3.5 The One Dimensional Heat Equati

3.5 The One Dimensional Heat Equation
In this and the following section we study the temperature distribution in a uniform bar of length L wit h insulated lateral surface and no internal sources of heat , subject to certain boundary and initial conditions. To
describe the problem, let u( x , t) (0 < x < L , t > 0) represent the temperature
of the point x of the bar at time t ( Figure 1). Given that the initial temperature distribution of the bar is u( x , 0) = f ( x ), and given that the ends of the bar are held at constant temperature 0, we ask, What is u( x , t) for 0 < x < L, t > O? As you would expect , to answer this question, we must solve a boundary value problem. We will show in the appendix at the
end of this section that u satisfies the one dimensional heat equation
au 2 a2 u
at = c ax 2 , 0 < x < L, t > 0.


Figure 1 Insulated bar with ends kept at 0°.

Since the problem is first or­ der in t , we only need one initial condition, unlike the wave problem where two conditions were needed.

In addition, u satisfies the boundary conditions

u( O , t) = 0 and u( L, t) = 0 for all t > 0 and the initial condition
u( x , O) = .f ( x ) for 0 < x < L.

We solve this problem using the method of separation of variables. After doing so, we will introduce the notion of steady-state temperature and use it to solve a related heat problem with nonzero boundary data. Interesting and important variations on these problems are presented in the following section.


136 Chapter 3 Partial Differential Equations in Rectangular Coordinates

Separation of Variables
We start by looking for product solutions of the form

u( x , t) = X ( x ) T ( t) ,

where X (x ) is a function of x alone and T( t) is a function of t alone. Plugging into the heat equation and separating variables, we obtain
T' X"
c2T X .

For the equality to hold we must have
T'
-= k and
c2T

X"
-y = k ,

where k is the separation constant . From these equations, we get two
ordinary differential equations

X " - k X = 0 and T' - kc2 T = 0. Separating variables in the boundary conditions, we get
X ( O)T ( t) = 0 and X ( L)T ( t) = 0 for all t > 0.

To avoid trivial solutions we require

X (0) = 0 and X (L) = 0 .

We thus obtain the boundary value problem in X :

X " - k X = 0, X (O) = 0 and X ( L) = 0.

This problem is exactly the one that we solved in Section 3.3 for the vibrating string. We found that

n7r
where µ = µn = L' n = 1, 2, . . . ,

and

IX = X n = sin y x, n = 1, 2, I

Substituting the values of k in the differential equation for T, we get the first order ordinary differential equation


T' + C n7r )2 T = O


Section 3.5 The One Dimensional Heat Equation 137

whose general solution is



where we set



(see Theorem 1, Appendix A. l). We thus arrive at the product solution, or
normal mode,

Un ( x , t) = bn e->..; t s1•n nL7r x ,

n = 1, 2 , • • • •

By construction, each Un is a solution of the heat equation and the given ( ho­ mogeneous) boundary conditions. Motivated by the superposition principle (Theorem 1, Section 3.1) we let



Our next step is to determine the coefficients bn so as to satisfy the initial condition u( x , 0) = f ( x ).
Fourier Series Solution of the Entire Problem
We set t = 0, use the initial condition, and get

00
f ( x ) = u( x , 0) = ",!""""", bn sin mr x•

n=l

Recognizing this sum as the half-range sine series expansion of f , we get from (4) , Section 2.4,

n = 1, 2, . . . ,



which completely determines the solution. follows.


We summarize our findings as


138 Chapter 3 Partial Differenti al Equations in Rectangular Coordinates


SOLUTION OF THE The solution of the one dimensional heat boundary value problem ONE DIMENSIONAL

HEAT EQUATION (1)

8u f:J2•u
&t = c2 ox

0 < x < L, t > O


(2)
(3)


u( O, t) = 0 and u( L, t) = 0 for all t > 0
u( x, 0) = f (x) for 0 < x < L,




is

(4)




where (5)



2 { L . n:rr
bn = L Jo f ( x ) sm y x dx and



n = 1, 2 . . . .







EXAMPLE 1 Temperatur e in a bar with ends held at 0°C
A thin bar of length 1T units is placed in boiling water (temperature 100°C). After reaching 100°C throughout , the bar is removed from the boiling water. With the lateral sides kept insulated, suddenly, at time t = 0, the ends are immersed in a medium with constant freezing temperature 0°C. Taking c = 1, find the temperature u( x , t) for t > 0.
Solution The boundary value problem that we need to solve is
u OU 82 u
ot = ox2 ) 0 < x < 1T, t > 0,
u(O, t) = 0 and u(1T , t) = 0, t > 0,
u( x , 0) = 100, 0 < x < 1r.



From (4), we have




00
2
u( x , t) bne-n l



sin nx



x
0 7t





where




n=l





Figure 2 Partial sum of the sine Fourier series expansion of the initial temperature dis­
tribution (with k up to 10) lOO = 400 °"oo sin (2k+l)x
n L;k =O 2k+l
0 < x < 1T . (See Exercise 1,
Section 2.3.)






b,, = 2171" lOO sin nx dx = 200 (1 - cos n1T) .
1T o n1T
Substituting the values of bn and using the fact that ( 1 - cos n7r) = 0 if n is even and 2 if n is odd, we get
400 oo e-n2t 400 oo e-(2k+1)2t
u( x , t) = - --sin nx = - k sin(2k + l )x.
1T L n 1T L 2 + l
n=O k =O
n odd
If we plug a given value of t into the series solution, we obtain a function of x alone. This function gives the temperature distribution of the bar at the given time t. In


Section 3.5 The One Dimensional Heat Equation 139

particular , when t = 0, u( x , 0) yields the half-range sine series expansion of the initial tem perature distri bution f ( x ) , illustrated in Figure 2 and the first picture in Figure 4. In Figures 3 and 4, we have approximated the series solution by summing it through the terms with k = 0 and k = 10, respectively, and have shown the temperature distribution at various values of t. Notice the rapid exponential decay of the higher order terms of the series solution. The exponent of the second nonzero term is 9 times bigger and the third is 25 times bigger than the exponent of the first term. This shows that the higher order terms die exceedingly fast. Because of this fast fall off of the higher order terms, the Gibbs phenomenon, which is apparent in
the first frame in Figure 4, disappears very quickly from the partial sums. •



t = 2.5


x x
re 0 re 0


Figure 3 Approximation of the temperature by the first normal mode
u1 ( x , t) = 4 0 e-t sin x .

Figure 4 Temperature distribution in a bar wi th ends held at 0°. The temperature decays to 0 as t increases. Note that for large l , the shape of the graph is dominated by the first normal mode. Indeed, comparison with Figure 3 shows that the two curves are virtually indistinguishable for t 2': 0.5.

