(a) Consider the sequence 1, 4, 2,

(a) Consider the sequence 1, 4, 2, The greedy algorithm produces the rising trend 1, 4,
while the optimal solution is 1, 2, 3.
(b) Let OPT(j) be the length of the longest increasing subsequent-e on the set Pljl, P[j+
l],ldots,P[n], including the element Note that we can initialize OPT(n) : l, and
OPT(1> is the length of the longest rising trenrl, as flesirerl.
Now, consider a solution achieving OPT(j). lts first element is Pljl, and its next elenlent
is P[k] for some It > J for which Plkl > Pljl. From If onward, it is simply the longest
increasing sulvsequence that starts at P[I:]; in other words, this part of the sequence has
length OPT(k), so including P[j], the full sequence has length 1+ OPT(k). We have thus
justified the following recurrence.
OPT(j) 1 l+ max OPT(k).
k>].P[kl>P|]|
The values of OPT can be built up in order of decreasing j, in time O(n-j) for iteration j,
leading to a total running time ofO('rz,2). The value we want is OPT(l), and the subsequence
itself can he founcl by tracing hack through the array of OPT values.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

(ก) พิจารณาลำดับ 1, 4, 2 อัลกอริทึมโลภสร้างเพิ่มขึ้นแนวโน้ม 1, 4ในขณะที่การแก้ปัญหาที่ดีที่สุดคือ 1, 2, 3(ข) ให้ OPT(j) มีความยาวยาวที่สุดเพิ่มขึ้นตามมาอีบนการตั้งค่า Pljl, P [j +l] ldots, P [n], รวมทั้งองค์ประกอบที่เราสามารถเตรียมใช้งาน OPT(n) หมายเหตุ: l และร่วม (1 > คือความยาวของ trenrl เพิ่มขึ้นยาวที่สุด เป็น flesirerlตอนนี้ พิจารณาแก้ไขปัญหาบรรลุ OPT(j) องค์ประกอบแรก lts คือ Pljl และ elenlent ของถัดไปคือ P [k] บางที > J สำหรับที่ Plkl > Pljl จากถ้าจึง มันเป็นเพียงยาวที่สุดเพิ่ม sulvsequence ที่เริ่มต้นที่ P [i:]; ในคำอื่น ๆ มีส่วนของลำดับนี้ความยาว OPT(k) เพื่อ รวม P [j], ลำดับเต็มมีความยาว 1 + OPT(k) เราได้ดังนั้นธรรมที่เกิดขึ้นต่อไปนี้OPT(j) 1 l + สูงสุด OPT(k)k >]P [kl > P|] |ค่าของร่วมสามารถสร้างขึ้นในใบสั่งของลดเวลา O(n-j) เกิดซ้ำเจ เจนำไปรวมใช้เวลา ofO('rz,2) ค่าเราต้องมา OPT(l), subsequence ที่ตัวเองได้เขา founcl โดยติดตามสับผ่านอาร์เรย์ของค่าร่วม

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

(ก) พิจารณาลำดับที่ 1, 4, 2, ขั้นตอนวิธีโลภผลิตแนวโน้มเพิ่มขึ้น 1, 4,
ในขณะที่การแก้ปัญหาที่ดีที่สุดคือ 1, 2, 3.
(ข) ให้ OPT (ญ) มีความยาวที่ยาวที่สุดที่เพิ่มขึ้นตามมา -e ในชุด Pljl, P [เจ +
L] ldots, P [n] รวมทั้งองค์ประกอบหมายเหตุว่าเราสามารถเริ่มต้น OPT (n): ลิตรและ
OPT (1> เป็นระยะเวลาที่ยาวที่สุด trenrl ที่เพิ่มขึ้นในขณะที่ flesirerl.
ตอนนี้พิจารณาการแก้ปัญหาการบรรลุ OPT (ญ). LTS องค์ประกอบแรกคือ Pljl และ elenlent ต่อไป
คือ P [k] สำหรับบางคนมัน> J ที่ Plkl> Pljl. จากเป็นต้นไปถ้ามันเป็นเพียงที่ยาวที่สุด
ที่เพิ่มขึ้น sulvsequence ที่เริ่มต้นที่ P [I] ในคำอื่น ๆ ที่เป็นส่วนหนึ่งของลำดับนี้มี
. ความยาว OPT (k) ดังนั้นรวมทั้ง P [เจ] ลำดับเต็มมีความยาว 1+ OPT (k) เราจึง
เป็นธรรมต่อไป . การกลับเป็นซ้ำ
OPT (ญ) 1 l + สูงสุด OPT (k).
k>] P [KL> P |.] |
ค่าของ OPT สามารถสร้างขึ้นเพื่อลด J ในเวลา O (NJ) สำหรับการย้ำเจ
นำไปสู่การเวลาทำงานทั้งหมด ofo ('RZ, 2). ค่าที่เราต้องการคือ OPT (ลิตร) และ subsequence
ตัวเองเขาสามารถ founcl โดยการติดตามตัดผ่านแถวของค่า OPT

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

( 1 ) พิจารณาลำดับ 1 , 4 , 2 , อัลกอริทึมละโมบสร้างแนวโน้มที่เพิ่มขึ้น 1 , 4
ในขณะที่โซลูชั่นที่เหมาะสมที่สุด คือ 1 , 2 , 3
( B ) ให้เลือก ( J ) เป็นระยะทางยาวที่สุดเพิ่ม subsequent-e ในชุด pljl P J
[ L ] ldots , p [ N ] รวมถึงองค์ประกอบที่ทราบว่าเราสามารถเริ่มต้นการเลือก ( N ) : l ,
เลือก 1 > คือ ความยาวที่ยาวที่สุด trenrl เพิ่มขึ้นเป็น flesirerl .
ตอนนี้พิจารณาการเลือกใช้โซลูชั่น ( J ) ออกมาเป็นธาตุแรก pljl และ
elenlent ต่อไปคือ P [ K ] บ้างก็ > J ที่ plkl > pljl . ถ้าไป มันเป็นเพียงการเริ่มต้นที่ยาวที่สุด
sulvsequence P [ i ] ; ในคำอื่น ๆนี้เป็นส่วนหนึ่งของลำดับความยาวเลือกได้
( K ) , รวมทั้ง P [ J ] เต็มรูปแบบมีความยาว 1 เลือกได้ ( K ) เราจึงมีความชอบธรรมอีก

ต่อไปนี้เลือก ( J ) 1 ลิตร แม็กซ์เลือก ( k )
K ] P [ KL > P | ] |
ค่าของเลือกสามารถถูกสร้างขึ้นเพื่อลด J ในเวลา O ( n-j ) ทำซ้ำ J ,
ชั้นนำทั้งหมดวิ่ง ofo เวลา ( 'rz , 2 ) คุณค่าที่เราต้องการจะเลือก ( L ) , และจากนั้นเขาจะ founcl
ตัวเองโดยการ hack ผ่านอาร์เรย์ของการเลือกค่า
.