ้นและดีขึ้น แต่พอแค่นี้ก่อน เพื่อดูว่าเราทำ
3.465 * 3.465 = 12.006225
ที่ค่อนข้างสนิทถึง 12 แล้ว เรากำลังทำค่อนข้างดี
จัตุรัสรากใช้อนุกรมอนันต์
อีกวิธีในการคำนวณรากที่สองคือใช้ทฤษฎีบททวินาม .รูปแบบทั่วไปส่วนใหญ่นี้ให้อนันต์ชุดต่อไปนี้ :
1 X ) t = 1 TX / 1
t ( , t-1 ) x 2 / 2
t ( , t-1 ) ( T-2 ) 3 / 3 . . . . . . . .
t ( , t-1 ) . . . . . . . ( t-k 1 ) XK / k . . . . . . . ที่ T .
สังเกตว่ามีจริง ได้ 1 เทอมของ XK ชุดจาก XK เทอม ก็คูณด้วย ( t-k ) x / ( K )
นี้เท่านั้น - ถ้า | x | < 1 คุณต้องการที่จะใช้มันเพื่อการรากที่สองของจำนวนจริงบวก .นั่นหมายความว่า t = 1 / 2 วิธีหนึ่งที่จะดำเนินการมีดังนี้
หาบวกจำนวนตรรกยะ B และ C ที่แม็กซ์ [
( B1 ) / C , B / C 1 ) ] 2 < < ( B / C ) 2
( B1 ) แม็กซ์ [ / B , C / ( C 1 ) ] 2 < ( C / B ) 2 < 1 .
ซึ่งหมายความว่า B / C คือการประมาณที่สมเหตุสมผล A1 / 2 และใหญ่กว่ามัน ให้ D = ( C / B ) 2 . แล้ว D1 / 2B / C = A1 / 2 และปัญหาจะลดลงเพื่อหา D1 / 2 ที่
1 / 4 < = max ( B-1 ) / B , C / ( C 1 ) ] 2 < D < 1
ตอนนี้ให้ x = - 1 แล้วที่แย่ที่สุด - 3 / 4 < x < 0 ตอนนี้ใช้ชุดอนันต์ :
D1 / 2 = 1 X ) 1 / 2
= 1 ( 1 / 2 ) x / 1
( 1 / 2 ) ( 1 / 2 ) x 2 / 2
( 1 / 2 ) ( 1 / 2 ) ( 3 / 2 ) 3 / 3
( 1 / 2 ) ( 1 / 2 ) ( 3 / 2 ) ( 5 / 2 ) X4 / 4
( 1 / 2 ) ( 1 / 2 ) ( 3 / 2 ) ( 5 / 2 ) ( 7 / 2 ) x 5 / 5 . . . . . . .
= 1 ( 1 / 2 ) x
( 1 / 8 ) X2
( 1 / 16 ) x3
- ( 5 / 5 ) X4
( 7 / 256 ) X5
- ( 21 / 1024 ) x6
( 33 / 2048 ) X7
- . . . . . . .
แล้วรากลูกบาศก์ ?
รากที่สองของตัวเลขคือจำนวนที่เมื่อคูณด้วยตัวของมันเองให้หมายเลขแรก 2 คือ รากที่สองของ 4 เพราะ 2 * 2 = 4 .
เริ่มต้นด้วยหมายเลขที่คุณต้องการหารากที่สองของ ลองใช้ 12 มีอยู่สามขั้นตอน :
เดา
หารเฉลี่ย . . . . . . . . จากนั้นก็ให้ทำซ้ำขั้นตอนที่ 2 และ 3 .
แรก เริ่มโดยการคาดเดาค่ารากที่สอง . มันจะช่วยถ้าเดาของคุณเป็นดีหนึ่งแต่จะทำงานแม้ว่าจะคิดว่าน่ากลัว เราจะเดาว่า 2 รูท 12 .
ในขั้นสอง เราแบ่ง 12 โดยเดาของเรา 2 และเราได้รับ 6 .
ในขั้นตอนที่ 3 เราเฉลี่ย 6 2 6 2 ) / 2 = 2
ตอนนี้เราทำซ้ำขั้นตอนที่ 2 กับ 4 เดาใหม่ . 12 / 4 = 3
ตอนนี้เฉลี่ย 4 และ 3 ( 3 3 ) / 2 = 5
ทำซ้ำขั้นตอนที่ 2 : 12 / 3.5 = 3.43
โดย : ( 3.5 3.43 ) / 2 = 3.465
เราก็เก็บไปตลอดกาล การประมาณที่ดีขึ้นและดีขึ้น แต่พอแค่นี้ก่อน เพื่อดูว่าเราทำ
3.465 * 3.465 = 12.006225
ที่ค่อนข้างสนิทถึง 12 แล้ว เรากำลังทำค่อนข้างดี
จัตุรัสรากใช้อนุกรมอนันต์
อีกวิธีในการคำนวณรากที่สองคือใช้ทฤษฎีบททวินาม .รูปแบบทั่วไปส่วนใหญ่นี้ให้อนันต์ชุดต่อไปนี้ :
1 X ) t = 1 TX / 1
t ( , t-1 ) x 2 / 2
t ( , t-1 ) ( T-2 ) 3 / 3 . . . . . . . .
t ( , t-1 ) . . . . . . . ( t-k 1 ) XK / k . . . . . . . ที่ T .