Steady-State Temperature Dist ribut ion
The graphs in Figure 4 show that the temperature in the bar tends to zero as t increases. This is intuitively clear, since the ends of the bar are kept at 0° and there is no internal source of heat . In general, the temperature distribution that we get as t --7 oo is a function of x alone called the steady­ state solution (or time-independent solution). So, in Example 1, the steady-state solution is the function that is identically 0.
For general boundary conditions, since the steady-state solution is inde­ pendent of t , we must have 8u/ 8t = 0. Substituting this in (1) , we see that the steady-state distribution satisfies the differential equation = 0, or
simply:• = 0, because u, the steady-state solution, is a function of x only. The general solution of this simple differential equation is u( x ) = Ax + B , where A and B are constants that are determined using the boundary con­ ditions. We illustrate with an example.


140 Chapter 3 Partial Differential Equations in Rectangular Coordinates


EXAMPLE 2 Steady-state solution
Describe the steady-state solution in a bar of length L with one encl kept at tem­ perature T1 and the other at temperature T2 . Assume that the lateral surface is insulated and that there are no internal sources of heat.
Solution We have u(O) = T1 and u( L) = T2. Hence, from the fact that •u( x ) = Ax + B, it follows that B = T1 and AL+T 1 = T2 . Solving for A, we get A = T2 £T' and so


u
T2 Thus, the graph of the steady-state solution is a straight line that goes through the given boundary values T1 at 0 and Tz at L (see Figure 5). •
In later sections of this chapter we will study steady-state tempera­ ture distributions in higher dimensions. These problems will require solving



x Laplace's equation in two or more variables, which is one of the most im­

portant differential equations in applied mathematics . As illustrated by

0 L Example 2, the solutions will depend in an essential way on the boundary

Figure 5 Steady-state or time-independent solution.

conditions .
vVe next illustrate how steady-state solutions can be used to solve certain nonhomogeneous boundary value problems.

Nonzero Boundary Conditions
Consider the heat boundary value problem


(6)

OU - c2 a2 u
i:Jt - &x2 '

O < x < L, t > 0,

(7)
(8)

u( O, t) = Ti and u( L, t) = T2 , t > 0,
li(x , 0) = f ( x ), 0 < x < L.

