VOL. 70 NO. 3 GROSSMAN AND STIGLITZ

VOL. 70 NO. 3 GROSSMAN AND STIGLITZ: EFFICIENT MA RKETS 397 We shall now prove that there exists an equilibrium price distribution such that P* and u* are jointly normal. Moreover, we shall be able to characterize the price distribution. We define a2 (lOa) w,(9,x)=9 0- a (x-Ex*) for X> 0, and define wo(9,x) as the number: (lOb) wo(9,x)=x for all (9,x) where wX is just the random variable 9, plus noise.6 The magnitude of the noise is inversely proportional to the proportion of informed traders, but is proportional to the variance of E. We shall prove that the equilibrium price is just a linear function of wx. Thus, if X>0, the price system conveys information about 9, but it does so imperfectly. D. Existence of Equilibrium and a Characterization Theorem THEOREM 1: If (0*,?*,x*) has a nondegenerate joint normal distribution such that 9*, E*, and x* are mutually independent, then there exists a solution to (9) which has the form PX(9,x)=a1+a2wX(9, x), where a1 and a2 are real numbers which may depend on A, such that a2 >0- (If X = 0, the price contains no information about 9.) The exact form of PX(9,x) is given in equation (A 10) in Appendix B. The proof of this theorem is also in Appendix B. The importance of Theorem 1 rests in the simple characterization of the information in the equilibrium price system: Px* is informationally equivalent to w*. From (10) w* is a "mean-preserving spread" of 9; i.e., E[w*10]=9 and (1 1) Var[ IwxI Varx* For each replication of the economy, 9 is the information that uninformed traders would like to know. But the noise x * prevents w* from revealing 9. How wellinformed uninformed traders can become from observing Px* (equivalently wx*) is measured by Var[w*10]. When Var[w*10] is zero, w,* and 9 are perfectly correlated. Hence when uninformed firms observe w*, this is equivalent to observing 9. On the other hand, when Var[w* 10] is very large, there are "many" realizations of w,* that are associated with a given 9. In this case the observation of a particular w,* tells very little about the actual 9 which generated it.7 From equation (11) it is clear that large noise (high Varx*) leads to an imprecise price system. The other factor which determines the precision of the price system (a2a4'/X2) is more subtle. When a is small (the individual is not very risk averse) or a,2 is small (the information is very precise), an informed trader will have a demand for risky assets which is very responsive to changes in 9. Further, the larger X is, the more responsive is the total demand of informed traders. Thus small (a2a'4/X2) means that the aggregate demand of informed traders is very responsive to 9. For a fixed amount of noise (i.e., fixed Var x*) the larger are the movements in aggregate demand which are due to movements in 9, the more will price movements be due to movements in 9. That is, x* becomes less important relative to 9 in determining price movements. Therefore, for small (a2a,'/X2) uninformed traders are able to confidently know that price is, for example, unusually high due to 9 being high. In this way information from informed traders is transferred to uninformed traders. 61f y'= y + Z, and E[Z Iy] = O, then y' is just y plus noise. 7Formally, wA is an experiment in the sense of Blackwell which gives information about 9. It is easy to show that, ceteris paribus, the smaller Var(wxI1) the more "informative" (or sufficient) in the sense of Blackwell, is the experiment; see Grossman, Kihlstrom, and Mirman (p. 539).