สังเกตว่ามีจริง ได้ 1 เทอมของ XK ชุดจาก XK เทอม ก็คูณด้วย ( t-k ) x / ( K )
นี้เท่านั้น - ถ้า | x | < 1 คุณต้องการที่จะใช้มันเพื่อการรากที่สองของจำนวนจริงบวก .นั่นหมายความว่า t = 1 / 2 วิธีหนึ่งที่จะดำเนินการมีดังนี้
หาบวกจำนวนตรรกยะ B และ C ที่แม็กซ์ [
( B1 ) / C , B / C 1 ) ] 2 < < ( B / C ) 2
( B1 ) แม็กซ์ [ / B , C / ( C 1 ) ] 2 < ( C / B ) 2 < 1 .
ซึ่งหมายความว่า B / C คือการประมาณที่สมเหตุสมผล A1 / 2 และใหญ่กว่ามัน ให้ D = ( C / B ) 2 . แล้ว D1 / 2B / C = A1 / 2 และปัญหาจะลดลงเพื่อหา D1 / 2 ที่
1 / 4 < = max ( B-1 ) / B , C / ( C 1 ) ] 2 < D < 1
ตอนนี้ให้ x = - 1 แล้วที่แย่ที่สุด - 3 / 4 < x < 0 ตอนนี้ใช้ชุดอนันต์ :
D1 / 2 = 1 X ) 1 / 2
= 1 ( 1 / 2 ) x / 1
( 1 / 2 ) ( 1 / 2 ) x 2 / 2
( 1 / 2 ) ( 1 / 2 ) ( 3 / 2 ) 3 / 3
( 1 / 2 ) ( 1 / 2 ) ( 3 / 2 ) ( 5 / 2 ) X4 / 4
( 1 / 2 ) ( 1 / 2 ) ( 3 / 2 ) ( 5 / 2 ) ( 7 / 2 ) x 5 / 5 . . . . . . .
= 1 ( 1 / 2 ) x
( 1 / 8 ) X2
( 1 / 16 ) x3
- ( 5 / 5 ) X4
( 7 / 256 ) X5
- ( 21 / 1024 ) x6
( 33 / 2048 ) X7
- . . . . . . .
การแปล กรุณารอสักครู่..
ภาษาอื่น ๆ
การสนับสนุนเครื่องมือแปลภาษา: กรีก, กันนาดา, กาลิเชียน, คลิงออน, คอร์สิกา, คาซัค, คาตาลัน, คินยารวันดา, คีร์กิซ, คุชราต, จอร์เจีย, จีน, จีนดั้งเดิม, ชวา, ชิเชวา, ซามัว, ซีบัวโน, ซุนดา, ซูลู, ญี่ปุ่น, ดัตช์, ตรวจหาภาษา, ตุรกี, ทมิฬ, ทาจิก, ทาทาร์, นอร์เวย์, บอสเนีย, บัลแกเรีย, บาสก์, ปัญจาป, ฝรั่งเศส, พาชตู, ฟริเชียน, ฟินแลนด์, ฟิลิปปินส์, ภาษาอินโดนีเซี, มองโกเลีย, มัลทีส, มาซีโดเนีย, มาราฐี, มาลากาซี, มาลายาลัม, มาเลย์, ม้ง, ยิดดิช, ยูเครน, รัสเซีย, ละติน, ลักเซมเบิร์ก, ลัตเวีย, ลาว, ลิทัวเนีย, สวาฮิลี, สวีเดน, สิงหล, สินธี, สเปน, สโลวัก, สโลวีเนีย, อังกฤษ, อัมฮาริก, อาร์เซอร์ไบจัน, อาร์เมเนีย, อาหรับ, อิกโบ, อิตาลี, อุยกูร์, อุสเบกิสถาน, อูรดู, ฮังการี, ฮัวซา, ฮาวาย, ฮินดี, ฮีบรู, เกลิกสกอต, เกาหลี, เขมร, เคิร์ด, เช็ก, เซอร์เบียน, เซโซโท, เดนมาร์ก, เตลูกู, เติร์กเมน, เนปาล, เบงกอล, เบลารุส, เปอร์เซีย, เมารี, เมียนมา (พม่า), เยอรมัน, เวลส์, เวียดนาม, เอสเปอแรนโต, เอสโทเนีย, เฮติครีโอล, แอฟริกา, แอลเบเนีย, โคซา, โครเอเชีย, โชนา, โซมาลี, โปรตุเกส, โปแลนด์, โยรูบา, โรมาเนีย, โอเดีย (โอริยา), ไทย, ไอซ์แลนด์, ไอร์แลนด์, การแปลภาษา.
- ภัทรพงษ์ พรรณศิริ
- นิทานอีสป กระต่ายกับเต่ามีกระต่ายตัวหนึ่
- ตามใจคุณ
- เค้กชอคโกแลต
- คุณคือแสงสว่างในชีวิตของฉัน
- T-230 EQUIPMENT AND MATERIALST-231 FilmT
- เพลงที่คุณชื่นชอบคือเพลงอะไร
- รัสเซีย
- นิทานอีสป กระต่ายกับเต่ามีกระต่ายตัวหนึ่
- ตอนนี้เธอเรียนจบมหาวิทยาลัยแล้วหรือยัง?
- คุณเป็นผู้ชายอบอุ่นเสมอ
- If it's too big for lady, it's much too
- T-230 EQUIPMENT AND MATERIALST-231 FilmT
- But I like the city of Chengdu.
- สวัสดี
- แจ้งว่า ชิปโป้ว่าบรรทุกได้เกิน6ตัน
- คุณคือแสงสว่างในชีวิตของฉัน
- I come from taiwan
- everything is dead, I can nottouch when
- นักร้องที่ชอบคือ เต๋า
- an amazing thing
- you will sleep with study uniform
- sour soup
- Normally, the Department which need to h