The problem is nonhomogeneous when Ti and

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

3.5 หนึ่งมิติความร้อนสมการในการนี้และส่วนต่อไปนี้เราศึกษาการกระจายอุณหภูมิในแถบรูปของปัญญาความยาว L h หุ้มผิวด้านข้างและไม่มีแหล่งภายในความร้อน บางขอบเขตและเงื่อนไขเริ่มต้น ถึงอธิบายปัญหา ให้ u (x, t) (0 < x < L, t > 0) หมายถึงอุณหภูมิจุด x บาร์ที่เวลา t (รูปที่ 1) ระบุว่าการกระจายอุณหภูมิเริ่มต้นของแถบเป็น u (x, 0) = f (x), และที่ปลายของแถบจะจัดขึ้นที่อุณหภูมิคง 0 ขอ u (x, t) สำหรับ 0 < x < L, t > O ตามที่คุณคาดหวัง การตอบคำถามนี้ เราต้องแก้ปัญหาค่าขอบ เราจะแสดงในภาคผนวกในการสิ้นสุดของส่วนนี้ u ที่เป็นไปตามสมการความร้อนมิติหนึ่งau 2 a2 uที่ = ax c 2, 0 < x < L, t > 0 รูปที่ 1 แถบ Insulated กับปลายเก็บที่ 0°เนื่องจากปัญหาคือแรก หรือแดร์ในที เราต้องการมีหนึ่งเงื่อนไขเริ่มต้น ซึ่งแตกต่างจากปัญหาคลื่นที่สองเงื่อนไขจำเป็นนอกจากนี้ u เป็นไปตามเงื่อนไขขอบเขตu (O, t) = 0 และคุณ (L, t) = 0 t > 0 ทั้งหมดและเงื่อนไขเริ่มต้นu (x, O) =.f (x) สำหรับ 0 < x < L.เราแก้ปัญหานี้โดยใช้วิธีการแยกตัวแปร หลังจากทำเช่นนั้น เราจะแนะนำแนวคิดของอุณหภูมิขาสามท่อน และใช้เพื่อแก้ปัญหาความร้อนที่เกี่ยวข้องกับข้อมูลขอบเขต nonzero รูปแบบที่น่าสนใจ และมีความสำคัญในปัญหาเหล่านี้จะนำเสนอในส่วนต่อไปนี้ 136 สมการเชิงอนุพันธ์บางส่วน 3 บทในพิกัดแยกตัวแปรเราเริ่มต้น ด้วยการหาผลิตภัณฑ์โซลูชั่นของแบบฟอร์มu (x, t) = X (x) T (t),ที่ X (x) เป็นฟังก์ชันของ x เพียงอย่างเดียว และ T (t) เป็นฟังก์ชันของ t คนเดียว เสียบเข้าสมการความร้อน และการแยกตัวแปร เรารับT' X "c2T Xสำหรับเก็บเราต้องมีความเสมอภาคT'-= k และc2TX"-y = kโดยที่ k คือ ค่าคงแยก จากสมการเหล่านี้ เราได้สองสมการเชิงอนุพันธ์สามัญX "-k X = 0 และ T'-kc2 T = 0 เราแยกตัวแปรในเงื่อนไขขอบเขต ได้รับX T (O) (t) = 0 และ X (L) T (t) = 0 สำหรับทุก t > 0เพื่อหลีกเลี่ยงการแก้ไขปัญหาเล็กน้อยที่เราต้องการX (0) = 0 และ X (L) = 0เราจึงได้รับปัญหาค่าขอบเขต X:X "-k X = 0, X (O) = 0 และ X (L) = 0ปัญหานี้คือตรงที่เราแก้ไขในหัวข้อ 3.3 ให้สายสั่นที่มี เราพบว่าn7r ที่เขต = µn = L' n = 1, 2,...,และIX = X n = sin y x, n = 1, 2 ฉันแทนค่า k ในสมการเชิงอนุพันธ์สำหรับ T เราได้รับแรกสั่งปกติสมการเชิงอนุพันธ์ T' + C n7r) 2 T = O ส่วน 3.5 สมการความร้อนมิติหนึ่ง 137มีการแก้ไขปัญหาทั่วไป ที่เราตั้ง (ดูทฤษฎีบท 1 ภาคผนวก A. l) เราจึงมาถึงโซลูชันผลิตภัณฑ์ หรือโหมดปกติสหประชาชาติ (x, t) = e พัน - > ...; t s1•n nL7r xn = 1, 2 , • • • •โดยก่อสร้าง สหประชาชาติแต่ละเป็นการแก้ปัญหาของสมการความร้อน และการกำหนด (โฮ mogeneous) ขอบเขตเงื่อนไข แรงจูงใจ โดยใช้หลัก superposition (ทฤษฎีบท 1 ส่วน 3.1) เราให้ ขั้นตอนต่อไปเราจะกำหนดพันสัมประสิทธิ์เพื่อตอบสนอง u เงื่อนไขเริ่มต้น (x, 0) = f (x)อนุโซลูชันของปัญหาทั้งหมดเราตั้งค่า t = 0 ใช้เงื่อนไขเริ่มต้น และได้รับ00f (x) = u (x, 0) = "" ", พันบาปนาย x• n = lการจดจำผลรวมนี้เป็นการขยายชุดไซน์ครึ่งช่วง f เราได้รับจาก (4), ส่วน 2.4n = 1, 2, . . . , ซึ่งทั้งหมดกำหนดโซลูชัน ต่อไปนี้เราสรุปผลการวิจัยของเราเป็น 138 บทที่ 3 บางส่วน Differenti อัลสมการในพิกัด โซลูชันของเดอะโซลูชั่นของหนึ่งร้อนมิติขอบเขตของค่ามิติหนึ่งสมการความร้อน (1)8u f:J2•uและ t =วัว c20 < x < L, t > O (2)(3) u (O, t) = 0 และคุณ (L, t) = 0 สำหรับทุก t > 0u (x, 0) = f (x) สำหรับ 0 < x < L เป็น(4) ที่ (5) 2 { L. n:rrพัน =โจ้ L f (x) เอสเอ็มวาย x dx และ n = 1, 2 . . . . ตัวอย่างที่ 1 อี Temperatur บาร์กับปลายจัดที่ 0° Cแถบบางหน่วย 1T ความยาวอยู่ในน้ำ (อุณหภูมิ 100° C) เดือด หลังจากถึง 100° C ตลอด แถบจะถูกเอาออกจากน้ำเดือด มีด้านข้างด้านข้างเก็บฉนวน ทันที ที่เวลา t = 0 ปลายจะไปในที่มีอุณหภูมิคงตรึง 0 องศาเซลเซียส มี c = 1 ค้นหา u อุณหภูมิ (x, t) t > 0ปัญหาค่าขอบเขตที่เราต้องแก้เป็นu u OU 82ot = ox2) 0 < x < 1T, t > 0u (O, t) = 0 และคุณ (1T, t) = 0, t > 0u (x, 0) = 100, 0 < x < 1r จาก (4), เราได้ 002l bne n u (x, t) nx บาป x0 7t ซึ่ง n = l รูปที่ 2 ผลรวมบางส่วนของไซน์อนุกรมการขยายตัวของโรคอุณหภูมิเริ่มต้นlOO tribution (มี k ถึง 10) = 400 ° "บาปดา (2 k + l) xn L; k = O 2k + l0 < x < 1T (ดูแบบฝึกหัดที่ 1ส่วน 2.3) บี, = 2171" lOO บาป nx dx = 200 (cos 1 - n1T)1T o n1Tแทนค่าของพัน และใช้ข้อเท็จจริงที่ (cos 1 - n7r) = 0 ถ้า n เป็นเลขคู่ และ 2 ถ้า n เป็นคี่ ที่เราได้รับดา 400 400 n2t-อีดาอี- (2 k + 1) 2tu (x, t) = - - บาป nx = - k ความบาป (2 k + l) x1T L n 1T L 2 + ln = O k = Oคี่ nถ้าเราต่อ t ค่ากำหนดโซลูชันชุด เรารับฟังก์ชันของ x เพียงอย่างเดียว ฟังก์ชันนี้ช่วยให้การกระจายอุณหภูมิของแถบที่ต.เวลาใน ส่วน 3.5 สมการความร้อนมิติหนึ่ง 139เมื่อใด t = 0, u (x, 0) ทำให้ช่วงครึ่งไซน์ชุดขยายตัวของการเริ่มต้นยการ perature distri bution f (x), แสดงในรูปที่ 2 ภาพแรกในรูปที่ 4 เลข 3 และ 4 เราได้เลียนแบบการแก้ปัญหาชุด โดยรวมผ่านเงื่อนไขกับ k = 0 และ k = 10 ตามลำดับ และได้แสดงการกระจายอุณหภูมิที่ค่าต่าง ๆ ล่วงหน้าต.ผุเนนอย่างรวดเร็วของโซลูชันชุดเงื่อนไขลำดับสูง ยกของสอง nonzero จะใหญ่ 9 ครั้ง และที่สามคือ 25 ครั้งใหญ่กว่ายกของในระยะแรก นี้แสดงว่า คำสั่งสูงตายไปอย่างรวดเร็ว เนื่องจากรวดเร็วฤดูใบไม้ร่วงนี้ออกจากคำสั่งสูง ปรากฏการณ์ Gibbs ซึ่งจะปรากฏในเฟรมแรกในรูปที่ 4 หายไปอย่างรวดเร็วจากผลบางส่วน • t = 2.5x xกำลัง 0 กำลัง 0 อุณหภูมิโดยวิธีปกติแรกประมาณ 3 รูปu1 (x, t) = 4 0 e-t sin xรูปที่ 4 การกระจายอุณหภูมิในแถบอินเตอร์จบ th จัดที่ 0° Decays อุณหภูมิเป็น 0 เป็น t เพิ่มขึ้น หมายเหตุว่า สำหรับ l ขนาดใหญ่ รูปร่างของกราฟที่ถูกครอบงำ โดยโหมดปกติแรก แน่นอน เปรียบเทียบกับรูปที่ 3 แสดงเส้นโค้งสองจำแนกไม่ได้จริงสำหรับ t 2': 0.5-ท่อนอุณหภูมิข้าม ribut ไอออนกราฟในรูปที่ 4 แสดงว่า อุณหภูมิในแถบมีแนวโน้มเป็นศูนย์เป็น t เพิ่มขึ้น นี่คือล้างสังหรณ์ใจ ตั้งแต่ปลายของแถบที่อยู่ที่ 0° และมีไม่มีแหล่งความร้อนภายใน ทั่วไป การกระจายอุณหภูมิที่เราได้เป็นดาที--7 เป็นฟังก์ชันของ x ที่เรียกว่าท่อนโซลูชั่น (หรือแก้ปัญหาเวลาอิสระ) เพียงอย่างเดียว ดังนั้น ในตัวอย่าง 1 -ท่อนเป็นฟังก์ชันที่ตรง 0 งานสำหรับเงื่อนไขขอบเขตทั่วไป เนื่องจากโซลูชันท่อน inde แขวนของ t เราต้องมี 8u / 8t = 0 นี้แทนใน (1), เราได้เห็นว่า การกระจายท่อนตรงตามสมการเชิงอนุพันธ์ = 0 หรือเพียง: • = 0 เนื่องจาก โซลูชันท่อน เป็นฟังก์ชันของ x เท่านั้น การแก้ปัญหาทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์นี้ง่ายเป็น u (x) = Ax + B ที่ A และ B เป็นค่าคงที่ซึ่งถูกกำหนดโดยใช้ ditions คอนขอบ เราอธิบาย ด้วยตัวอย่าง 140 สมการเชิงอนุพันธ์บางส่วน 3 บทในพิกัด ตัวอย่างที่ 2-ท่อนโซลูชั่นอธิบายการแก้ปัญหาท่อนในแถบความยาว L มี encl หนึ่งเก็บไว้ที่ perature ยการ T1 และอื่น ๆ ที่อุณหภูมิ T2 สมมติว่า พื้นผิวด้านข้างเป็นฉนวน และมีไม่มีแหล่งความร้อนภายในโซลูชั่นที่เราได้ u(O) = T1 และคุณ (L) = T2 ดังนั้น จากความจริงที่ •u (x) = Ax + B เป็นไปตามที่ B = T1 และ AL + T 1 = T2 แก้สำหรับ A เราได้ A = T2 £T ' และ uT2 กราฟของการแก้ปัญหาท่อนจึงเป็นเส้นตรงที่ผ่านการกำหนดขอบเขตค่า T1 ที่ 0 และ Tz ที่ L (ดูรูปที่ 5) •ในส่วนหลังของบทนี้ เราจะศึกษาอุณหภูมิท่อน ture กระจายในขนาดสูง ปัญหาเหล่านี้จะต้องแก้ x สมการของลาปลาสในสอง หรือมากกว่าสองตัวแปร ซึ่งเป็นหนึ่งในที่สุดอิ่ม สมการเชิงอนุพันธ์สามัญเกาะในคณิตศาสตร์ประยุกต์ ตาม0 L ตัวอย่างที่ 2 แก้ไขปัญหาจะขึ้นอยู่ในทางที่จำเป็นในขอบเขตรูปที่ 5-ท่อน หรือไม่ขึ้น กับเวลาการแก้ปัญหาเงื่อนไขการvVe ท่อนวิธีแก้ไขปัญหาที่แสดงถัดไปสามารถใช้เพื่อแก้ปัญหาค่าขอบเขต nonhomogeneous บางอย่างได้เงื่อนไขขอบเขต nonzeroพิจารณาปัญหาค่าขอบเขตความร้อน(6)OU - c2 a2 ui:Jt - และ x 2 'O < x < L, t > 0(7)(8)u (O, t) =ตี้และคุณ (L, t) = T2, t > 0หลี่ (x, 0) = f (x), 0 < x < L.ปัญหาคือ nonhomogeneous เมื่อตี้ และ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

