Probability and Random Variables W

Probability and Random Variables
We consider a basic set Ω, whose elements consist of all possible outcomes of an experiment, irrespective of whether this experiment can actually be performed or is only imaginable. A single performance of this experiment is called a realization. It yields an element ω in Ω.
We now want to identify events as certain subsets of Ω. One may think of events as the sets {ω}, which contain one single element ω, and as such represent elementary events.
However, one may also think of other sets which contain several possible outcomes, because the probability that the outcome of a realization belongs to a certain set of outcomes might also be interesting.
A more detailed mathematical analysis reveals that in general not all subsets of Ω can be considered as events to which one can assign a probability. Only for certain subsets, which can be made members of a so-called Borel space, can one always consistently introduce a probability. Here, a Borel space is a set β of subsets of Ω, for which:

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ความน่าเป็นและตัวแปรสุ่ม เราพิจารณาเป็นพื้นฐานกำหนดΩ องค์ประกอบประกอบด้วยผลลัพธ์ที่ได้ทั้งหมดของการทดลอง ไม่ว่าการทดลองนี้สามารถจะทำ หรือจะเท่า ประสิทธิภาพเดียวทดลองนี้เรียกว่าการรับรู้ มันทำให้ωเป็นองค์ประกอบในΩ เราตอนนี้ต้องระบุเหตุการณ์เป็นบางชุดย่อยของΩ หนึ่งอาจคิดว่า เหตุการณ์เป็นชุด {ω}, ซึ่งประกอบด้วยหนึ่งองค์ประกอบเดี่ยวω และแสดงเหตุการณ์ระดับประถมเช่น อย่างไรก็ตาม หนึ่งอาจยังคิดว่า ชุดอื่น ๆ ซึ่งประกอบด้วยหลายผลได้ เนื่องจากความเป็นไปได้ว่า ผลลัพธ์ของการรับรู้อยู่ในชุดผลลัพธ์ที่อาจจะสนใจ การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์รายละเอียดเพิ่มเติมพบว่า โดยทั่วไปย่อยไม่หมดของΩถือได้ว่าเป็นกิจกรรมหนึ่งที่สามารถกำหนดความน่าเป็น สำหรับชุดย่อยบาง ซึ่งได้สมาชิกของช่องว่างเรียกว่า Borel สามารถหนึ่งเสมออย่างต่อเนื่องนำความน่าเป็น นี่ พื้นที่ Borel คือ βชุดของชุดย่อยของΩ ซึ่ง:

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

น่าจะเป็นและตัวแปรสุ่มเราพิจารณาΩชุดพื้นฐานที่มีองค์ประกอบประกอบด้วยผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการทดสอบโดยไม่คำนึงถึงว่าการทดลองนี้สามารถจริงจะดำเนินการหรือเป็นเพียงจินตนาการ การแสดงเดี่ยวของการทดลองนี้จะเรียกว่าสำนึก มันให้องค์ประกอบωในΩ.
ตอนนี้เราต้องการที่จะระบุเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นเป็นส่วนย่อยหนึ่งของΩ หนึ่งอาจคิดว่าเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นเป็นชุด {ω} ซึ่งมีωองค์ประกอบหนึ่งเดียวและเป็นเช่นตัวแทนเหตุการณ์ประถม.
แต่หนึ่งอาจคิดว่าชุดอื่น ๆ ที่มีผลเป็นไปได้หลายเพราะเป็นไปได้ว่าผลของการสำนึกที่ เป็นบางชุดของผลลัพธ์ที่อาจจะน่าสนใจ.
การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ที่ละเอียดมากขึ้นแสดงให้เห็นว่าโดยทั่วไปไม่ย่อยทั้งหมดของΩถือได้ว่าเป็นเหตุการณ์ที่หนึ่งสามารถกำหนดความน่าจะเป็น เฉพาะส่วนย่อยบางอย่างที่สามารถทำให้สมาชิกของพื้นที่โบเรลที่เรียกว่าหนึ่งสามารถเสมออย่างต่อเนื่องแนะนำความน่าจะเป็น ที่นี่เป็นพื้นที่โบเรลเป็นβชุดย่อยของΩซึ่ง:

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ความน่าจะเป็นและตัวแปรสุ่ม
เราพิจารณาΩชุดพื้นฐาน ที่มีองค์ประกอบประกอบด้วยผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลอง ไม่ว่า การทดลองนี้สามารถจริงจะดำเนินการหรือเป็นเพียงจินตนาการ การทำงานของการทดลองนี้เรียกว่าความจริง มันให้ผลเป็นองค์ประกอบωในΩ .
ตอนนี้เราต้องการระบุเป็นส่วนย่อยของเหตุการณ์บางอย่างΩ .หนึ่งอาจคิดว่าเหตุการณ์เป็นชุดω } { ซึ่งประกอบด้วยหนึ่งωองค์ประกอบเดียว และเป็นเช่นนี้เป็นเหตุการณ์เบื้องต้น
แต่หนึ่งอาจคิดว่า ชุดอื่น ๆซึ่งประกอบด้วยผลลัพธ์ที่เป็นไปได้หลาย เพราะการที่ผลของการรับรู้ที่เป็นของบางชุดของผลลัพธ์ที่อาจจะน่าสนใจ .
เพิ่มเติมรายละเอียดการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ พบว่า โดยทั่วไปทั้งหมดไม่ย่อยของΩถือได้ว่าเป็นกิจกรรมหนึ่งที่สามารถกําหนดค่าความน่าจะเป็น ข้อมูลเฉพาะบางอย่าง ซึ่งสามารถทำให้สมาชิกของพื้นที่โบเรลที่เรียกว่าสามารถเสมอแนะนำอย่างต่อเนื่องความน่าจะเป็น . ที่นี่มีโบเรลอวกาศเป็นชุดย่อยของบีตาของΩ โดย :