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

VOL 70 NO 3 กรอสแมนและสติกลิตซ์: ประสิทธิภาพ MA RKETS 397 ตอนนี้เราจะต้องพิสูจน์ว่ามีความสมดุลราคาการจัดจำหน่ายดังกล่าวที่ * P และ U * เป็นปกติร่วมกัน นอกจากนี้เราจะสามารถที่จะแสดงลักษณะการกระจายราคา เรากำหนด a2 (LOA) W, (9, x) = 9 0- (x-Ex *) สำหรับ X> 0 และกำหนด wo (9, x) เป็นจำนวน (ลอบ) wo (9, x) = x ทั้งหมด (9, x) ที่ WX เป็นเพียงตัวแปรสุ่ม 9 บวก noise.6 ขนาดของเสียงเป็นสัดส่วนผกผันกับสัดส่วนของผู้ค้าทราบ แต่เป็นสัดส่วนกับความแปรปรวนของอีเราจะพิสูจน์ให้เห็นว่า ราคาดุลยภาพเป็นเพียงฟังก์ชั่นเชิงเส้นของ WX ดังนั้นหาก X> 0, ระบบราคาบ่งบอกข้อมูลเกี่ยวกับ 9 แต่มันไม่ได้ไม่สมบูรณ์ D. การดำรงอยู่ของความสมดุลและทฤษฎีบทลักษณะทฤษฎีบท 1: ถ้า (0 *, *, * x?) มีการกระจายปกติ nondegenerate ร่วมกันเช่นที่ 9 *, *, E, x * มีความเป็นอิสระร่วมกันนั้นมีอยู่วิธีการแก้ (9) ซึ่งมีรูปแบบ PX (9, x) = a1 + a2wX (9​​, x) ที่ a1 และ a2 เป็นจำนวนจริงซึ่งอาจขึ้นอยู่กับเช่นที่ a2> 0- (ถ้า X = 0 ราคา มีข้อมูลเกี่ยวกับการ 9. ) รูปแบบที่แน่นอนของ PX (9, x) จะได้รับในสมการ (10) ในภาคผนวก B พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ยังอยู่ในภาคผนวกขสำคัญของทฤษฎีบท 1 วางอยู่ในลักษณะที่เรียบง่าย ของข้อมูลในระบบราคาดุลยภาพ: Px * เทียบเท่า informationally เพื่อ W * จาก (10) W * คือ "หมายถึงการรักษาการแพร่กระจาย" ของ 9; คือ E [W * 10] = 9 และ (1 1) Var [IwxI Varx * สำหรับการจำลองแบบของเศรษฐกิจแต่ละ 9 เป็นข้อมูลที่ผู้ค้าไม่รู้อยากจะรู้ว่า แต่เสียง x * * * * * * * * ป้องกันไม่ให้น้ำหนักจากการเปิดเผย 9. wellinformed ค้าไม่รู้จะกลายเป็นจากการสังเกต Px * (WX เท่า *) วัดจาก Var [W * 10] เมื่อ Var [W * 10] เป็นศูนย์ w, * และ 9 มีความสัมพันธ์ที่ดีเลิศ ดังนั้นเมื่อ บริษัท ไม่รู้สังเกต * W, นี้จะเทียบเท่ากับการสังเกต 9. ในทางตรงกันข้ามเมื่อ Var [W * 10] มีขนาดใหญ่มากมี "หลายคน" การรับรู้ของ W, * ที่เกี่ยวข้องกับการกำหนด 9. ใน กรณีนี้การสังเกตของกโดยเฉพาะอย่างยิ่ง * บอกน้อยมากเกี่ยวกับที่เกิดขึ้นจริง 9 ซึ่งสร้าง it.7 จากสมการ (11) เป็นที่ชัดเจนว่าเสียงขนาดใหญ่ (สูง Varx *) นำไปสู่​​ระบบราคาไม่แน่ชัด ปัจจัยอื่น ๆ ที่จะเป็นตัวกำหนดความแม่นยำของระบบราคา (a2a4 / X2) เป็นที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้น