3.5 ความร้อนหนึ่งมิติสมการ
นี้และในส่วนต่อไปนี้เราศึกษาการกระจายอุณหภูมิในแถบเครื่องแบบ L wit h ระยะเวลาในฉนวนพื้นผิวด้านข้างและไม่มีแหล่งที่มาของความร้อนภายในภายใต้ขอบเขตและเงื่อนไขบางประการแรก เพื่อ
อธิบายปัญหาให้ U (x, ตัน) (0 <x <L, T> 0) แสดงอุณหภูมิ
ของ x จุดของบาร์ที่เวลา t (รูปที่ 1) ระบุว่าการกระจายอุณหภูมิเริ่มต้นของบาร์เป็น U (x, 0) = f (x) และให้ที่ปลายของแถบที่มีการจัดขึ้นที่อุณหภูมิคงที่ 0 เราขอเป็น U (x, T) สิ่งที่ 0 <x <L, T> o? ในขณะที่คุณจะคาดหวังที่จะตอบคำถามนี้เราต้องแก้ปัญหาค่าขอบเขต เราจะแสดงในภาคผนวกที่
ส่วนท้ายของส่วนนี้ u ที่สอดคล้องกับสมการความร้อนมิติหนึ่ง
au 2 a2 U
ที่ c = ขวาน 2 0 <x <L, T> 0 รูปที่ 1 แถบฉนวนที่มีปลายเก็บไว้ที่ 0 ° . เนื่องจากปัญหาที่เกิดขึ้นเป็นครั้งแรกหรือเดอร์ใน t, เราจะต้องเริ่มต้นเงื่อนไขอย่างใดอย่างหนึ่งซึ่งแตกต่างจากปัญหาคลื่นที่สองเงื่อนไขที่จำเป็นนอกจากนี้ยูสอดคล้องกับเงื่อนไขขอบเขตU (O, T) = 0 และ U (L, T ) = 0 สำหรับทุก T> 0 และเงื่อนไขเบื้องต้นU (x, O) = .f (x) 0 <x <ลิตรเราแก้ปัญหาโดยใช้วิธีการแยกตัวแปรนี้ หลังจากที่การทำเช่นนั้นเราจะแนะนำความคิดของอุณหภูมิคงที่และใช้ในการแก้ปัญหาความร้อนที่เกี่ยวข้องกับข้อมูลขอบเขตภัณฑ์ รูปแบบที่น่าสนใจและมีความสำคัญกับปัญหาเหล่านี้จะถูกนำเสนอในส่วนต่อไปนี้136 บทที่ 3 สมการเชิงอนุพันธ์บางส่วนในสี่เหลี่ยมพิกัดแยกตัวแปรเราเริ่มต้นด้วยการมองหาโซลูชั่นผลิตภัณฑ์ในรูปแบบU (x, T) = X (x) T (t ) โดยที่ X (x) เป็นฟังก์ชันของ x อยู่คนเดียวและ T (t) เป็นฟังก์ชันของ t เพียงอย่างเดียว เสียบลงในสมการความร้อนและการแยกตัวแปรที่เราได้รับT 'X " c2T X สำหรับความเท่าเทียมกันที่จะถือเราจะต้องมีT ' - = k และc2T X " -y = k, ที่ k คือการแยกอย่างต่อเนื่อง จากสมการเหล่านี้เราได้รับสองสมการเชิงอนุพันธ์สามัญX "- K x = 0 และ T '- kc2 T = 0 แยกตัวแปรในเงื่อนไขขอบเขตที่เราได้รับX (O) T (t) = 0 และ X (L) T (t) = 0 สำหรับทุก T> 0 เพื่อหลีกเลี่ยงการแก้ปัญหาเล็ก ๆ น้อย ๆ ที่เราจำเป็นต้องX (0) = 0 และ X (L) = 0 เราจึงได้รับปัญหาค่าขอบเขตในX: X "- K x = 0 X (O) = 0 และ X (L) = 0 ปัญหานี้เป็นสิ่งหนึ่งที่เราได้รับการแก้ไขในมาตรา 3.3 สำหรับสตริงแบบสั่น เราพบว่าn7r ที่μ = μn = L 'n = 1, 2, . . , และทรงเครื่อง = X n = บาป YX, n = 1, 2, ผมแทนค่า k ในสมการเชิงอนุพันธ์ของ T เราได้รับสมการเพื่อสามัญความแตกต่างครั้งแรกT '+ C n7r) 2 T = O มาตรา 3.5 หนึ่งมิติความร้อน 137 สมการที่มีการแก้ปัญหาทั่วไปที่เรากำหนด(ดูบทที่ 1 ภาคผนวกลิตร) เราจึงมาถึงที่แก้ปัญหาผลิตภัณฑ์หรือโหมดปกติอู (x, T) = พันล้านบาทอี -> .. ; เสื้อ s1 • n nL7r x, n = 1, 2, •••• โดยการก่อสร้างแต่ละอูเป็นวิธีแก้ปัญหาของสมการความร้อนและกำหนด (mogeneous โฮ) เงื่อนไขขอบเขต แรงบันดาลใจจากหลักการซ้อน (ทฤษฏีที่ 1 หัวข้อ 3.1) เราให้ขั้นตอนต่อไปของเราคือการกำหนดค่าสัมประสิทธิ์พันล้านบาทเพื่อให้เป็นไปตามเงื่อนไขเบื้องต้น U (x, 0) = f (x) อนุกรมฟูเรียโซลูชั่นของปัญหาทั้งหมดเรา ตั้ง t = 0, ใช้เงื่อนไขเริ่มต้นและได้รับ00 f (x) = U (x, 0) = ",!" "" "" พันล้านบาป mr x • n = l การตระหนักถึงผลรวมเป็นช่วงครึ่งนี้ การขยายตัวของซีรีส์ F ไซน์ของเราได้รับมาจาก (4) มาตรา 2.4, n = 1, 2, . . , ที่สมบูรณ์กำหนดวิธีการแก้ปัญหา ต่อไปนี้เราสรุปผลการวิจัยของเราเป็น138 บทที่ 3 บางส่วนแตกต่างกันในอัลสมการในสี่เหลี่ยมพิกัดแก้ปัญหาของการแก้ปัญหาค่าขอบเขตความร้อนมิติหนึ่งมิติสมการความร้อน (1) 8U f: J2 • U & t = c2 วัว0 <x <L, T> O (2) (3) U (O, T) = 0 และ U (L, T) = 0 สำหรับทุก T> 0 U (x, 0) = f (x) 0 <x < L, เป็น(4) ที่ (5) 2 {L n: RR พันล้าน = L โจ f (x) เอสเอ็ม YX DX และn = 1, 2 . . . ตัวอย่างที่ 1 อุณหภูมิการในแถบที่มีปลายจัดขึ้นที่ 0 ° C บาร์บางของความยาว 1T หน่วยจะอยู่ในน้ำเดือด (อุณหภูมิ 100 ° C) หลังจากที่ไปถึง 100 ° C ตลอดทั้งบาร์จะถูกลบออกจากน้ำเดือด กับด้านข้างเก็บไว้ฉนวนทันทีที่เวลา t = 0, ปลายจะแช่อยู่ในกลางที่มีการแช่แข็งที่อุณหภูมิคงที่ 0 ° C การ c = 1 พบว่าอุณหภูมิ U (x, ตัน) t> 0 โซลูชั่นปัญหาค่าขอบเขตที่เราจะต้องแก้เป็นU OU 82 U = OT OX2) 0 <x <1T ที> 0, U ( O, T) = 0 และ U (1T, T) = 0, T> 0, U (x, 0) = 100, 0 <x <1r จาก (4) เรามี00 2 U (x, ตัน) BNE-N ลิตรNX บาปx 0 เล็กกว่า 7 ตันที่n = L รูปที่ 2 ผลรวมบางส่วนของการขยายตัวซีรีส์ฟูริเยร์ไซน์ของอุณหภูมิเริ่มต้นครั้งนี้การกระจาย (มี k ขึ้นถึง 10) ลู = 400 ° "OO บาป (2k + L) x n L; K = O 2k + L . 0 <x <1T (ดูที่การใช้สิทธิ 1, . มาตรา 2.3) ข ,, = 2171 "บาปห้องน้ำ NX DX = 200 (1 - cos n1T) 1T o n1T แทนค่าของพันล้าน และการใช้ความจริงที่ว่า (1 - cos n7r) = 0 ถ้า n เป็นได้และ 2 ถ้า n เป็นเลขคี่ที่เราได้รับ400 OO อี N2T 400 e-OO (2k + 1) 2t U (x, t) - - -Sin NX = - k บาป (2k + L) x L? n 1T 1T L 2 + L n = O K = O n แปลกถ้าเราเสียบค่าที่กำหนดของ t ลงในสารละลายชุดที่เราได้รับฟังก์ชั่นของ x คนเดียว . ฟังก์ชั่นนี้จะช่วยให้การกระจายอุณหภูมิของแถบที่ t เวลาที่กำหนด ในมาตรา 3.5 หนึ่งมิติความร้อน 139 สมการโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อ t = 0, U (x, 0) อัตราผลตอบแทนช่วงครึ่งขยายไซน์ชุดของ TEM perature เริ่มต้นดิมากมายหลากหลาย f (x), แสดงในรูปที่ 2 และภาพแรก ในรูปที่ 4 ในรูปที่ 3 และ 4 ที่เราได้แก้ปัญหาห้วงชุดได้จากข้อสรุปมันผ่านข้อตกลงกับ K = 0 และ k = 10 ตามลำดับและได้แสดงให้เห็นการกระจายอุณหภูมิที่ค่าต่างๆของ t ขอให้สังเกตการสลายชี้แจงอย่างรวดเร็วของข้อตกลงการสั่งซื้อที่เพิ่มขึ้นของการแก้ปัญหาแบบ สัญลักษณ์ของคำภัณฑ์ที่สองคือ 9 ครั้งใหญ่และที่สามเป็น 25 ครั้งใหญ่กว่าสัญลักษณ์ของเทอมแรก นี้แสดงให้เห็นว่าข้อตกลงการสั่งซื้อที่สูงขึ้นอย่างรวดเร็วเหลือเกินตาย ด้วยเหตุนี้การล่มสลายอย่างรวดเร็วออกจากคำสั่งซื้อที่สูงขึ้นปรากฏการณ์กิ๊บส์ซึ่งเป็นที่ประจักษ์ในเฟรมแรกในรูปที่ 4 หายไปอย่างรวดเร็วจากผลรวมบางส่วน • t = 2.5 xx ใหม่อีกครั้ง 0 0 รูปที่ 3 ประมาณอุณหภูมิเป็นครั้งแรกโดยปกติโหมดU1 (x, t) 4 0 เอบาป x รูป4 การกระจายอุณหภูมิใน Wi บาร์ th ปลายจัดขึ้นที่ 0 ° อุณหภูมิสลายถึง 0 เมื่อ t เพิ่มขึ้น ทราบว่ามีขนาดใหญ่รูปร่างของกราฟที่ถูกครอบงำด้วยโหมดปกติแรก อันที่จริงเมื่อเปรียบเทียบกับรูปที่ 3 แสดงให้เห็นว่าทั้งสองเส้นโค้งแทบแยกไม่ออกสำหรับ t 2 ': 0.5 สภาวะที่คงที่ Ribut Dist อุณหภูมิไอออนกราฟในรูปที่ 4 แสดงให้เห็นว่าอุณหภูมิในแถบมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์เมื่อ t เพิ่มขึ้น นี้เป็นที่ชัดเจนอย่างสังหรณ์ใจตั้งแต่ปลายของบาร์จะถูกเก็บไว้ที่ 0 °และไม่มีแหล่งที่มาของความร้อนภายใน โดยทั่วไปการกระจายอุณหภูมิที่เราได้รับเป็นเสื้อ --7 OO นี่คือฟังก์ชันของ x คนเดียวที่เรียกว่ารัฐแก้ปัญหาอย่างต่อเนื่อง (หรือเวลาอิสระแก้ปัญหา) ดังนั้นในตัวอย่างที่ 1, การแก้ปัญหาความมั่นคงของรัฐเป็นฟังก์ชันที่เป็นเหมือนกัน 0 สำหรับเงื่อนไขขอบเขตโดยทั่วไปตั้งแต่การแก้ปัญหาความมั่นคงของรัฐเป็นจี้ Inde ของ t, เราจะต้องมี 8U / 8t = 0 แทนนี้ (1 ) เราจะเห็นว่าการกระจายคงที่สอดคล้องกับสมการค่า = 0 หรือเพียง: • = 0 เพราะมึงแก้ปัญหาความมั่นคงของรัฐเป็นฟังก์ชันของ x เท่านั้น การแก้ปัญหาทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์นี้ง่ายๆคือ U (x) = ขวาน + B ที่ A และ B มีค่าคงที่ที่กำหนดโดยใช้สภาวะ Con เขตแดน เราแสดงให้เห็นถึงตัวอย่าง140 บทที่ 3 สมการเชิงอนุพันธ์บางส่วนในสี่เหลี่ยมพิกัดตัวอย่างที่ 2 การแก้ปัญหาความมั่นคงของรัฐอธิบายการแก้ปัญหาความมั่นคงของรัฐในแถบของความยาว L กับหนึ่ง ENCL เก็บไว้ที่ TEM perature T1 และอื่น ๆ ที่อุณหภูมิ T2 สมมติว่าพื้นผิวด้านข้างเป็นฉนวนและว่าไม่มีแหล่งที่มาของความร้อนภายในโซลูชั่นเรามี U (O) = T1 และ U (L) = T2 ดังนั้นจากข้อเท็จจริงที่ว่า• U (x) = ขวาน + B มันตามที่ B = T1 และ AL + T 1 = T2 สำหรับการแก้ปัญหาที่เราได้รับ = T2 £ T 'และอื่น ๆU T2 ดังนั้นกราฟของการแก้ปัญหาความมั่นคงของรัฐเป็นเส้นตรงที่ต้องผ่าน T1 ค่าขอบเขตที่กำหนดที่ 0 และ Tz ที่ L (ดูรูปที่ 5) • ในส่วนต่อมาของบทนี้เราจะศึกษาสภาวะที่คงกระจายอุบาทว์ข้อมูล ture ในมิติที่สูงขึ้น ปัญหาเหล่านี้จะต้องมีการแก้สมการ x Laplace ในสองคนหรือมากกว่าตัวแปรซึ่งเป็นหนึ่งในที่สุด im สมการเชิงอนุพันธ์สำาคัญในวิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์ แสดงตาม0 L ตัวอย่างที่ 2 การแก้ปัญหาจะขึ้นอยู่ในทางที่สำคัญในขอบเขตรูปที่ 5 สภาวะที่คงที่หรือเวลาอิสระแก้ปัญหาสภาพ Vve ต่อไปแสดงให้เห็นว่าการแก้ปัญหาความมั่นคงของรัฐสามารถนำมาใช้ในการแก้ปัญหาค่าขอบเขต nonhomogeneous บางอย่าง . ที่ไม่ใช่ศูนย์เขตแดนเงื่อนไขพิจารณาปัญหาค่าขอบเขตความร้อน(6) OU - c2 a2 U I: ยนต์ - & x2 ' O <x <L, T> 0 (7) (8) U (O, T) = Ti และ U (L, T) = T2 ที> 0 li (x, 0) = f (x), 0 <x <ลิตรปัญหาคือ nonhomogeneous เมื่อ Ti และ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