เมื่อมีขนาดเล็ก (บุคคลที่ไม่ชอบความเสี่ยงมาก) หรือ 2 มีขนาดเล็ก (ข้อมูลที่แม่นยำมาก), ผู้ประกอบการจะต้องแจ้งความต้องการสินทรัพย์เสี่ยงซึ่งมีการตอบสนองต่อการเปลี่ยนแปลงใน 9. นอกจากนี้ขนาดใหญ่ X มีการตอบสนองมากขึ้นคือความต้องการทั้งหมดของผู้ค้าทราบ ดังนั้นขนาดเล็ก (a2a'4 / X2) หมายความว่าอุปสงค์รวมของผู้ค้าทราบเป็นอย่างมากเพื่อตอบสนอง 9. จำนวนคงที่ของเสียง (เช่นการแก้ไข Var x *) ขนาดใหญ่ที่มีการเคลื่อนไหวในอุปสงค์รวมที่เกิดจากการเคลื่อนไหว 9 ให้มากขึ้นจะราคาเคลื่อนไหวจะเป็นเพราะการเคลื่อนไหวใน 9. นั่นคือ x * กลายเป็นญาติความสำคัญน้อยกว่าถึง 9 ในการพิจารณาการเคลื่อนไหวของราคา ดังนั้นสำหรับธุรกิจขนาดเล็ก (A2A '/ X2) ผู้ค้าไม่รู้จะสามารถมั่นใจทราบราคาที่เป็นเช่นสูงผิดปกติอันเนื่องมาจาก 9 เป็นสูง ข้อมูลในลักษณะนี้จากผู้ค้าทราบถูกโอนไปยังผู้ค้าไม่รู้ 61F และ '= y + Z และ E [Z Iy] = O แล้วและ' ก็แค่ y บวกกับเสียงรบกวน 7Formally, WA คือการทดลองในความรู้สึกของ Blackwell ซึ่งให้ข้อมูลเกี่ยวกับ 9 มันเป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าสื่ออื่น paribus เล็ก Var (wxI1) มากขึ้น "ข้อมูล" (หรือเพียงพอ) ในความรู้สึกของ Blackwell เป็น ทดลอง; เห็นกรอสแมน Kihlstrom และ Mirman กัน (p. 539)

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ชุดที่ 70 หมายเลข 3 และ สติกลิตซ์แมน : ที่มีประสิทธิภาพมา rkets เรากำลังจะพิสูจน์ว่ามีการกระจายที่ราคาดุลยภาพ P * u * ร่วมกันปกติ นอกจากนี้ เราจะสามารถวิเคราะห์การกระจายราคา เรานิยาม A2 ( ลาว ) W ( 9 x ) = 9 0 - ( x-ex * ) สำหรับ x > 0 , และกำหนด wo ( 9 x ) เป็นหมายเลข ( ลูกเทนนิส ) wo ( 9 x ) = x ( 9 x ) ที่ wx เป็นเพียงการสุ่มตัวแปร 9บวกกับเสียง 6 ขนาดของเสียงจะแปรผกผันกับสัดส่วนของการแจ้งผู้ค้า แต่เป็นสัดส่วนกับความแปรปรวนของ เราต้องพิสูจน์ว่าราคาดุลยภาพเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของ wx . ดังนั้น ถ้า x > 0 , ราคาระบบถ่ายทอดข้อมูลเกี่ยวกับ 9 แต่มันอย่างเหนื่อยล้า . D . การดำรงอยู่ของความสมดุล และลักษณะเฉพาะของทฤษฎีบทที่ 1 : ถ้า ( 0 * ? *x * ) มีการแจกแจงแบบปกติ nondegenerate ร่วมกันเช่นที่ 9 * , E * X * เป็นอิสระแก่กันและกัน แล้วมีการแก้ไข ( 9 ) ซึ่งมีรูป px ( 9 x ) = A1 a2wx ( 9 x ) ที่ A1 และ A2 เป็นจำนวนจริงซึ่งอาจขึ้นอยู่กับเช่นว่า A2 > 0 - ( ถ้า x = 0 , ราคาไม่ประกอบด้วยข้อมูลเกี่ยวกับ 9 ) รูปแบบที่แน่นอนของ PX ( 9 x ) จะได้รับในสมการ ( 10 ) ในภาคผนวก Bข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทนี้ก็อยู่ในภาคผนวก B . ความสำคัญของทฤษฎีบท 1 พักผ่อนในง่ายคุณสมบัติของข้อมูลในระบบราคาดุลยภาพ : PX * informationally เท่ากับ w * . ( 10 ) w * " หมายถึงการกระจาย " 9 ; I , W * E [ 10 ] = 9 ( 1 ) var [ iwxi varx * สำหรับแต่ละการเศรษฐกิจ9 เป็นผู้ที่รู้ข้อมูล อยากจะรู้ แต่เสียง x * w * ป้องกันไม่ให้เปิดเผย 9 วิธี wellinformed ค้ารู้ สามารถเป็นจากการสังเกต PX * ( ก้อง wx * ) จะถูกวัดโดย var w * [ 10 ] เมื่อวาร [ W * 10 ] 0 W * 9 อย่างสมบูรณ์และความสัมพันธ์กัน ดังนั้นเมื่อ บริษัท รู้ สังเกต W * นี้เทียบเท่ากับการสังเกต 9 บนมืออื่น ๆเมื่อวาร [ W * 10 ] มีขนาดใหญ่มาก มี " มาก " ที่รับรู้ของ W * ที่เกี่ยวข้องกับให้ 9 ในกรณีนี้ การสังเกตของเฉพาะ W * บอกน้อยมากเกี่ยวกับจริง 9 ซึ่งสร้างมัน 7 จากสมการ ( 11 ) เป็นที่ชัดเจนว่าเสียงใหญ่ ( * varx สูง ) ไปสู่ระบบราคาไม่แน่ชัดปัจจัยอื่น ๆ ซึ่งจะกำหนดความแม่นยำของระบบราคา ( a2a4 ' / X2 ) มากกว่า เมื่อมีขนาดเล็ก ( แต่ละที่ไม่ค่อยเสี่ยง averse ) หรือ 2 ขนาดเล็ก ( ข้อมูลละเอียดมาก ) แจ้งผู้ประกอบการจะมีความต้องการสินทรัพย์ที่มีความเสี่ยงสูง ซึ่งเป็น มาก เพื่อตอบสนองต่อการเปลี่ยนแปลงใน 9 เพิ่มเติม , ขนาดใหญ่ X คือ อ่อนไหว คือ ความต้องการทั้งหมดแจ้งผู้ค้าดังนั้น เล็ก ( หลัง 4 / x2 ) หมายถึง ความต้องการโดยรวมของการแจ้งผู้ค้ามากตอบสนองต่อ 9 สำหรับยอดเงินคงที่ของเสียง ( เช่น ซ่อม var x * ) ขนาดใหญ่มีการเคลื่อนไหวในอุปสงค์รวมซึ่งเกิดจากการเคลื่อนไหวใน 9 ยิ่งจะการเคลื่อนไหวของราคาได้เนื่องจากการเคลื่อนไหวใน 9 นั่นคือ x * จะสำคัญน้อยกว่า เมื่อเทียบกับ 9 ในการกําหนดการเคลื่อนไหวของราคา ดังนั้น สำหรับหลังเล็ก ,' / x2 ) ผู้ที่รู้จะสามารถมั่นใจได้ว่าราคาตัวอย่างผิดปกติสูงเนื่องจาก 9 มีสูง ในวิธีนี้ข้อมูลจากผู้ค้า ผู้ค้าแจ้งโอนที่ไม่รู้ 61f Y ' = Y Z , E [ z ] = ก็โอแล้ว Y Y บวก ' เป็นเพียงเสียง 7formally , WA เป็นการทดลองในความรู้สึกของแบล็คเวล ที่ให้ข้อมูลเกี่ยวกับ 9 มันเป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่า paribus ceteris ,ขนาดเล็ก var ( wxi1 ) มากกว่า " ข้อมูล " ( หรือไม่มี ) ในแง่ของแบล็คเวล คือ การทดลอง การเห็น กรอสแมน kihlstrom และเมอร์เมิ่น ( หน้ามัน )