3.5 หนึ่งมิติสมการความร้อน
ในนี้และต่อไปนี้ส่วนเราศึกษาการกระจายอุณหภูมิในแถบของชุดความยาว L H ปัญญาฉนวนด้านข้างพื้นผิวและภายในไม่มีแหล่งที่มาของความร้อนภายใต้ขอบเขตที่แน่นอนและเงื่อนไขเริ่มต้น

อธิบายปัญหาให้ u ( x , t ) ( 0 < x < L , t > 0 ) แสดงอุณหภูมิของจุด x
ของบาร์ ที่เวลา t ( รูปที่ 1 )ระบุว่าการกระจายอุณหภูมิของบาร์ U ( x , 0 ) = f ( x ) , และให้ที่ปลายของแถบจะจัดขึ้นที่อุณหภูมิคงที่ 0 เราถามอะไร U ( x , t ) 0 < x < L , t > O ? ในขณะที่คุณจะคาดหวังที่จะตอบคำถามนี้ เราต้องแก้ไขปัญหาค่าขอบ . เราจะแสดงในภาคผนวกที่ส่วนท้ายของส่วนนี้
u
ตรงหนึ่งมิติสมการความร้อนAU 2 A2 U
ที่ = C ขวาน 2 , 0 < x < L , t > 0


รูปที่ 1 ฉนวนบาร์กับปลายไว้ที่ 0 องศา

เนื่องจากปัญหาที่เกิดขึ้นเป็นครั้งแรก หรืออง เดอ ใน ไม่ เราเพียงต้องการเงื่อนไขเริ่มต้น หนึ่ง ซึ่งแตกต่างจากปัญหาคลื่นที่ 2 เงื่อนไขคือต้องการ

นอกจากนี้คุณ satisfies เงื่อนไขขอบ

U ( o , t ) = 0 U ( l , t ) = 0 สำหรับ t > 0 และเริ่มต้นเงื่อนไข
U ( x , o ) = f ( x ) 0 < x < L .

เราแก้ปัญหานี้โดยใช้วิธีการแยกตัวแปร หลังจากนั้น เราก็จะแนะนำความคิดของอุณหภูมิคงที่และใช้มันเพื่อแก้ไขปัญหาที่เกี่ยวข้องกับข้อมูลขอบเขตความร้อน 0 . ที่น่าสนใจและที่สำคัญการเปลี่ยนแปลงปัญหาเหล่านี้จะถูกนำเสนอในส่วนต่อไปนี้


136 บทที่ 3 สมการเชิงอนุพันธ์ในสี่เหลี่ยมพิกัด

การแยกตัวแปร
เราเริ่มมองหาผลิตภัณฑ์โซลูชั่นของฟอร์ม

U ( x , t ) = X ( X ) t ( t )

ที่ x ( x ) เป็นฟังก์ชันของ x คนเดียวและ T ( t ) เป็นฟังก์ชันที่ไม่โดดเดี่ยว เสียบเข้าไปในสมการคลื่นและแยกต่างๆ เราขอรับ
t ' x "
c2t x .

เพื่อความเสมอภาคที่จะถือเราต้อง
t '
-
c2t = K
x "
- y = k

โดยที่ k คือค่าคงที่การแยก . จากสมการเหล่านี้เราเอาสองสมการอนุพันธ์ธรรมดา


x " k - x = 0 T ' - kc2 t = 0 จากตัวแปรในเงื่อนไขขอบเขต เรารับ
x ( o ) t ( t ) = 0 x ( L ) t ( t ) = 0 สำหรับ t > 0 .

เพื่อหลีกเลี่ยงเรื่องโซลูชั่นที่เราต้องการ

X ( 0 ) = 0 และ X ( L )

เรา = 0 จึงได้รับปัญหาค่าขอบของ X :

x " k - x = 0 , x ( O ) = 0 x ( L )

= 0ปัญหานี้เป็นหนึ่งที่เราแก้ไขในส่วน 3.3 สำหรับเชือกสั่น . เราพบว่า

n7r
ที่µ = µ N = L ' n = 1 , 2 , . . . . . . . .

,
9 X และ Y = n = sin x , n = 1 , 2 ผม

แทนค่าของ K ในสมการที เราได้รับคำสั่งแรกของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ


T ' C n7r ) 2 t = O


ส่วน 3.5 หนึ่งมิติ ความเท่าเทียมกันความร้อน 137

ซึ่งทั่วไปโซลูชั่น







ที่เราตั้งไว้ ( ดูทฤษฎีบท 1 ภาคผนวก A . L ) เราจึงมาถึงที่โซลูชั่นสินค้าหรือ
โหมดปกติ

a ( x , t ) = BN E - > . . . . . . . ; t - N nl7r S1 x
n = 1 , 2 - - - -

โดยการก่อสร้างแต่ละอันเป็นโซลูชันของความร้อนสมการและได้รับ ( โฮอง mogeneous ) เงื่อนไขขอบเขต การกระตุ้นโดยการหลัก ( ทฤษฎีบท 1 ส่วน 3.1 ) เราให้



ขั้นตอนต่อไปของเราคือการหาค่าสัมประสิทธิ์ BN เพื่อตอบสนองเริ่มต้นเงื่อนไข U ( x , 0 ) = f ( x )
อนุกรมฟูเรียร์ ทางออกของปัญหาทั้งหมดที่เราตั้งค่า
t = 0 , ใช้เงื่อนไขเริ่มต้นและได้รับ

00
f ( x ) = u ( x , 0 """"" ) = " ! , BN บาป Mr X -

n = l

จำจำนวนนี้เป็นครึ่งช่วงไซน์ชุดการขยายตัวของ f ที่เราได้รับจาก ( 4 ) , มาตรา 2
n = 1 , 2 , . . . . . . . .



,ที่สมบูรณ์เป็นตัวแก้ปัญหา 1 .

เราสรุปของเราคิดเป็น


138 บทที่ 3 บางส่วน differenti ลสมการในสี่เหลี่ยมพิกัด


ทางออกของการแก้ปัญหาของหนึ่งมิติความร้อนปัญหาค่าขอบแบบหนึ่งมิติ

ความร้อนสมการ ( 1 )


- F : j2 u 8U & t = C2 วัว

0 < x < L , t > O


( 2 ) ( 3 )



U ( o , t ) = 0 U ( l , t ) = 0 สำหรับ t > 0
U ( X0 ) = f ( x ) 0 < x < L ,




อยู่

( 4 )




ที่ ( 5 )



2 { L . ที่อยู่ : RR
3 = แอลโจ f ( x ) Y และ SM x dx



n = 1 , 2 . . . . . . .







ตัวอย่าง 1 อุณหภูมิ E ในบาร์กับสิ้นสุดที่จัดขึ้นที่ 0 ° C
บางบาร์ของความยาว 1t หน่วยอยู่ตั้งน้ำให้เดือด ( อุณหภูมิ 100 องศา C ) หลังจากถึง 100 ° C ตลอดทั้งแถบถูกลบออกจากการต้มน้ำ กับด้านการเก็บฉนวน , ทันทีที่เวลา t = 0 , สิ้นสุดที่แช่อยู่ในสื่อที่มีอุณหภูมิ 0 องศา คงหนาวใช้ C = 1 , หาอุณหภูมิ U ( x , t ) r > 0 .
แก้ไขปัญหาค่าขอบที่เราต้องแก้คือ
U หรือ U
OT = 82 ox2 ) 0 < x < 1t T > 0
U ( o , t ) = 0 U ( 1t , t ) = 0 T > 0
U ( x , 0 ) = 100 , 0 < x < 1R



( 4 ) เราได้




00
2
U ( x , t ) bne-n L







บาป nx x
0





นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ที่




n = l





รูปที่ 2 บางส่วน ผลรวมของอนุกรมฟูเรียร์ไซน์การขยายตัวของอุณหภูมิเริ่มต้นจาก tribution อง
( K ถึง 10 ) ลู = 400 ° " OO บาป ( 2 ลิตร ) x
n L ; k = 2 L
0 < o x < 1t . ( ดูแบบฝึกหัดที่ 1
ส่วน 2.3 )






b = 1153 " ลูบาป NX DX = 200 ( 1 - เพราะ n1t )
o
n1t 1t แทนค่า BN และใช้ความจริงที่ว่า ( 1 - เพราะ n7r ) = 0 ถ้า N คือแม้และ ถ้า n เป็นคี่เราได้รับ e-n2t OO OO
400 400 E - ( ต่อ 1 ) 2t
U ( x , t ) = -- = -- K บาปบาป NX ( 2 ลิตร ) X .
2 L L L N 1t 1t
n = O = O

K N แปลกถ้าเราเสียบไว้ในค่าของ t ชุดโซลูชั่นที่เราได้รับเป็นฟังก์ชันของ x อย่างเดียว ฟังก์ชันนี้จะช่วยให้การกระจายอุณหภูมิของบาร์ในเวลาที่กําหนด ต. ใน


ส่วน 3.5 หนึ่งมิติความเท่าเทียมกันความร้อน 139

โดยเฉพาะเมื่อ t = 0 U ( X0 ) ผลผลิตครึ่งช่วงไซน์ชุดการขยายตัวของ perature เริ่มต้นแบบ distri bution f ( x ) , แสดงในรูปที่ 2 และรูปแรก ในรูปที่ 4 ในรูปที่ 3 และ 4 เราได้โดยประมาณชุดโซลูชั่น โดยรวมผ่านข้อตกลงกับ K = 0 K = 10 ตามลำดับ และได้แสดงการกระจายอุณหภูมิที่ค่าต่างๆของสังเกตการสลายตัวอย่างรวดเร็วของที่สูงขึ้นเพื่อชี้แจงเงื่อนไขของชุดโซลูชั่น เลขชี้กำลังของเทอม 2 0 9 ครั้งใหญ่ และสามคือ 25 ครั้งใหญ่กว่าเลขชี้กำลังของเทอมแรก นี้แสดงให้เห็นว่า เงื่อนไขการสั่งซื้อที่สูงตายอย่างรวดเร็ว เพราะเร็วนี้หลุดเงื่อนไขการสั่งซื้อสูง ปรากฏการณ์กิ๊บส์ซึ่งปรากฏใน
กรอบแรกในรูปที่ 4 จะหายไปอย่างรวดเร็วจากผลรวมบางส่วน -






T = 2.5 x x
0

0
Re : Re : รูปที่ 3 การประมาณค่าของอุณหภูมิเป็นครั้งแรกโดยโหมดปกติ
U1 ( X ( , t ) = 4 0 ศัพท์ sin x .

รูปที่ 4 การกระจายอุณหภูมิในแถบ wi th สิ้นสุดขึ้นที่ 0 องศา . อุณหภูมิสลายตัวไป 0 ที่เพิ่มขึ้น โปรดทราบว่าสำหรับขนาดใหญ่ Lรูปร่างของกราฟเป็น dominated โดยโหมดปกติก่อน แน่นอน เปรียบเทียบกับรูปที่ 3 แสดงให้เห็นว่าสองเส้นโค้ง จวนแยกที 2 : 0.5

สถานะคงตัวของอุณหภูมิ Dist การนับไอออน
กราฟในรูปที่ 4 แสดงให้เห็นว่าอุณหภูมิในแถบบริเวณศูนย์ที่เพิ่มขึ้น นี้ได้อย่างง่ายดายชัดเจนตั้งแต่ปลายของแถบจะถูกเก็บไว้ที่ 0 องศา และไม่มีแหล่งความร้อนภายใน . โดยทั่วไปการกระจายอุณหภูมิที่เราได้รับเป็น T -- 7 OO เป็นฟังก์ชันของ x อย่างเดียว เรียกว่ามั่นคงองรัฐแก้ปัญหา ( หรือโซลูชั่นอิสระครั้ง ) ดังนั้นในตัวอย่างที่ 1 โดยโซลูชั่นคือ ฟังก์ชันที่เหมือนกัน 0 .
สำหรับขอบเขตเงื่อนไขทั่วไปตั้งแต่โดยโซลูชั่นยังองจี้ T เราต้อง 8U / 8t = 0 แทนใน ( 1 ) ให้เราเห็นโดยตรงกระจายสมการ = 0 หรือ
เพียง : - = 0 เพราะ U โดยโซลูชั่นที่เป็นฟังก์ชันของ x เท่านั้น การแก้ปัญหาทั่วไปของสมการนี้ง่าย ๆ คือ U ( X ) = ขวาน Bที่ a และ b เป็นค่าคงที่ที่กำหนดโดยใช้ขอบเขต con อง ditions . เราแสดงด้วยตัวอย่าง


140 บทที่ 3 สมการเชิงอนุพันธ์ในสี่เหลี่ยมพิกัด


ตัวอย่าง 2 คงที่รัฐแก้ปัญหา
อธิบายโดยโซลูชั่นในบาร์ของความยาว L กับ Encl เก็บไว้ที่เต็ม perature องอื่น ๆที่อุณหภูมิ T1 และ T2สมมติว่า พื้นผิวเป็นฉนวนและไม่มีภายในแหล่งที่มาของความร้อน .
โซลูชั่นเรามี u ( o ) = u ( l ) = T1 และ T2 ดังนั้น จากการที่ A4 u ( x ) = ขวานมันดังต่อไปนี้ว่า B = 1 = อัล T T1 และ T2 การแก้ไขสำหรับที่เราได้รับ = T2 t ' และดังนั้นที่สุด

u
2 ดังนั้นกราฟได้โดยวิธีเส้นตรงที่ผ่านไปให้ขอบเขตค่า T1 0 และ TZ ที่ผม ( ดูรูปที่ 5 ) -
ทีหลังส่วนของบทนี้เราจะศึกษาการกระจายอุณหภูมิคงที่องจริงในมิติที่สูงขึ้น ปัญหาเหล่านี้ต้องแก้ไข



x ในสมการลาปลาสสอง หรือมากกว่าสองตัวแปรซึ่งเป็นหนึ่งในที่สุดอิมอง

portant สมการเชิงอนุพันธ์ในคณิตศาสตร์ประยุกต์ ที่แสดงโดย

0 l ตัวอย่าง 2 โซลูชั่นจะขึ้นอยู่กับวิธีที่สําคัญในเขตแดน

รูปที่ 5 สถานะคงตัวหรือเวลาอิสระโซลูชั่น

.
vve ต่อไปแสดงให้เห็นว่าภายใต้โซลูชั่นที่สามารถใช้ในการแก้ปัญหาบางอย่าง nonhomogeneous ปัญหาค่าขอบเขต .

0
ขอบเขตเงื่อนไขพิจารณาความร้อนปัญหาค่าขอบ


( 6 )

อุ๊ - C2 u
A2 : เจที - & x2 '

o < x > 0 < L , t ,

( 7 ) ( 8 )

U ( o , t ) = Ti และ u ( l , t ) = T2 t > 0
ลี ( x , 0 ) = f ( x ) , 0 < x < L .

มีปัญหา nonhomogeneous เมื่อ Ti และ